7个专题19份高考数学文科通用二轮专题复习仿真练.docx
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7个专题19份高考数学文科通用二轮专题复习仿真练
【7个专题19份】
2016高考数学文科(通用)
二轮专题复习仿真练
目录
专题一2
第1讲 函数图象与性质及函数与方程2
第2讲 不等式及线性规划5
第3讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题10
第4讲 函数图象的切线及交点个数问题14
第5讲 导数与不等式的证明、存在性及恒成立问题17
专题二22
第1讲 三角函数的图象与性质22
第2讲三角恒等变换与解三角形27
第3讲平面向量31
专题三35
第1讲 等差数列、等比数列35
第2讲 数列的通项与求和问题39
专题四44
第1讲 空间几何体中的计算问题44
第2讲 空间中的平行与垂直的证明问题49
专题五55
第1讲 直线与圆、圆锥曲线的概念与性质55
第2讲 直线与圆锥曲线的位置关系59
第3讲 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题65
专题六70
第1讲 概 率70
第2讲 统计与统计案例74
专题七79
第1讲 函数与方程思想、数形结合思想79
第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想83
专题一
第1讲 函数图象与性质及函数与方程
一、选择题
1.(2015·石家庄模拟)函数f(x)=的定义域为( )
A.(-∞,0]B.[0,1)∪[1,+∞)
C.[1,+∞)D.(1,+∞)
【详细分析】由题意知解得x≤0且x≠1.
答案 A
2.函数f(x)=log2x-的零点所在的区间为( )
A.B.C.(1,2)D.(2,3)
【详细分析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),且函数f(x)在(0,+∞)上为增函数.
f=log2-=-1-2=-3<0,
f
(1)=log21-=0-1<0,
f
(2)=log22-=1-=>0,
f(3)=log23->1-=>0,即f
(1)·f
(2)<0,
∴函数f(x)=log2x-的零点在区间(1,2)内.
答案 C
3.(2015·安徽卷)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )
A.y=lnxB.y=x2+1C.y=sinxD.y=cosx
【详细分析】对数函数y=lnx是非奇非偶函数;y=x2+1为偶函数但没有零点;y=sinx是奇函数;y=cosx是偶函数且有零点,故选D.
答案 D
4.(2015·山东卷)若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A.(-∞,-1)B.(-1,0)
C.(0,1)D.(1,+∞)
【详细分析】∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),
即=-,整理得(1-a)(2x+1)=0,
∴a=1,∴f(x)>3即为>3,化简得(2x-2)(2x-1)<0,∴1<2x<2,∴0<x<1.
答案 C
5.(2015·天津卷)已知函数f(x)=函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为( )
A.2B.3C.4D.5
【详细分析】
函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数f(x)与g(x)图象的交点个数,记h(x)=-f(2-x),在同一坐标系中作出函数f(x)与h(x)的图象,如图,g(x)的图象为h(x)的图象向上平移3个单位,可知f(x)与g(x)的图象有两个交点,故选A.
答案 A
二、填空题
6.(2015·浙江卷)计算:
log2=________,2log23+log43=________.
【详细分析】log2=log22-=-,
2log23+log43=2log23+log23=2log23=3.
答案 - 3
7.(2015·长沙模拟)已知奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈(0,1)时,f(x)=2x,则f的值为________.
【详细分析】由f(x+2)=-f(x)知f(x)的周期为4,
又f(-x)=-f(x),
∴f=f=f=-f=-.
答案 -
8.(2015·武汉模拟)若函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是________.
【详细分析】当x>0时,由f(x)=lnx=0,得x=1.
因为函数f(x)有两个不同的零点,则当x≤0时,
函数f(x)=2x-a有一个零点,令f(x)=0得a=2x,
因为0<2x≤20=1,所以0<a≤1,
所以实数a的取值范围是0<a≤1.
答案 (0,1]
三、解答题
9.定义在[-1,1]上的奇函数f(x),已知当x∈[-1,0]时,f(x)=-(a∈R).
(1)写出f(x)在[0,1]上的解析式;
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值.
解
(1)∵f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,
∴f(0)=0,∴a=1,∴当x∈[-1,0]时,f(x)=-.
设x∈[0,1],则-x∈[-1,0],
∴f(-x)=-=4x-2x,
∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)=2x-4x.
∴f(x)在[0,1]上的解析式为f(x)=2x-4x.
(2)f(x)=2x-4x,x∈[0,1],令t=2x,t∈[1,2],
g(t)=t-t2=-+.
∴g(t)在[1,2]上是减函数,∴g(t)max=g
(1)=0,
即x=0,f(x)max=0.
10.(2015·太原模拟)已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2.
(1)求a,b的值;
(2)若b<1,g(x)=f(x)-2mx在[2,4]上单调,求m的取值范围.
解
(1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a.
①当a>0时,f(x)在[2,3]上为增函数,
故⇒⇒
②当a<0时,f(x)在[2,3]上为减函数,
故⇒⇒
故或
(2)∵b<1,∴a=1,b=0,即f(x)=x2-2x+2,
g(x)=x2-2x+2-2mx=x2-(2+2m)x+2.
若g(x)在[2,4]上单调,
则≤2或≥4,∴2m≤2或2m≥6,
即m≤1或m≥log26.
故m的取值范围是(-∞,1]∪[log26,+∞).
11.已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0).
(1)若g(x)=m有实根,求m的取值范围;
(2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
解
(1)∵x>0,∴g(x)=x+≥2=2e,
等号成立的条件是x=e.
故g(x)的值域是[2e,+∞),因而只需m≥2e,则g(x)=m就有实根.
故m∈[2e,+∞).
(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)=f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,
作出g(x)=x+(x>0)的大致图象.
∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2.
其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.
故当m-1+e2>2e,
即m>-e2+2e+1时,
g(x)与f(x)有两个交点,
即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).
第2讲 不等式及线性规划
一、选择题
1.已知x>-1,则函数y=x+的最小值为( )
A.-1B.0C.1D.2
【详细分析】∵x>-1,∴x+1>0.
∴y=x+=(x+1)+-1,
≥2-1=1,
当且仅当x+1=,即x=0时取等号.
答案 C
2.(2015·成都模拟)若点A(m,n)在第一象限,且在直线+=1上,则mn的最大值是( )
A.3B.4C.7D.12
【详细分析】因为点A(m,n)在第一象限,且在直线+=1上,所以m,n∈R+,且+=1,所以·≤
,所以·≤=,
即mn≤3,所以mn的最大值为3.
答案 A
3.(2015·天津卷)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为( )
A.7B.8C.9D.14
【详细分析】
作出约束条件对应的可行域,如图中阴影部分,作直线l:
3x+y=0,平移直线l可知,经过点A时,z=3x+y取得最大值,由得A(2,3),故zmax=3×2+3=9.选C.
答案 C
4.已知正数x,y满足x+2≤λ(x+y)恒成立,则实数λ的最小值为( )
A.1B.2C.3D.4
【详细分析】∵x>0,y>0,
∴x+2y≥2(当且仅当x=2y时取等号).
又由x+2≤λ(x+y)可得λ≥,
而≤=2,
∴当且仅当x=2y时,=2.∴λ的最小值为2.
答案 B
5.(2015·四川卷)设实数x,y满足则xy的最大值为( )
A.B.C.12D.16
【详细分析】xy=×2xy≤≤=,当且仅当x=,y=5时,等号成立,把x=,y=5代入约束条件,满足.故xy的最大值为.
答案 A
二、填空题
6.(2015·江苏卷)不等式
<4的解集为________.
【详细分析】不等式
<4⇔x2-x<2⇔-1<x<2,故原不等式的解集为(-1,2).
答案 (-1,2)
7.(2015·北京卷)如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为________.
【详细分析】z=2x+3y,化为y=-x+z,当直线y=-x+在点A(2,1)处时,z取最大值,z=2×2+3=7.
答案 7
8.(2015·重庆卷)设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为________.
【详细分析】∵a,b>0,a+b=5,∴(+)2=a+b+4+2≤a+b+4+()2+()2=a+b+4+a+b+4=18,当且仅当a=,b=时,等号成立,则+≤3,即+最大值为3.
答案 3
三、解答题
9.已知函数f(x)=.
(1)若f(x)>k的解集为{x|x<-3,或x>-2},求k的值;
(2)对任意x>0,f(x)≤t恒成立,求t的取值范围.
解
(1)f(x)>k⇔kx2-2x+6k<0.
由已知{x|x<-3,或x>-2}是其解集,
得kx2-2x+6k=0的两根是-3,-2.
由根与系数的关系可知(-2)+(-3)=,即k=-.
(2)因为x>0,f(x)==≤=,当且仅当x=时取等号.由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立,故t≥,即t的取值范围是.
10.如图,建立平面直角坐标系xOy,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a不超过多少时,炮弹可以击中它?
请说明理由.
解
(1)令y=0,得kx-(1+k2)x2=0,
由实际意义和题设条件知x>0,k>0,
故x==≤=10,
当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.
(2)因为a>0,所以炮弹可击中目标⇔存在k>0,
使3.2=ka-(1+k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根⇔判别式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0⇔a≤6.
所以当a不超过6千米时,可击中目标.
11.已知函数f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,且0<x1<1<x2<2.
(1)证明:
a>0;
(2)若z=a+2b,求z的取值范围.
(1)证明 求函数f(x)的导数f′(x)=ax2-2bx+2-b.
由函数f(x)在x=x1处取得极大值,
在x=x2处取得极小值,
知x1,x2是f′(x)=0的两个根,
所以f′(x)=a(x-x1)(x-x2).
当x<x1时,f(x)为增函数,f′(x)>0,
由x-x1<0,x-x2<0得a>0.
(2)解 在题设下,0<x1<1<x2<2等价于
即化简得
此不等式组表示的区域为平面aOb上的三条直线:
2-b=0,a-3b+2=0,4a-5b+2=0所围成的△ABC的内部,其三个顶点分别为A,B(2,2),C(4,2).
z在这三点的值依次为,6,8.
所以z的取值范围为.
第3讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题
一、选择题
1.函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间为( )
A.(-1,1]B.(0,1]
C.[1,+∞)D.(0,+∞)
【详细分析】由题意知,函数的定义域为(0,+∞),又由f′(x)=x-≤0,解得0<x≤1,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1].
答案 B
2.(2015·昆明模拟)已知函数f(x)=mx2+lnx-2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围是( )
A.[-1,1]B.[-1,+∞)
C.[1,+∞)D.(-∞,1]
【详细分析】f′(x)=mx+-2≥0对一切x>0恒成立,
∴m≥-+.
令g(x)=-+,则当=1,即x=1时,函数g(x)取最大值1.故m≥1.
答案 C
3.(2014·新课标全国Ⅱ卷)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是( )
A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]
C.[2,+∞)D.[1,+∞)
【详细分析】f′(x)=k-,由题意知f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,即k-≥0在(1,+∞)上恒成立,由于k≥,而0<<1,所以k≥1.故选D.
答案 D
4.(2015·临沂模拟)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是( )
A.[0,1)B.(-1,1)C.D.(0,1)
【详细分析】f′(x)=3x2-3a=3(x2-a).
当a≤0时,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,1)内单调递增,无最小值.
当a>0时,f′(x)=3(x-)(x+).
当x∈(-∞,-)和(,+∞)时,f(x)单调递增;
当x∈(-,)时,f(x)单调递减,
所以当<1,
即0<a<1时,f(x)在(0,1)内有最小值.
答案 D
5.已知函数f(x)=x3+ax2+3x+1有两个极值点,则实数a的取值范围是( )
A.(,+∞)B.(-∞,-)
C.(-,)D.(-∞,-)∪(,+∞)
【详细分析】f′(x)=x2+2ax+3.
由题意知方程f′(x)=0有两个不相等的实数根,
所以Δ=4a2-12>0,
解得a>或a<-.
答案 D
二、填空题
6.(2015·天津卷)已知函数f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中a为实数,f′(x)为f(x)的导函数.若f′
(1)=3,则a的值为________.
【详细分析】f′(x)=alnx+ax·=a(lnx+1),由f′
(1)=3得,a(ln1+1)=3,
解得a=3.
答案 3
7.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1在R上单调递增,则a的取值范围是________.
【详细分析】f′(x)=3x2+6ax+3(a+2).
由题意知f′(x)≥0在R上恒成立,
所以Δ=36a2-4×3×3(a+2)≤0,解得-1≤a≤2.
答案 [-1,2]
8.(2015·衡水中学期末)若函数f(x)=-x2+4x-3lnx在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是________.
【详细分析】对f(x)求导,得f′(x)=-x+4-==-.由f′(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,所以t<1<t+1或t<3<t+1,解得0<t<1或2<t<3.
答案 (0,1)∪(2,3)
三、解答题
9.(2015·安徽卷)已知函数f(x)=(a>0,r>0).
(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;
(2)若=400,求f(x)在(0,+∞)内的极值.
解
(1)由题意知x≠-r,所求的定义域为(-∞,-r)∪(-r,+∞).
f(x)==,
f′(x)==.
所以当x<-r或x>r时,f′(x)<0,当-r
因此,f(x)的单调递减区间为(-∞,-r),(r,+∞);f(x)的单调递增区间为(-r,r).
(2)由
(1)的解答可知f′(r)=0,f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,+∞)上单调递减.
因此,x=r是f(x)的极大值点,
所以f(x)在(0,+∞)内的极大值为f(r)====100.
10.已知函数f(x)=x2+2alnx.
(1)若函数f(x)的图象在(2,f
(2))处的切线斜率为1,求实数a的值;
(2)若函数g(x)=+f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.
解
(1)f′(x)=2x+=.
由已知f′
(2)=1,解得a=-3.
(2)由g(x)=+x2+2alnx,得g′(x)=-+2x+.
由函数g(x)为[1,2]上的单调减函数,
则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立,
即-+2x+≤0在[1,2]上恒成立,
即a≤-x2在[1,2]上恒成立.
令h(x)=-x2,
在[1,2]上h′(x)=--2x=-<0,
所以h(x)在[1,2]上为减函数,h(x)min=h
(2)=-.
所以a≤-.
11.(2015·合肥模拟)已知函数f(x)=x3-ax2-3x.
(1)若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)已知函数g(x)=ln(1+x)-x+x2(k≥0),讨论函数g(x)的单调性.
解
(1)对f(x)求导,得f′(x)=3x2-2ax-3.
由f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,得a≤.
记t(x)=,当x≥1时,t(x)是增函数,
所以t(x)min=(1-1)=0.
所以a≤0.
(2)g′(x)=,x∈(-1,+∞).
当k=0时,g′(x)=-,
所以在区间(-1,0)上,g′(x)>0;在区间(0,+∞)上,g′(x)<0.故g(x)的单调递增区间是(-1,0],单调递减区间是[0,+∞).
当0<k<1时,由g′(x)==0,得x1=0,x2=>0,
所以在区间(-1,0)和上,g′(x)>0;在区间上,g′(x)<0.故g(x)的单调递增区间是(-1,0]和,单调递减区间是.
当k=1时,g′(x)=>0,
故g(x)的单调递增区间是(-1,+∞).
当k>1时,g′(x)==0,得x1=∈(-1,0),x2=0,
所以在区间和(0,+∞)上,g′(x)>0,在区间上,g′(x)<0.
故g(x)的单调递增区间是和[0,+∞),单调递减区间是.
第4讲 函数图象的切线及交点个数问题
一、选择题
1.曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为( )
A.y=2x+1B.y=2x-1
C.y=-2x-3D.y=-2x-2
【详细分析】易知点(-1,-1)在曲线上,
且y′==,所以切线斜率k=y′|x=-1==2.
由点斜式得切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.
答案 A
2.(2015·武汉模拟)若曲线f(x)=acosx与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b的值为( )
A.-1B.0C.1D.2
【详细分析】∵f′(x)=-asinx,∴f′(0)=0.
又g′(x)=2x+b,∴g′(0)=b,∴b=0.
又g(0)=1=m,∴f(0)=a=m=1,∴a+b=1.
答案 C
3.(2015·邯郸模拟)直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值为( )
A.2B.-1C.1D.-2
【详细分析】∵y′=3x2+a.∴y′|x=1=3+a=k,
又3=k+1,∴k=2,∴a=-1.
又3=1+a+b,∴b=3,∴2a+b=-2+3=1.
答案 C
4.(2015·武汉模拟)曲线y=xlnx在点(e,e)处的切线与直线x+ay=1垂直,则实数a的值为( )
A.2B.-2C.D.-
【详细分析】依题意得y′=1+lnx,y′|x=e=1+lne=2,所以-×2=-1,a=2,故选A.
答案 A
5.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=lnx+x-2的零点为b,则下列不等式中成立的是( )
A.f(a)<f
(1)<f(b)B.f(a)<f(b)<f
(1)
C.f
(1)<f(a)<f(b)D.f(b)<f
(1)<f(a)
【详细分析】由题意,知f′(x)=ex+1>0恒成立,所以函数f(x)在R上是单调递增的,而f(0)=e0+0-2=-1<0,f
(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函数f(x)的零点a∈(0,1);由题意,知g′(x)=+1>0,所以g(x)在(0,+∞)上是单调递增的,又g
(1)=ln1+1-2=-1<0,g
(2)=ln2+2-2=ln2>0,所以函数g(x)的零点b∈(1,2).
综上,可得0<a<1<b<2.
因为f(x)在R上是增函数,
所以f(a)<f
(1)<f(b).
答案 A
二、填空题
6.(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=________.
【详细分析】由y=x+lnx,得y′=1+,得曲线在点(1,1)的切线的斜率为k=y′|x=1=2,所以切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,此切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,消去y得ax2+ax+2=0,得a≠0且Δ=a2-8a=0,解得a=8.
答案 8
7.函数f(x)=x3-x2-3x-1的图象与x轴的交点个数是________.
【详细分析】f′(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3),函数f(x)在(-∞,-1)和(3,+∞)上是增函数,在(-1,3)上是减函数,由f(x)极小值=f(3)=-10<0,f(x)极大值=f(-1)=>0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.
答案 3
8.(2015·长沙模拟)关于x的方程x3-3x2-a=0有三个不同的实数解,则实数a的取值范围是________.
【详细分析】由题意知使函数f(x)=x3-3x2-a的极大值大于0且极小值小于0即可,又f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f′(x)=0,得x1=0,x2=2.当x<0时,f′(x)>0;当0<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0,所以当x=0时,f(x)取得极大值,即f(x)极大值=f(0)=-a;当x=2时,f(x)取得极小值,即f(x)极小值=f
(2)=-4-a,所以解得-4<a<0.
答案 (-4,0)
三、解答题
9.已知函数f(x)=x3+x2-ax-a,x∈R,其中a>0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围.
解
(1)f′(x)=x2+
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- 专题 19 高考 数学 文科 通用 二轮 复习 仿真
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