人教版高一数学必修一集锦1.docx
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人教版高一数学必修一集锦1
1设集合A={x|-1 若存在,找出P的取值范围,并指明对应的包含关系;若不存在,请说明理由。 解: 当p=0时,B为空集,则A包含B; 当p>0时,B={x|x<-1/(4p)},-1/(4p)为负数,则A、B可能有交集,但不会有包含关系; 当p<0时,B={x|x>-1/(4p)},-1/(4p)为正数,则A、B可能有交集,但不会有包含关系。 2若函数y=f(x)的定义域为(0,1),则y=f(x^2)的定义域为_________. 解: 0≤x^2≤1 x可以为正数或负数,得(-1,0)∪(0,1) 错解: (-1,1) 3求函数y=(x^2)/(x^2+1)(x∈R)的值域。 解: y=x^2/(x^2+1)=(x^2+1-1)/(x^2+1)=1-1/(x^2+1),由于0<1/(x^2+1)≤1,则1-1/(x^2+1)∈[0,1)。 4函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=1/f(x).若f (1)=-5,则f[f(5)]=() 解法一: f(5)=f(3+2)=1/f(3)=1/f(1+2)=1/[1/f (1)]=f (1)=-5 ∵f(x+2)=1/f(x) ∴f(x)=1/f(x+2) f(-5) =1/f(-5+2) =1/f(-3) =1/[1/f(-3+2)] =f(-1) =1/f(-1+2) =1/f (1) =-1/5 ∴f[f(5)]=-1/5 解法二(更巧妙): f(x+4)=f(x+2+2)=1/f(x+2)=1/[1/f(x)]=f(x) 所以4是一个周期 f(5)=f (1)=-5 因为f(3)=-1/5 f(5)=f(3+2)=1/f(3)=-5 f(-5)=f(3-2*4)=f(3)=-1/5 而f[f(5)]=f(-5)=-1/5 5若函数f(x)在(-2,3)上是增函数,则y=f(x+5)的递增区间是_________。 解: 函数y=f(x+5)的图象是由函数y=f(x)向左平移5个单位得到,所以单调区间也要向左平移五个单位,所以现在单调区间为(-7,-2) 6函数y=2-√-x^2+4x的值域 解: x的取值范围为0≤x≤4 设t=√-x^2+4x值域为[0,2] 所以y=2-t的值域为[0,2] 7已知f(x)={1(x≥0),-1(x<0),则不等式x+(x+2)*f(x+2)≤5的解集是____. 解: x+(x+2)*f(x+2)≤5 1.当x≥-2时x+2≥0f(x+2)=1 x+(x+2)≤5∴-2≤x≤3/2 2当x<-2时x-(x+2)≤5-2≤5∴x<-2 综上所述: x≤3/2 错解: x<-2或-2≤x≤3/2 8若0 解: 1/t-t在正数区间上明显是减函数,所以最小值是4-1/4=15/4 9已知函数y=f(x)是偶函数,其图像与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是_______. 解: 偶函数的图象是关于y轴对称的,所以四个交点中的两个一定分布在y轴两侧,且交点的横坐标两两对应绝对值相等,互为相反数。 方程f(x)的实根即为图象与x轴交点的横坐标,即零点.所以方程所有实根之和为0。 10设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是 A.f(x)f(-x)是奇函数(应为偶函数) B.f(x)/f(-x)/是奇函数 C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数(应为奇函数) 解: 选D用-x代替x带入式子中,则D选项为f(-x)+f(x),即F(x)=F(-x),即为偶函数,其它同理。 11函数f(x)=1/[1-x(1-x)]的最大值-________. 解: 先算分母[1-x(1-x)]=X^2-X+1=(X-1/2)^2+3/4 上式的最小值为3/4 所以f(x)=1/[1-x(1-x)]的最大值为4/3。 12设函数f(x)=x^2+|x-2|-1(x属于R)1.判断函数f(x)的奇偶性2.求函数f(x)的最小值 (1)f(-x)=(-x)^2+|-x-2|-1=x^2+|x+2|-1≠f(x), 且f(-x)≠-f(x), ∴f(x)是非奇非偶函数。 (给出一个函数不一定就是奇函数或偶函数) (2)x≥2时,f(x)=x^2+x-3,f'(x)=2x+1 令f'(x)=0,则x=-1/2<2,∵x≥2时f'(x)>0,∴f(x)min=f (2)=3; x<2时,f(x)=x^2-x+1,f'(x)=2x-1 令f'(x)=0,则x=1/2,∵1/2 ∴f(x)min=f(1/2)=3/4 综上: f(x)min=f(1/2)=3/4 13见图,哪些是映射? (1)、(4). 映射的定义: 在集合A中的每一个(故 (2)不是映射)元素x,在集合B中都有相应的元素y与之对应,集合B就中的这个元素y叫做集合A中元素x的映射。 (可以一对一,也可以多对一,但一定要每一个) 14使函数f(x)=x|x+a|+b满足f(-x)=-f(x)的条件是 A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a^2+b^2=0 解: f(x)=x|x+a|+b满足f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数因此,a=0,b=0 在几个选项中,只有D.a^2+b^2=0,与a=0,b=0等价(两个非负数相加为0,则它们都为0) 所以,选D 15已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上为增函数。 (1)求证: y=f(x)在(-∞,0]上是增函数。 (2)如果f(1/2)=1,解不等式-1 (1)解: 设0 (2)解: ∵f(1/2)=1,∴f(-1/2)=-1,∴f(-1/2) ∴-1/2<2x+1≤0∴-3/4 16设函数y=f(x)(x∈R)为奇函数,f (1)=1/2,f(x+2)=f(x)+f (2),则f(5)的值为_______. 解: y=f(x)为奇函数,f (1)=1/2,∴f(-1)=-1/2 ∵f(x+2)=f(x)+f (2),∴f (1)=f(-1+2)=f(-1)+f (2) ∴f (2)=1,f(5)=f (2)+f(3)=f (2)+f (2)+f (1)=5/2 17已知f(x)定义在R上的不恒为0的函数,且对于任意的a,b∈R都满足f(ab)=af(b)+bf(a) (1)求f(0),f (1)的值 (2)判断f(x)的奇偶性 解: 关键是靠0,-1,1这几个数来做 (1)令a=1 b=1.由f(ab)=af(b)+bf(a) f (1)=f (1)+f (1)即f (1)=0 令a=b=0.由f(ab)=af(b)+bf(a)f(0)=0 (2)令a=-1 b=-1.由f(ab)=af(b)+bf(a)得f (1)=-f(-1)-f(-1)-2f(-1)=0 即得f(-1)=0 令a=-1,b=x,则由f(-x)=-f(x)+xf(-1) 即f(-x)=-f(x)即f(x)为奇函数 18 若a>1,b>0,且a^b+a^-b=2√2,则a^b-a^-b的值等于_____解: (a^b+a^-b)^2=8 a^2b+a^(-2b)+2=8 a^2b+a^(-2b)-2=4 (a^b-a^-b)^2=4 a^b-a^-b=±2 因为a>1,b>0,所以,a^b>a^-b 所以,a^b-a^-b=2 19 求函数y=√x+√x-1的值域 解: x≥0,x≥1∴x≥1,x=1时y有最小值。 y为增函数,所以值域为[1,+∞) 20函数y=4^-|x|的定义域是________,值域是______在________上是增函数,在_____上是减函数。 解法: 此函数为(见上图) 偶函数。 先做y=(1/4)^[x}的图像,再关于y轴对称即可。 答案: R,(0,1],(-00,0),(0,+00) 21f(10^x)=x,则f(3)等于____________.令10^x=3,则x=lg3,所以f(3)=lg3 22"任何一个指数式都可以化成对数式"是对的还是错的? 为什么? 不对.0的0次方无意义,举例: (-1)^2不能化成对数式. 23某工厂去年12月份的产值是去年一月份产值的m倍,则该厂去年产值的月平均增长率为__________. 解: 设月平均增长率为p 24设a,b,c均为不等于1的正数,x,y,z都是有理数,且a^x=b^y=c^z,1/x+1/y+1/z=0,求abc的值. 解设a^x=b^y=c^z=k 得logak=xlogbk=ylogck=z 1/x=1/logak=logka同理1/y=logkb,1/z=logkc ∵1/x+1/y+1/z=0∴logka+logkb+logkc=0 logkabc=0∴abc=1 25若定义在区间(-1,0)上的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则实数a的取值范围是_________ 解: 因为x∈(-1,0) 所以(x+1)∈(0,1) 因为f(x)>0 且真数为真分数 所以0<2a<1所以0 26已知函数f(x)=-2x^1/2,求f(x)的定义域___【0,+∞__)_________________- 27函数f(x)=x^2-bx+c对一切x∈R都有f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3,试比较f(b^1/2)与f(c^1/2)的大小。 解: f(1+x)=f(1-x) (1+x)^2-b(1+x)+c=(1-x)^2-b(1-x)+c 2x-bx=-2x+bx2bx=4xb=2 f(x)=x^2-2x+c f(0)=3x=0,f(x)=3代入c=3 f(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2 对称轴为x=1当x≥1时,函数单调递增。 1<2^(1/2)<3^(1/2)f(b^1/2) 28若方程2ax^2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则实数a的取值范围是_________. 解: a=0时-x-1=0x=-1不符合题设 a≠0时 满足f(0)*f (1)<0即可 -1*(2a-2)<0 2a-2>0 a>1 29求函数f(x)=2x^3-3x^2-5x+3的零点 解: f(x)=2x^3-3x^2-5x+3 =2x^3-x^2-2x^2-5x+3 =(2x-1)x^2-(2x^2+5x-3) =(2x-1)x^2-(2x-1)(x+3) =(2x-1)(x^2-x-3) =0 因此2x-1=0或x^2-x-3=0 解得x1=1,x2=(1+√13)/2,x3=(1-√13)/2 30a=1.2^1/2,b=0.9^-1/2,c=1.1^1/2的大小关系是__________ 解: 1.2>1/0.9>1.11.2^(1/2)>0.9^(-1/2)>1.2^(1/2)a>b>c 31某动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alg(x+1)/lg2,设这种动物第一年有100只,到第7年他们发展到多少只? 解: 第一年时,y=alog2(1+1)=alog (2)2=100a=100 即y=100log (2)(x+1) 所以第7年,有x=7,得y=300y=100log2(7+1)=100log22^3=100*3=300 即第七年他们发展到300只。 32在制造纯净水的过程中,每增加一次过滤可减少水中杂质20%若减少到原来的5%以下.则至少需要过滤几次? (lg2=0.301,lg3=0.4771) 解: 过滤x次以后,水中的杂质为: (1-0.2)^x 根据要求: (1-0.2)^x=0.05 则x=lg(0.05)/lg(0.8)=(lg0.01+lg5)/(lg8+lg0.1)=[(-2)+(lg10-lg2)]/[3lg2+(-1)] =[(-2)+(1-0.3010)]/[3*0.3010+(-1)]≈13.4 即至少要过滤14次才能减少到原来的5%以下 33.某种电热器的水箱盛水是200升,加热到一定温度即可浴用.浴用时,已知每分钟放水34升,在放水的同时按10.9毫升/秒2的匀加速度作自动注水(即t分钟自动注水2t2升),当水箱内的水量达到最小值时,放水自动停止.现假定每人洗浴用水量为65升,则该热器一次至多可供() A.3人洗浴B.4人洗浴C.5人洗浴D.6人洗浴 解: 水箱在t分钟后的水量 的最小值是55.5升,水箱从200升水降到这个值用了17/2分钟,放水34×17/2=289升. 由289/65=4 知,一次放水可供4人洗浴。 故答案选B. 34随着机构改革工作的深入进行,各单位要减员增效,有一爱公司现有职员2a人(140<2a<420,且a为偶数),每人每年可创利b万元.据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员1人,则留岗职员每人每年多创利0.01b万元,但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的3/4,为获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人? 答案: 当70 设减员x人,还剩2a-x 则每人每年多创利0.01b*x,达到b+0.01bx元 所以创利(2a-x)(b+0.01bx),支付生活费0.04bx 所以利润(2a-x)(b+0.01bx)-0.04bx =-0.01bx^2+b(0.02a-1.04)x+2ab 求最大值,b是常数,对结果没影响,约去 y=-0.01x^2+(0.02a-1.04)x+2a=-0.01[x-(a+52)]^2+0.01(a+52)^2+2a 最少要3/4,,所以最多裁员2a*1/4=a/2 所以0<=x<=a/2 140<2a<420
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