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论文交巡警调度
交巡警服务平台的设置与调度问题
摘要
本文采用图论和规划理论建立数学模型,解决交巡警服务平台的设置与调度的问题,运用Floyd算法在MATLAB软件求最短路径及最短距离矩阵作为建模和计算的基础。
问题一:
A区
(1)建立0-1规划模型分配各平台的管辖范围,发现存在未被分配的节点,再对规划模型进行改进,得到所有平台不重不漏的分配方案。
(2)用任务指派模型解决交巡警服务平台警力调度,以实现全封锁的时间最短和所有平台总路程最短为目标函数,得到实现13个出入口快速全封锁的时间为8.01min,调度方案:
表1A区平台调度方案
平台
2
4
5
7
8
9
10
11
13
14
15
16
出入口
38
62
48
29
30
16
22
24
23
21
28
14
(3)建立双目标规划模型解决增加平台问题。
目标一:
用比例系数将工作量量化,工作量的均衡即等价为各个平台工作量的差值最小;目标二:
20个平台交巡警前往案发节点的最长路程与3km差值尽量小,利用LINGO求解得新增平台个数为4,设置在节点29、39、62、91。
问题二:
(1)定义合理性指标为任意两个平台工作量差值的绝对值,此值越小,则平台的设置越合理;反之,则越不合理。
当出现不合理时,则采取在不合理区中增减平台来调节,不合理平台解决方案如下:
表2不合理平台设置的解决方案
区域
A
B
C
D
E
F
平台总数
20
18
65
20
45
45
(2)首先证明最佳围堵方案的存在性,再以P点为圆心,以罪犯3分钟逃跑的路程为半径形成一个包围圈,在包围圈内选出若干个路口,再以这些路口为圆心,10t为半径形成若干个包围圈,交巡警赶往这些路口围堵罪犯,围堵方案如下:
表3全市围堵方案
路口
15
151
153
177
202
203
235
236
578
317
平台
173
93
95
177
175
180
16
15
485
178
96
479
181
382
路口
325
328
332
362
387
418
483
541
572
264
平台
324
327
380
323
100
375
478
476
484
182
关键词:
0-1规划模型任务指派模型双目标规划Floyd算法
一问题重述
为更有效地实施警察职能,需要在市区交通要道和重要部位设置交巡警服务平台,每个平台的警力配备基本相同,由于警力资源有限,如何根据某市实际情况解决以下问题:
问题一:
1、根据该市中心城区A的交通网络和现有的20个交巡警服务平台的设置情况及相关的数据信息。
请为各交巡警服务平台分配管辖范围,使其在所管辖的范围内出现突发事件时,尽量能在3分钟内有交巡警(警车的时速为60km/h)到达事发地。
2、对于重大突发事件,如何调度全区20个交巡警服务平台的警力资源,对进出该区的13条交通要道实现快速全封锁。
(一个平台的警力最多封锁一个路口)
3、由于现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况,拟在该区内再增加2至5个平台,请确定需要增加平台的具体个数和位置。
问题二:
1、针对全市(主城六区A,B,C,D,E,F)的具体情况,按照设置交巡警服务平台的原则和任务,分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案(参见附件)的合理性。
如果有明显不合理,请给出解决方案。
2、如果该市地点P(第32个节点)处发生了重大刑事案件,在案发3分钟后接到报警,犯罪嫌疑人已驾车逃跑。
为了快速搜捕嫌疑犯,请给最佳围堵方案。
二模型假设
1.假设各交巡警服务平台分配管辖范围的边界只为路口节点,
2.假设一个平台的警力只能封锁一个出入路口;
3.假设警察只到报案节点处理案件;
4.假设当案件发生时,交警会选择平台到案发节点之间最短的线路前往案发地;
5.假设警察出警一次只能处理一个突发案件;
6.假设每辆巡警车和犯罪嫌疑人的车行驶中速度保持匀速且车速均为60km/h;
三符号说明
定义
符号说明
A区中第i个节点(i=1,2,3,…,92)
A区第i个节点到第j个节点的最短路径的路程
A区第i个平台管辖范围内所有路线的路程之和
A区所有平台管辖的各线路的路程之和;
车速(10百米/min)
第m个节点的发案次数(m=1,2,…,92)
0-1变量
处理一次突发事件的工作量等价于行驶的路程
第i个平台的总工作量
p点到全市各出口的距离
四模型准备
4.1邻接矩阵N
邻接矩阵N中元素为
,若
1表示对应的平台
与节点
直接连通,
0表示对应的平台
与节点
未直接连通:
4.2最短路径矩阵R
任意两节点之间可能不止一条路径,求任意两节点的最短路径是建模的基础。
依据邻接矩阵N,运用MATLAB软件求解出任意两点的最短路径,构建出最短路径矩阵R,见附录1。
4.3最短距离矩阵D
每一条最短路径对应一个路程值,我们以上述最短路径矩阵R为参照,构造出对应的最短距离矩阵D,若以A区为例,则其最短距离矩阵
,
表示第i个节点到第j个节点的最短路径的路程(i,j=1,2,…,92)。
则矩阵D表示如下:
4.4变量转换
题目要求尽量能在3分钟内有交巡警到达事发地,将时间变量转化为路程变量。
由于警车的时速为60km/h,是固定值,即要求事发地到其所属的平台距离小于3km。
五模型分析建立与求解
5.1问题一
5.1.1交巡警服务平台分配管辖范围的确定
(1)问题分析
为各交巡警服务平台分配管辖范围,使其在所管辖的范围内出现突发事件时,尽量能在3分钟内(即最大距离为3km)有交巡警到达事发地,结合0-1规划模型及图论的相关知识确定各平台管辖范围。
(2)规划模型
决策变量:
0-1变量
,若第i个平台管辖节点j,记为
=1,否则
=0;
约束条件:
1.任一个节点m至多由一个平台管辖,即有
;
2.到达突发事件点的时间小于3分钟,等价为路程小于3km,即有
,
目标函数:
平台所管辖范围之和尽量小。
综上,得到0-1规划模型如下:
(3)模型求解
参照邻接矩阵N和最短距离矩阵D,并利用MATLAB求解出各平台管辖的节点,结果如下表:
表4各平台管辖范围初始方案
分析上表可发现以下两个问题:
1.共有6个节点任何平台都不能在3分钟之内到达,分别是:
节点28,29,38,39,61,92,这些节点没有归入任何平台的管辖范围,是由于3分钟内到达案发节点的约束过严。
分别算出与这六个点距离最近的平台的路程,得到它们中距离最大值为5.7。
为使所有节点都有平台管理,将模型的约束条件
放大为
;
2.有些节点分布过于密集,可能被不止一个平台来进行管理,导致不知将这些节点归入哪个平台的管辖范围,例如平台4、5都管理节点58,得到改进后的规划模型:
至此,可以得到改进后的各平台管辖范围:
表5各平台管辖范围改进方案
平台1
管辖节点
68
69
71
73
74
75
76
78
最短路程
1.21
0.5
1.14
1.03
0.63
0.93
1.28
0.64
平台2
管辖节点
40
43
44
70
72
最短路程
1.91
0.8
0.95
0.86
1.61
平台3
管辖节点
55
65
66
最短路程
1.27
1.52
1.84
平台4
管辖节点
60
62
63
64
最短路程
1.74
0.35
1.03
1.94
平台5
管辖节点
50
51
52
53
56
58
59
最短路程
0.85
1.23
1.66
1.17
2.08
2.3
1.52
平台7
管辖节点
32
47
48
61
最短路程
1.14
1.28
1.29
4.19
平台8
管辖节点
46
最短路程
0.93
平台9
管辖节点
34
35
45
最短路程
0.5
0.42
1.09
平台11
管辖节点
26
27
最短路程
0.9
1.64
平台12
管辖节点
25
最短路程
1.79
平台13
管辖节点
21
22
23
24
最短路程
2.71
0.91
0.5
2.39
平台15
管辖节点
28
29
最短路程
4.75
5.7
平台16
管辖节点
36
37
38
最短路程
0.61
1.12
3.41
平台17
管辖节点
41
42
最短路程
0.85
0.98
平台18
管辖节点
80
81
82
83
最短路程
0.81
0.67
1.08
0.54
平台19
管辖节点
77
79
最短路程
0.98
0.45
平台20
管辖节点
84
85
86
87
88
89
90
91
92
最短路程
1.18
0.45
0.36
1.46
1.29
0.95
1.3
1.59
3.59
(3)结果分析
分析上表,发现各平台管辖范围的分配存在不公平:
有些平台管理很多节点,有些平台只管理自身所在的节点。
以平台1和平台14为例,平台1要管理21个节点(含自身),且这21个节点每天的平均发案总次数为20.9,平台14只管理本身节点,且它的每天发案次数为2.5。
因此,模型还需进一步改进。
5.1.2交巡警服务平台警力合理的调度方案
(1)问题分析
对于重大突发事件,要设计出该区交巡警服务平台警力合理的调度方案,即调派全区20个平台中的某13个对交通要道的13个出入口实现快速全封锁,并做到最后一个到达出入路口的时间尽量短(或路程尽量小),采用任务指派模型来解决这一问题。
(2)建立模型
引入0-1变量
,若调派平台i去封锁出入口j,记
,否则记
。
每个平台最多只能被调派到13个出入口之一,一个路口只能被一个平台封锁。
应满足两个约束条件:
1.
,
2.
,
要做到快速全封锁,要求最后一个到达封锁出入口的交警平台所用时间最短。
对于某个平台i,将其调派到与它路程最短的出入口m,此路程即为
,则要求这13个路程中的最大值最小。
目标函数:
但仅在满足最后一个到达封锁出入口的平台所用时间(或路程)最短的目标下,各平台的调度方案也是不唯一的,即完成快速封锁的平均时间不一定最小,为使调度方案更加优化,要求各调度平台的总路程最短,即
综上,此问题的0-1规划模型为:
(3)模型求解
利用LINGO软件求解上述规划模型得到了最优的调度方案(附录3),
将最优调度方案结果列表如下:
表7重大事件平台的调度方案
平台
调往节点
时间(min)
2
38
3.98
4
62
0.35
5
48
2.48
7
29
8.01
8
30
3.06
9
16
1.53
10
22
7.71
11
24
3.8
13
23
0.5
14
21
3.27
15
28
4.75
16
14
6.74
由上表可得实现13个出入口的快速全封锁的时间约为8.01min。
5.1.3增加平台的具体个数和位置
1.问题分析
根据现有交巡警服务平台的工作量不均衡和有些地方出警时间过长的实际情况,拟在该区内再增加2至5个平台,则此问题的求解要达到两个目标:
(1)现有交巡警服务平台的工作量尽量均衡;
(2)20个平台的出警时间都不要太大。
对于目标一,将工作量量化,工作量的均衡即等价为工作量的差值最小;对于目标二,20个平台交巡警前往案发节点的最长路程与3km差值尽量小,若从平台出警到案发地所用时间少于3分钟则最好,若所用时间多于3分钟,则超出3分钟的时间要尽可能小。
以上述两个目标为目标函数,建立双目标规划问题求解。
2.模型初步简化
为了达到所增平台位置和个数的最优组合,则增设平台的位置要将72个非平台节点全部考虑在内,若增设n个节点(n=2,3,4,5),则有
种情况。
所以总共要考虑
种可能性。
由于可能情况过多,计算量过大,考虑简化模型。
在A区各平台管辖范围划分中,有6个节点任何平台都不能在3分钟之内到达,所以考虑将增加的平台设置在这6个节点。
3.工作量均衡化
将工作量量化并将均衡等价为量化后的工作量尽量相等,考虑各节点发案次数及实际情况,将各平台的工作量量化为两部分。
(1)第i个平台的警察处理其管辖范围内除自身外各节点案件所需的总路程:
(2)第i个平台的警察处理自身节点案件的工作量:
为使不同平台的工作量具备可比性,引入比例系数
,表示处理一次突发事件的工作量等价于
单位的路程,则处理自身案件的工作量为
,从而得到平台i工作量的表达式:
工作量均衡要求各平台工作量之间的差值尽可能小,为
,
4.出警时间最小化
出警时间是评定平台工作效率的重要因素,则要求所有平台在各管辖范围内出警时间要尽可能小:
5.增设平台点的处理
设增加的平台个数为n,位置设为节点
,
在为不满足3分钟到达的6个点之一或者发案次数集中的区域,所以平台节点增加了n个,非平台节点减少了n个。
6.规划模型
不增设平台时的工作量均衡的规划模型:
在上述模型中引入增设平台的个数n及平台的位置
,将模型调整为:
7.模型求解
(1)比例系数
的确定
表示处理一次突发事件的工作量等价于行驶
单位的路程,即为某一区内所有平台管辖范围的总距离与该区发案总次数的比值,假设不同的行政区
不同,同一行政区内部
相同。
以A区为例,
的表达式为:
(2)求解计算
利用LINGO软件(附录4),得到增设平台的个数n及位置
结果如下表:
表3A区新增平台位置
新增平台
节点位置
29
39
61
92
5.2第二问
5.2.1分析研究该市现有交巡警服务平台设置方案的合理性
(1)问题分析
分析该市现有交巡警服务平台设置方案的合理性,以各个局部合理代替全局合理,将六区等价为6个“平台”,运用合理性指标表示任意两个平台工作量差值的绝对值,指标越小,则平台的设置越合理;反之,则越不合理。
若存在不合理点,则考虑通过增减平台个数来合理化平台设置方案。
(2)合理性分析步骤:
1.计算出6个“平台”的平均工作量
。
由于这6个“平台”的特殊性,由实际数据所算得的
是与“平台”对应的区人口密度
正相关的,即平均工作量是包含
这一因素的,为了使各“平台”的平均工作量具有可比性,要消除这一因素的干扰,定义比例均值
;
2.计算平台i,j的合理性指标
,找出
所对应的“平台点”即满足
的“平台”为不合理点;
3.若不合理点的比例均值超出总平均工作量过多,则在不合理点所对应的区中加入平台点,可使比例均值工作量减小;反之,则移除平台点,使比例均值增加。
得到此“平台”对应的新的比例均值工作量;
4.重复步骤2、3,直到合理性指标
可以小于某个给定的
(由实际数据分析,我们设
为除不合理点以外的标准差)。
由上述步骤可得到不合理平台的解决方案,但方案不唯一,将其中的一个解决方案展示如下表:
表4不合理平台设置的一种解决方案
区域
A
B
C
D
E
F
平台总数
20
18
65
20
45
45
5.2.2最佳围堵方案
1.问题分析
首先证明在本市范围内最佳围堵方案的存在性,再以P点为圆心,以罪犯3分钟逃跑的路程为半径形成一个包围圈,在包围圈内选出若干个路口,再以这些路口为圆心,10t为半径形成若干个包围圈,交巡警从自己平台出发赶往这些路口围堵罪犯。
2.模型建立
(1)最佳围堵方案存在性证明
若犯罪嫌疑人选择从P点出发逃离本市的最短路径,即最短路径为
由最短距离矩阵R可得犯罪嫌疑人逃离本市的最短路径(即从节点32到出入点572),由最短距离矩阵D可得对应的总路程为
21.75km。
犯罪嫌疑人要想在3分钟驾车逃离本市,车速必须达到435km/h,与实际情况不符,因此围堵方案是存在的且不止一种,则可从中选出最佳围堵方案。
(2)围堵方案的数学模型:
为快速搜捕嫌疑犯,要求各平台到封锁路口的时间最短,即最大搜索距离最短,首先求出需要封锁的路口,具体做法为:
计算出嫌疑犯3分钟走的路程为30,再以P32点为圆心,30为半径形成包围圈,在这个包围圈的
邻域内选出若干个路口,再以这些路口为圆心,10t为半径形成若干个包围圈。
建立模型如下:
(程序见附录5)
,
3.模型求解
应用LINGO软件求解结果如下:
路口
15
151
153
177
202
203
235
236
578
317
平台
173
93
95
177
175
180
16
15
485
178
96
479
181
382
路口
325
328
332
362
387
418
483
541
572
264
平台
324
327
380
323
100
375
478
476
484
182
此时最短时间为:
12.68027
六模型评价及推广
6.1模型评价
1.优点:
(1)对于问题的求解方法简单直观,可操作性强;
(2)模型整体上较为统一,都为规划模型,也表明了我们所建立的模型具有较好的可移植性;
(3)我们所建立模型的求解均有计算机软件编程实现,使得模型结果更加精确。
2.缺点:
(1)理论模型所要求的算法过大,是的实现起来时间过长,导致无法在短时间内实现;
(2)模型的最优解是局部最优,不是绝对的全局最优,会略微影响到方案的设计。
6.2模型推广
1.可将问题一中第三问的模型推广到服务类平台(例如:
报亭,超市,公交站点等)在社区,城市,大型活动中地点的安排与工作量均衡的一个方案模型。
2.将问题一中的第二个问题推广到现实中警察如何追击犯罪嫌疑人,以及军队如何封堵敌军,实施包围战。
七参考文献
【1】何正风,《MATLAB在数学方面的应用》,北京:
清华大学育出版社,
2012年1月第一版
【2】黄红选,韩继业等,《数学规划》,北京:
清华大学出版社,2006年3月第一版
【3】姜启源,谢金星等,《数学建模》,北京:
高等教育出版社,2003年8月第三版
【4】2011年全国大学生数学建模竞赛B题一等奖论文_XX文库,
【5】王希伟,《数学建模解决交巡警服务平台的设置与调度问题》,
附录
附录1(在matlab中显示A区的图坐标的标号):
X=xlsread('A区.xls');
x=X(:
2);
y=X(:
3);
z=X(:
6);
h=X(:
7);
fori=1:
2
holdon
plot(x,y,'r*')
text(x
(1),y
(1),'1');
text(x
(2),y
(2),'2');
text(x(3),y(3),'3');
text(x(4),y(4),'4');
text(x(5),y(5),'5');
text(x(6),y(6),'6');
text(x(7),y(7),'7');
text(x(8),y(8),'8');
text(x(9),y(9),'9');
text(x(10),y(10),'10');
text(x(11),y(11),'11');
text(x(12),y(12),'12');
text(x(13),y(13),'13');
text(x(14),y(14),'14');
text(x(15),y(15),'15');
text(x(16),y(16),'16');
text(x(17),y(17),'17');
text(x(18),y(18),'18');
text(x(19),y(19),'19');
text(x(20),y(20),'20');
text(x(21),y(21),'21');
text(x(22),y(22),'22');
text(x(23),y(23),'23');
text(x(24),y(24),'24');
text(x(25),y(25),'25');
text(x(26),y(26),'26');
text(x(27),y(27),'27');
text(x(28),y(28),'28');
text(x(29),y(29),'29');
text(x(30),y(30),'30');
text(x(31),y(31),'31');
text(x(32),y(32),'32');
text(x(33),y(33),'33');
text(x(34),y(34),'34');
text(x(35),y(35),'35');
text(x(36),y(36),'36');
text(x(37),y(37),'37');
text(x(38),y(38),'38');
text(x(39),y(39),'39');
text(x(40),y(40),'40');
text(x(41),y(41),'41');
text(x(42),y(42),'42');
text(x(43),y(43),'43');
text(x(44),y(44),'44');
text(x(45),y(45),'45');
text(x(46),y(46),'46');
te
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- 论文 巡警 调度