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因式分解
一.分组分解练习
2.
3.
4.1-a2+2ab-b2=5.1-a2-b2-2ab=
6.x2+2xy+y2-1=7.x2-2xy+y2-1=
8.x2-2xy+y2-z2=9.
=
10.
=11.
=
12.x2-4y2+x+2y=13.
14.
15.ax-a+bx-b=
16.a2-b2-a+b=17.4a2-b2+2a-b=
二.十字相乘法:
1.x2+2x-15= 2.x2-6x+8=3.2x2-7x-15=
4.2x2-5x-3=5.5x2-21x+18=6.6x2-13x+6=
7.x4-3x2-4=8.3x4+6x2-9=9.x2-2xy-35y2=
10.a2-5ab-24b2=11.5x2+4xy-28y2=
三.综合训练
1.
2.9972–9
3.
4.若
是完全平方式,求
的值。
5.已知
求
的值。
6.已知x+2y=
x-y=
求x2+xy-2y2的值。
7.已知a+b=2,求
的值。
8.已知:
a=10000,b=9999,求a2+b2-2ab-6a+6b+9的值。
9.若
,求
的最小值.
10.已知
求
的值。
11.已知a,b,c是△ABC的三条边长,当b2+2ab=c2+2ac时,试判断△ABC属于哪一类三角形
12.求证:
对于任何自然数n,
的值都能被6整除.
13.若a、b、c为△ABC的三边,且满足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0。
探索△ABC的形状,并说明理由。
14.分解因式:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).
15.分解因式4x2-4xy+y2+6x-3y-10.
16.有两个孩子的年龄分别为x、y岁,已知x
+xy=99,试求这两个孩子的年龄.
人教新课标版初中八上
15.4因式分解能力提高题
一、综合题(每小题8分,共16分)
1.解方程组
并求7m(m+2n)2-2(m+2n)3的值.
2.证明:
无论a,b取何值时,a2b2-2ab+2均为正值.
二、应用题(8分)
3.退休职工老李投资到乡下办养猪场,共建了成猪和仔猪两个正方形猪场.已知成猪场的面积比仔猪场的面积大80平方米,两个猪场围墙总长为160米,则成猪场的面积是多少?
三、创新题(8分)
4.证明:
无论x,y取何值时,x2+y2都大于或等于2xy,并且只有当x=y时,x2+y2才等于2xy.
四、中考题(每小题6分,共12分)
(一)中考真题再现
5.(2007·上海)分解因式:
2a2-2ab_______________.
(二)中考命题探究
6.已知x-2y=2,x+2y=6,则x2-4y2+2x-4y的值是_______________.
五、附加题(20分)
7.已知实数m,n,k满足m-n=8,mn+k2=-16.计算m+n+k的值.
参考答案
一、1.分析:
先将原多项式用提取公因式方法进行分解因式,找出因式与方程组中两个方程的关系即可.
解:
7m(m+2n)2-2(m+2n)3
=(m+2n)2[7m-2(m+2n)]
=(m+2n)2[5m-4n].
当m+2n=4,5m-4n=7时,
原式=42×7=112.
点拨:
这一类型题就是把这个多项式因式分解,一般情况下它的因式中一定含有已知条件中(如本题中m+2n、5m-4n的项)出现代数式的项(或通过条件变形得到的式子).这样就可以把已知数据代入.
2.分析:
由条件可以看出若把2拆成1+1,则原式中可出现符合完全平方公式的结构特征的式子,可用完全平方公式将其因式分解.
证明:
原式=a2b2-2ab+1+1
=(ab)2-2ab+12+1
=(ab-1)2+1.
∵(ab-1)2≥0,故(ab-1)2+1≥1.
所以a2b2-2ab+2为正值.
点拨:
判定一个多项式大于0(或小于0)只需将它化成k
p2的形式.
①
②
二、3.分析:
设成猪场边长为a米,仔猪场边长为b米,则它的周长分别为4a,4b,就是4a+4b=160(米),它们的面积分别为a2,b2,有a2-b2=80,由此可求a,b的值,问题可解.
解:
设两个猪场边长分别为a米,b米,则由题意可列方程组
③
④
整理得
将③代入④得1-b=2,⑤
将③⑤重新组成方程组得
解这个方程组得a=21,b=19.
所以成猪场的面积为a2=212=441(平方米).
答:
成猪场的面积为441平方米.
点拨:
本题只要设出未知数,方程组很容易列关键在于解方程组,因为方程②是个二次方程,目前我们还不能解,若将其左边因式分解(按平方差公式)将出现因式a+b,将其用40代换可求a-b,则把二次方程化为一次方程,这样可重新组成一个二元一次方程组.
三、4.分析:
由题意可知题中所涉及的代数式x2+y2,2xy正好是符合完全平方公式中的结构特征,故可用完全平方公式进行证明.
证明:
∵(x-y)2≥0,
∴x2+y2-2xy≥0.
∴x2+y2≥2xy.
并且仅当x=y时,(x-y)2=0即x2+y2-2xy=0,也就是x2+y2=2xy.
点拨:
利用乘方(偶次方)可判断一个可化为偶次方的数(式子)的符号,进一步可比较其中展开式中的一些式子的大小.
四、
(一)5.2a(a-b) 分析:
2a2-2ab只有两项,可以考虑两种方法,提公因式法和平方差公式,观察可知只能用提公因式法进行分解,原式=2a(a-b).
点拨:
考查多项式的因式分解和提公因式法,题目设置注重基础,同时考查了考生思维的严密性和认真程度.
(二)6.16 分析:
将原式分解因式再代入求值,原式=(x+2y)·(x-2y)+2(x-2y)=(x-2y)(x+2y+2),当x-2y=2,x+2y=6时,原式=2×(6+2)=16.
点拨:
本题最好不要根据条件将x,y值求出来,再代入求多项式的值,这样计算量太大了,还容易出错.所以做题要讲究方法,若方法得当会达到事半功倍的效果,方法不当会造成事倍功半的效果.
五、7.分析:
从表面上看本题无从下手,但是如果把这两个式子作恰当处理,再综合到一起,或许会出现一些意想不到的效果,我们共同来试一下吧!
解:
∵m-n=8,
∴(m-n)2=64.①
又∵mn+k2=-16,
∴4(mn+k2)=-64.②
①+②得m2+n2+2mn+4k2=0.
∴(m+n)2+4k2=0.
故有m+n=0,k=0.
所以m+n+k=0.
点拨:
本题所采取的思路是通过两个已知的等式构造出一个平方和为0的式子,这样几个平方项的底数均得0,这样可以直接得出m,n,k的关系,从而使问题获解.
因式分解的常见变形技巧
在因式分解学习过程中,除要掌握教材上介绍的三种基本方法:
提公因式,公式法,分组分解法外,还常常要进行一些灵活的变换。
下面就简单介绍一下这些常见的变换方法。
掌握了这些变换方法后,这类因式分解问题基本可以迎刃而解了。
需要说明的是,要想熟练掌握这些技巧,还需要同学们结合平时的练习去体验我们所讲的方法和思路。
技巧一符号变换
有些多项式有公因式或者可用公式,但是结构不太清晰的情况下,可考虑变换部分项的系数,先看下面的体验题。
体验题1(m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)
指点迷津y-x=-(x-y)
体验过程原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y)
=(x-y)(m+n-m+n)
=2n(x-y)
小结符号变化常用于可用公式或有公因式,但公因式或者用公式的条件不太清晰的情况下。
实践题1分解因式:
-a2-2ab-b2
技巧二系数变换
有些多项式,看起来可以用公式法,但不变形的话,则结构不太清晰,这时可考虑进行系数变换。
体验题2分解因式4x2-12xy+9y2
体验过程原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2
=(2x-3y)2
小结系数变化常用于可用公式,但用公式的条件不太清晰的情况下。
实践题2分解因式
技巧三指数变换
有些多项式,各项的次数比较高,对其进行指数变换后,更易看出多项式的结构。
体验题3分解因式x4-y4
指点迷津把x2看成(x2)2,把y4看成(y2)2,然后用平方差公式。
体验过程原式=(x2)2-(y2)2
=(x2+y2)(x2-y2)
=(x2+y2)(x+y)(x-y)
小结指数变化常用于整式的最高次数是4次或者更高的情况下,指数变化后更易看出各项间的关系。
实践题3分解因式a4-2a4b4+b4
技巧四展开变换
有些多项式已经分成几组了,但分成的几组无法继续进行因式分解,这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。
然后再分组。
体验题4a(a+2)+b(b+2)+2ab
指点迷津表面上看无法分解因式,展开后试试:
a2+2a+b2+2b+2ab。
然后分组。
体验过程原式=a2+2a+b2+2b+2ab
=(a+b)2+2(a+b)
=(a+b)(a+b+2)
小结展开变化常用于已经分组,但此分组无法分解因式,相当于重新分组。
实践题4x(x-1)-y(y-1)
技巧五拆项变换
有些多项式缺项,如最高次数是三次,无二次项或者无一次项,但有常数项。
这类问题直接进行分解往往较为困难,往往对部分项拆项,往往拆次数处于中间的项。
体验题5分解因式3a3-4a+1
指点迷津本题最高次是三次,缺二次项。
三次项的系数为3,而一次项的系数为-4,提公因式后,没法结合常数项。
所以我们将一次项拆开,拆成-3a-a试试。
体验过程原式=3a3-3a-a+1
=3a(a2-1)+1-a
=3a(a+1)(a-1)-(a-1)
=(a-1)[3a(a+1)-1]
=(a-1)(3a2+3a-1)
另外,也可以拆常数项,将1拆成4-3。
原式=3a3-4a+4-3
=3(a3-1)-4(a-1)
=3(a-1)(a2+a+1)-4(a-1)
=(a-1)(3a2+3a+3-4)
=(a-1)(3a2+3a-1)
小结拆项变化多用于缺项的情况,如整式3a3-4a+1,最高次是三,其它的项分别是一,零。
缺二次项。
通常拆项的目的是将各项的系数调整趋于一致。
实践题5分解因式3a3+5a2-2
技巧六添项变换
有些多项式类似完全平方式,但直接无法分解因式。
既然类似完全平方式,我们就添一项然后去一项凑成完全平方式。
然后再考虑用其它的方法。
体验题6分解因式x2+4x-12
指点迷津本题用常规的方法几乎无法入手。
与完全平方式很象。
因此考虑将其配成完全平方式再说。
体验过程原式=x2+4x+4-4-12
=(x+2)2-16
=(x+2)2-42
=(x+2+4)(x+2-4)
=(x+6)(x-2)
小结添项法常用于含有平方项,一次项类似完全平方式的整式或者是缺项的整式,添项的基本目的是配成完全平方式。
实践题6分解因式x2-6x+8
实践题7分解因式a4+4
技巧七换元变换
有些多项式展开后较复杂,可考虑将部分项作为一个整体,用换元法,结构就变得清晰起来了。
然后再考虑用公式法或者其它方法。
体验题7分解因式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
指点迷津直接展开太麻烦,我们考虑两两结合。
看能否把某些部分作为整体考虑。
体验过程(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1*
令x2+5x=m.
上式变形为(m+4)(m+6)+1
m2+10m+24+1
=(m+5)2
=(x2+5x+5)2
*式也可以这样变形,令x2+5x+4=m
原式可变为:
m(m+2)+1
=m2+2m+1
=(m+1)2
=(x2+5x+5)2
小结换元法常用于多项式较复杂,其中有几项的部分相同的情况下。
如上题中的x2+5x+4与x2+5x+6就有相同的项x2+5x.,换元法实际上是用的整体的观点来看问题。
实践题8分解因式x(x+2)(x+3)(x+5)+9
实践题答案
实践题1分解因式:
-a2-2ab-b2
实践详解各项提出符号,可用平方和公式.
原式=-a2-2ab-b2
=-(a2+2ab+b2)
=-(a+b)2
实践题2分解因式
实践详解原式=(
)2+2.
+(
)2
=(
+
)2
实践题3分解因式a4-2a4b4+b4
指点迷津把a4看成(a2)2,b4=(b2)2
实践详解原式=(a2-b2)2
=(a+b)2(a-b)2
实践题4x(x-1)-y(y-1)
指点迷津表面上看无法分解因式,展开后试试:
x2-x-y2+y。
然后重新分组。
实践详解原式=x2-x-y2+y
=(x2-y2)-(x-y)
=(x+y)(x-y)-(x-y)
=(x-y)(x+y-1)
实践题5分解因式3a3+5a2-2
指点迷津三次项的系数为3,二次项的系数为5,提出公因式a2后。
下一步没法进行了。
所以我们将5a2拆成3a2+2a2,化为3a3+3a2+2a2-2.
实践详解原式=3a3+3a2+2a2-2
=3a2(a+1)+2(a2-1)
=3a2(a+1)+2(a+1)(a-1)
=(a+1)(3a2+2a-2)
实践题6分解因式x2-6x+8
实践详解原式=x2-6x+9-9+8
=(x-3)2-1
=(x-3)2-12
=(x-3+1)(x-3-1)
=(x-2)(x-4)
实践题7分解因式a4+4
原式=a4+4a2+4-4a2
=(a2+2)2-4a2
=(a2+2+2a)(a2+2-2a)
=(a2+2a+2)(a2-2a+2)
实践题8分解因式x(x+2)(x+3)(x+5)+9
指点迷津将x(x+5)结合在一起,将(x+2)(x+3)结合在一起..
实践详解原式=[x(x+5)][(x+2)(x+3)]+9
=(x2+5x)(x2+5x+6)+9
令x2+5x=m
上式可变形为
m(m+6)+9
=m2+6m+9
=(m+3)2
=(x2+5x+3)2
因式分解的解题方法与技巧
(2)
4.对称式的因式分解
在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.
例7分解因式x4+(x+y)4+y4
分析 这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:
先将其用xy,x+y表示,再行分解.
解∵x4+y4
=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2
=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.
∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4
=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2
=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]
=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,
例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).
此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式,轮换对称式的因式分解,用因式定理及待定系数法比较简单,下面先粗略介绍一下因式定理,为了叙述方便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值,如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f
(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f
(2)=3×22-5×2-2=0.
因式定理 如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).
如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f
(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).
证明设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,
若f(a)=0,则
f(x)=f(x)-f(a)
=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)
=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)
=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),
由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),
∴(x-a)|f(x),
对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.
现在我们用因式定理来解例8.
解 这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式,现以a为主元,设f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知当a=b和a=c时,都有f(a)=0,故a-b和a-c是多项式的因式,而视b为主元时,同理可知b-c也是多项式的因式,而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k为待定系数,令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.
∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)
=-(a-b)(b-c)(c-a).
例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).
分析这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式,可用因式定理分解,易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式,而四次多项式还有一个因式,由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c,故可设a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)(其中k为待定系数),取,a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以
原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).
因式定理使用得更多的还是一元n次多项式的因式分解.
例10(1985年武汉市初中数学竞赛题)证明:
2x+3为多项式2x4-5x3-10x2+15x+18的因式.
证明 以f(x)记多项式.
+15-
∴2x+3是f(x)的因式.
例11分解因式x3-19x-30.
分析 这里常数项是30,如果多项式f(x)=x3-19x-30有x-a这种形式的因式,那么a一定是30的因数,这是因为f(a)=a3-19a-30=0即a3-19a=30.
∵a|(a3-19a), ∴a|30
解30的因数为±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±15,±30.
∵f
(1)=-48,f(-1)=-12,f
(2)=-60,f(-2)=0,f(3)=-60,f(-3)=0,f(5)=0.(这里已有f(-2)、f(-3)、f(5)等于零了,三次多项式只有三个一次因式,所以不必再计算了.)
∴x3-19x-30=k(x+2)(x+3)(x-5),
∴x3的系数为1,∴k=1,
故 x3-19x-30=(x+2)(x+3)(x-5).
练习:
1.分解因式(x+y)3-x3-y3+3xy.
2.分解因式(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.
3.(1986年五城市联赛试题)若a为自然数,则a4-3a2+9是质数,还是合数?
给出你的证明.
4.(1985年北京市初中数学竞赛题)若a为自然数,证明:
10|(a1985-a1949).
参考答案:
1.原式=(x+y)3-(x3+y3)+3xy=…=3xy(x+y+1).
2.(a+b)(b+c)(c+a).
3.原式=(a2-3a+3)(a2+3a+3).
再讨论:
a=1或2时,知为质数,a>2为合数.
4.∵a1985-a1949=a1949(a2+1)(a4-a2+1)(a12-a6+1)(a+1)(a2-a+1)(a6-a3+1)(a6+a3+1)(a2+a+1)(a-1).当a的个位数字分别为0~9时,上式右端总含有因数2和5,
∴10|(a1985-a1949)
初二奥数辅导因式分解
(一)
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.
1.运用公式法
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:
(1)a2-b2=(a+b)(a-b);
(2)a2±2ab+b2=(a±b)2;
(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);
(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).
下面再补充几个常用的公式:
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);
(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数;
(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1),其中n为偶数;
(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1),其中n为奇数.
运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.
例1 分解因式:
(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4;
(2)x3-8y3-z3-6xyz;
(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab;
(4)a7-a5b2+a2b5-b7.
解
(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)
=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]
=-2xn-1yn(x2n-y2)2
=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2.
(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).
(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2
=(a-b)2+2c(a-b)+c2
=(a-b+c)2.
本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下:
原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)
=(a-b+c)2
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- 关 键 词:
- 因式分解
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