精品五年级奥数培优教程讲义第03讲鸡兔同笼问题教师版.docx

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精品五年级奥数培优教程讲义第03讲鸡兔同笼问题教师版

第03讲鸡兔同笼问题

掌握图解法和列表法解决鸡兔同笼问题；

掌握假设法和列方程法解决鸡兔同笼问题。

大约一千五百年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题：

今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

意思是：

笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。

鸡和兔各有几只？

这就是著名的“鸡兔同笼”问题。

如何解决这道数学趣题，就是我们今天要学习的内容。

解决鸡兔同笼问题的主要方法有：

1、砍足法（抬腿法）

解答思路：

假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由

只变成了

只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多

．因此，脚的总只数

与总头数

的差，就是兔子的只数，即

（只）．显然，鸡的只数就是

（只）了．

2、假设法（经典）

鸡兔同笼问题的基本关系式是：

如果假设全是兔，那么则有：

鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

　　兔数=鸡兔总数-鸡数

如果假设全是鸡，那么就有：

兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

　　鸡数=鸡兔总数-兔数

3、方程法

根据鸡兔的脚之和列方程解答。

考点一：

图解法和列表法

例1、鸡兔同笼，有20个头，54只脚，鸡兔各多少只？

【解析】从有1只鸡开始一个一个地试，把试的结果列成表格。

头（个）鸡（只）兔（只）脚（只）

2011978

2021876

2031774

2041672

20………

2013754

刚好，13只鸡，7只兔。

这样做太麻烦，先假设兔和鸡各占一半。

头（个）鸡（只）兔（只）脚（只）

20101060>54

2011958

2012856

2013754

先假设兔和鸡各占一半，根据脚的总数量与实际数量的大小关系，确定减少鸡还是兔，这样就减少列举的次数。

例2、有鸡兔共30只，兔脚比鸡脚多60只，问鸡兔各多少只？

【解析】可以用列表的方式，先假定鸡兔各占一半，

头（个）鸡（只）兔（只）鸡脚兔脚鸡兔脚之差

301515306030

301416286436

301317266842

301218247248

301119

2

652

301020208060

所以10只鸡20只兔。

点评：

从表中可以看出：

增加一只兔，减少一只鸡，它们的脚数差增加6.同样，减少一只兔，增加一只鸡，它们的脚数差减少6.也就是说，用一只鸡换一只兔，脚数差的变化为6只。

例3、笼子里有鸡和兔共8只，一共22条腿。

鸡和兔各有几只？

【解析】本题可以用列表法解答，现在我们用另一种方法——图解法来解答。

第一步：

先画8个表示鸡兔共有8个头。

第二步：

给每个头都配上2条腿，共16条腿，这样8只全是鸡。

第三步：

把剩下的6条腿配在3个图上，这样2条腿的有5个，4条腿的有3个。

也就是有5只鸡，3只兔。

把上面的过程列成算式：

假设全是鸡：

8个头只需要16条腿

8×2=16（只）

还剩下6条腿：

22-16=6（只）

再把6条腿加在3只鸡上，就变成3只兔。

6÷2=3（只）

考点二：

假设法

例1、有鸡兔共20只，脚44只，鸡兔各几只？

【解析】假设20只全是鸡，那么就有鸡脚20×2=40只，比实际少了44-40=4只，是因为每只兔少算了4-2=2只脚，所以兔有4÷2=2只。

鸡有20-2=18只。

例2、鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。

问：

鸡、兔各多少只？

【解析】假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。

这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚与兔脚的差比实际的差多200-20=180（只）。

　　现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100-30＝70（只）。

　　解：

有兔（2×100-20）÷（2＋4）＝30（只），

　　有鸡100-30=70（只）。

　　答：

有鸡70只，兔30只。

例3、现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。

问：

大、小瓶各有多少个？

【解析】小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个），

　　大瓶有50-30＝20（个）。

答：

有大瓶20个，小瓶30个。

例4、彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。

问：

两种文化用品各买了多少套?

【解析】我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。

这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。

买了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304（元），比实际多304－280＝24（元），是因为普通文化用品每套多算了19—11＝8（元），所以买普通文化用品24÷8＝3（套），买彩色文化用品16－3＝13（套）。

例5、100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。

问：

大、小和尚各有多少人?

【解析】本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。

如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。

假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300—140＝160（个）。

现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3—1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有100—80＝20（人）。

同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。

在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。

考点三：

列方程解决鸡兔同笼问题

例1、鸡、兔共笼，鸡比兔多20只，足数共280只，问鸡、兔各几只？

【解析】本题可以用假设法解答。

假设鸡与兔的数量一样，则足数共280-20×2=240只，则兔有240÷（4+2）=40只，鸡有40+20=60只。

鸡兔同笼问题除了用假设法解答外，还可以用方程解答

解：

设有x只鸡，则有x-20只兔。

根据足数共280只列方程得

2x+4（x-20）=280

X=60

60-20=40

答：

鸡60只、兔40只。

例2、刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船．每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？

【解析】本题是鸡兔同笼的变形题。

把大船看成“兔”，小船看成“鸡”，学生看成“脚”。

解：

设大船x条，小船10-x条。

6x+4（10-x）=41+1

X=1

10-1=9

答：

大船租1条、小船租9条。

例3、大院里养了三种动物，每只小山羊戴着3个铃铛，每只狮子狗戴着一个铃铛，大白鹅不戴铃铛．小明数了数，一共9个脑袋、28条腿、11个铃铛，三种动物各有多少只？

【解析】本题是三个对象的鸡兔同笼问题。

若用假设法解题，应抓住“狮子狗与小山羊的脚相同”这一条件，即把狮子狗与小山羊看成“兔”，大白鹅看成“鸡”，这样把三种动物转化成两种动物的鸡兔同笼问题。

列方程也同样要将狮子狗与小山羊看成“兔”，大白鹅看成“鸡”。

解：

设小山羊和狮子狗共有x只，大白鹅有9-x只。

4x+2（9-x）=28

X=5

9-5=4

再设小山羊有y只，狮子狗有5-y只

3y+（5-y）=11

Y=3

5-3=2

答：

小山羊有3只，狮子狗有2只，大白鹅有4只。

例4、小毛参加数学竞赛，共做20道题，得64分，已知做对一道得5分，不做得0分，错一题扣2分，又知道他做错的题和没做的一样多．问小毛做对几道题？

【解析】设错了x题，对了20-2x题。

5（20-2x）-2x=64

X=3

20-2×3=14

答：

小毛做对14道题.

点评：

将三种以及更多的动物/东西，转化为两种动物/东西的鸡兔同笼基本模型。

即：

抓住转化后的“头”与“脚”。

Ø课堂狙击

1、今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只，问鸡兔各几只？

【解析】假设全是鸡，那么就有鸡脚35×2=70只，比实际少了94-70=24只，是因为每只兔少算了4-2=2只，所以兔有24÷2=12只。

鸡有35-12=23只。

2、鸡与兔共有200只，鸡的脚比兔的脚少56只，问鸡与兔各多少只？

【解析】假设200只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚200×4=800只，而鸡的脚数为零。

这样兔脚比鸡脚多800只，而实际上只多56只，比实际的差多800-56=744（只）。

是因为每只鸡换成兔，鸡的脚减少2只，兔的脚增加4只，也就是一只鸡变成一只兔，兔的脚与鸡的脚之差就会增加6只。

因此鸡有744÷6＝124只，兔子200-134=76只。

3、在一个停车场上，现有车辆

辆，其中汽车有

个轮子，摩托车有

个轮子，这些车共有

个轮子，那么三轮摩托车有多少辆？

【解析】假设都是三轮摩托车，应有3×41=123（个）轮子，少了127-123=4（个）轮子．每把一辆汽车假设为三轮摩托车，会减少4-3=1（个）轮子．汽车有4÷1=4（辆）；从而求出三轮摩托车有41-4=37（辆）．或者假设都是汽车，应有4×41=164（个）轮子，多了164-127=37（个）轮子；

所以摩托车有37÷（4-3）=37（辆）．

4、小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。

已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下?

【解析】利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了12×（2+3）＝60（下）。

可求出小乐每分钟跳

（780－60）÷（2+3+3）＝90（下），

小乐一共跳了90×3＝270（下），因此小喜比小乐共多跳

780—270×2＝240（下）。

5、列方程解答：

鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。

问：

鸡、兔各多少只？

【解析】设鸡x只，兔100-x只。

2x-4（100-x）=20

X=70

100-70=30

答：

鸡70只、兔30只。

6、五年二班全体同学，植树节那天共栽树180棵．平均每个男生栽5棵、每个女生栽3棵；又知女生比男生多4人，该班男生和女生各多少人？

【解析】设男生x人，女生x+4人。

5x+3（x+4）=180

X=21

21+4=25

答：

该班男生有21人，女生有25人。

7、食品店上午卖出每千克为20元、25元、30元的3种糖果共100千克，共收入2570元．已知其中售出每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，那么，每千克25元的糖果售出了多少千克？

【解析】每千克25元和每千克30元的糖果共收入了1970元，则每千克20元的收入：

元，所以卖出：

千克，所以卖出每千克25元和每千克30克的糖果共

千克，相当于将题目转换成：

卖出每千克25元和每千克30克的糖果共70千克，收入1970元，问：

每千克25元的糖果售出了多少千克？

转换成了最基本的鸡兔同笼问题．

Ø课堂反击

1、鸡兔同笼，头共

，足共

，鸡兔各几只？

【解析】假设46只都是兔，一共应有4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多4-2=2（只）脚，那么56只脚是我们把56÷2=28只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18（只）．

2、鸡、兔同笼，鸡比兔多

只，足数共

只，问鸡、兔各几只？

【解析】这道例题是已知鸡、兔的脚数和，鸡比兔多的只数，求鸡、兔各几只．我们假设鸡与兔只数一样多，那么现在它们的足数一共有：

274-2×26=222（只），每一对鸡、兔共有足：

2+4=6（只），鸡兔共有对数（也就是兔子的只数）：

222÷6=37（对），则鸡有37+26=63（只）．

3、工人运青瓷花瓶250个，规定完整运到目的地一个给运费20元，损坏一个倒赔100元．运完这批花瓶后，工人共得4400元，则损坏了多少个？

【解析】本题中“损坏一个倒赔100元”的意思是运一个完好的花瓶与损坏1个花瓶相差

（元），即损1个花瓶不但得不到20元的运费，而且要付出120元．本例可假设250个花瓶都完好，这样可得运费20×250=5000（元）．这样比实际多得5000-4400=600（元）．

就是因为有损坏的瓶子，损坏1个花瓶相差120元．现共相差600元，从而求出共损坏多少个花瓶．根据以上分析，可得损坏了（20×250-4400）÷（100+20）=5（个）．

4、某学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，那么其中有多少间大宿舍？

【解析】如果30间都是小宿舍，那么只能住4×30=120（人），而实际上住了168人．大宿舍比小宿舍每间多住6-4=2（人），所以大宿舍有（168-120）÷2=24（间）．

5、学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。

问：

象棋与跳棋各有多少副?

【解析】假设26副全是跳棋，那么可供26×6=152人活动，比实际多了156-120=36人，是因为每副象棋多算了6-2=4人，所以象棋有36÷4=9副。

跳棋有26-9=17副。

6、某次数学测验共20题，做对一题得5分，做错或不做一题倒扣1分．小华得了88分，问他做对几题？

【解析】设作对x题，做错和不做共有20-x题。

5x-（20-x）=88

X=18

20-18=2

答：

他做对18题.

7、小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。

贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。

问：

贺年卡、明信片各买了几张?

分析：

把贺年卡看成“兔”，明信片看成“鸡”，单价就是鸡兔的脚，总价40元就是“脚和”，14张就是“头和”。

解：

设贺年卡x张，明信片14-x张。

3.5x+2.5（14-x）=40

X=5

14-5=9

答：

贺年卡买了5张、明信片买了9张。

解决鸡兔同笼问题的主要方法有：

1、列表法

根据鸡与兔的数量和，把所有可能的情况列举出来，找到符合条件的解。

一般采用半数列举法，即假定鸡兔各占一半，这样列举可以减少列举的次数，提高效率。

2、图示法

先画出所有的头，再把每个头上画上2只脚，再把剩下的脚画在部分图上，每个图上加上2只脚，直到脚全部用完。

这样，有4只脚的就是兔子，2只脚的就是鸡。

也可以把每个头上画上4只脚，再从有4只脚的头上取下2只画在没有脚的头上，直到所有的头都有脚。

这样有4只脚的就是兔子，2只脚的就是鸡。

3、假设法

假设全是鸡或全是兔，计算脚数与实际脚数的差，分析产生差的原因，利用产生差的原因解题。

变形题注意对假设对象的调整，根据不同的情况做合理假设，不可千篇一律。

4、方程法

利用方程解鸡兔同笼问题的等量关系是：

鸡的脚数+兔的脚数=鸡兔脚数和

变形题注意数量关系的变化。

5、关于鸡兔同笼变形题

先在题中找到对应的“鸡”和“兔”，“鸡脚”和“兔脚”，再按照鸡兔同笼的方法解答。

Ø本节课我学到

Ø我需要努力的地方是