有约束轨道的模型专题解析.docx
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有约束轨道的模型专题解析
《有约束轨道的模型》专丿
永安一中吴庆堂
基本道具:
在髙中物理总复习中经常会遇到以绳子、轻杆、圆管(轨)道等约束的物体运动问题,我们称为"有约束轨道的模型”问题。
所以,这类问题的基本道具有小物体(如小球)、绳子、轻杆、圆管(轨)道等。
问题基本特点:
以约束轨道的模型为载体,由直线运动、平抛运动和圆周运动等主要运动形式形成的问题情境为立意,着重考查运用所学知识分析问题解决问题的能力。
由于约束,致使物体只能在特左的轨道上运动,但往往存在临界问题,其运动过程相对复杂,致使许多同学对此类问题感到迷惑。
但千万记住新课程高考物理试题给我们的启示:
引导教学重视物理过程的分析和学生综合解决问题能力的培养,强调对考生“运用所学知识分析问题、解决问题的能力”的考查,这类问题依然是动力学的重要模型之一,我们绝不能回避,要知难而上,分析比较、归纳总结,抓住问题的规律及解决的方法,以不变应万变C基本方法和思路:
采用分解法分析复杂的物理过程,降低难度,帮助理解。
分析各阶段物体的受力情况,注意约朿力以及合外力的变化情况,并确泄物体的运动性质。
画好受力图,建立淸晰的物理情景,寻找状态或过程所遵循的物理规律,然后利用动力学观点和能虽观点建立方程式,求岀相关的待求量。
典型实例:
【例1】如图所示,质量为a戛的小球•带有5xio'4c的正电荷,套在一根与水平方向成37°角的足够长的绝缘杆上,小球与杆之间的动摩擦因数为,"二0.5,杆所在空间有磁感应强度B二0.4T的匀强磁场,小球由静止开始下滑,试求小球在下滑过程中(取重力加速度
^=10nVs\s加37归0.6,c^37°=0.8)
(1)它的最大加速度为多少?
此时速度多大?
(2)它的最大速度为多大?
【提示】解答本题的关键是正确分析小球下滑过程中所受各个力的变化情况,由此得岀小球加速度最大和速度最大时的受力特点。
【解析】小球由静止沿杆下滑的速度为V时,受到重力"养洛伦兹力.f沪qvB、杆的弹力N和摩擦力户受力如图甲所示,由牛顿第二左律,有:
沿杆的方向:
mgsin31Q~^N=ma①
垂直杆的方向:
N+q\、B=mgcos31()②
XXXXX
可见,当M=0(即/i=/«Vi=0)时,“有最大值血,且如=g5//i37°=6nVs2此时qv\B=mgcos3T解得:
V|=mgcos31Q/qB=4m/s
(2)设当小球的速度达到最大值Vm时,小球受杆的弹力为M/予M,受力如图乙所示,
此时应有即
沿杆的方向:
吨s加37°—“N2=0③
垂直杆的方向:
M+mgcos31°=qvmB④
解得:
v^m=/ng(•血37°+“sy37°)/tuqB=\0m/s
【变式训练1】如图所示,一个带正电的小球套在水XXXX平且足够长的粗糙的绝缘杆上,整个装置处于方向X2竺X如图所示的匀强磁场中,现给小球一个水平向右的xxXX
初速度,则小球在杆上运动情况不可能的是(
A.始终做匀速运动B.始终做减速运动,最后静止于杆上
C.先做加速运动,最后做匀速运动D.先做减速运动,最后做匀速运动
参考答案:
C
【变式训练2】如图所示的空间存在水平向左的匀强电场E和垂直于纸而向里的匀强磁场B。
质量为川、带电荷量为+§的小球,,套在一根足够长的竖直绝缘杆上,由静止开始下滑,小球与杆之间的动摩擦因数为“,则小球下滑过程中
(1)它的最大加速度为多少?
此时速度多大?
(2)它的最大速度为多大?
参考答案:
(1)"m二g,v-E/B
(2)vm=(“qE+mg)/pqB
【例2】小明站在水平地面上.手握不可伸长的轻绳一端,绳的另一端系有质量为m的小球,甩动手腕,使球在竖宜平而内做圆周运动。
当球某次运动到最低点时,绳突然断掉,球飞行水平距离〃后落地。
如图所示。
已知握绳的手离地而髙度为d,手与球之间的绳长为3〃4,重力加速度为g。
忽略手的运动半径和空气阻力。
(1)求绳断时球的速度大小VI和球落地时的速度大小v26
(2)轻绳能承受的最大拉力多大?
改变绳长,使球重复上述运动,若绳仍在球运动到最低点时断掉,要使球抛出的水平距离最大,绳长应是多少?
最大水平距离为多少?
解:
(1)设绳断后球飞行时间为r,由平抛运动规律,有
竖直方向—=—gt2,水平方向d=vit
42
得VX=(2gd
由机械能守恒定律,有如心訥沁(Z/4)
(2)设绳能承受的最大拉力大小为7;这也是球受到绳的最大拉力大小。
球做圆周运动的半径为R=3d/4由圆周运动向心力公式,有TfT
(3)
设绳长为厶绳断时球的速度大小为”3,绳承受的最大拉力不变,
绳断后球做平抛运动,竖直「位移为〃一厶水平位移为X,时间为小
当弓时,x有极大值畑严¥〃
【变式训练1】在游乐廿目中,选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水而的浮台上,小明和小阳观看后对此进行了讨论。
如图所示,他们将选手简化为质量"尸60kg的质点,选手抓住绳由静止开始摆动,此时绳与竖直方向夹角«=30°,绳的悬挂点O距水而的髙度为不考虑空气阻力和绳的质量,浮台露出水而的高度不计,水足够深。
取重力加速度g=10m/s2,sin53()=0.89cos53°=0.6
(1)求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F:
(2)若绳长/=2m,选手摆到最高点时松手落入水
中。
设水对选手的平均浮力/i=800N,平均阻力
>700N,求选手落入水中的深度〃;
(3〉若选手摆到最低点时松手,小明认为绳越长,在浮台上的落点距岸边越远;小阳认为
绳越短,落点距岸边越远,请通过推算说明你的观点。
解:
(1)机械能守恒:
mg/(l—cosa)=/n\^/2①
摆到最低点时,"牛二”尸一加g二加,〃②联立①②可得F=mg(3—2cosa)由“牛三”知,人对绳的拉力③则F=1080N
(2)动能泄理:
{H-Jcosa+d)一S步)占0④解得:
cl=l.2m
(3)选手从最低点开始做平抛运动kw⑤HT=gH2⑥
联立①©©可得x=2j/(H—/)(l—cosa)
当上H/2时,x有最大值解得/=1.5m
因此,两人的看法均不正确。
当绳长越接近1.5m时,落点距岸边越远。
【变式训练3]特种兵过山谷的一种方法可简化为图示情景。
将一根长为
L=10m的不可伸长的细绳两端固定在相距为d=8m的A、B两等髙点,绳上挂一小滑轮P,战士们相互配合,沿着绳子滑到对面。
如图所示,战士甲水平拉住滑轮,质量为”=60kg的战士乙吊在滑轮上,脚离地,处于静止状态,此时AP竖直,然后战士甲将滑轮从静止状态释放,若不il•滑轮摩擦及空气阻力,也不计绳与滑轮的质量,取g“0m/s2,求:
(1)战士甲释放前对滑轮的水平拉力F:
(2)战士乙滑动过程中的最大速度.
(3)假设战士乙可视为质点,当他下滑到最低点时突然松手,此时速度成水平方向,那么
(3)战士乙下滑到最低点时突然松手,做平抛运动,有:
x=vmt尸力3—力2二妒/2联立可得:
x=vm•j2(/“一他)/^=2应m>4m
速度为减速时间为厂,由牛顿运动定律得
设滑块的质量为m,运动到A点的速度为5,由动能左理得mSR=-mv;⑦2
设滑块由A点运动到B点的时间为人,由运动学公式得莎=匕也⑧
设滑块做平抛运动的时间为『,则“⑨
由平抛规律得h=-gt[2⑩
2
联立以上各式,代入数拯得/7=0.8/7?
【例3】某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛.比赛路径如图所示,赛车从起点A出发,沿水平直线轨道运动厶后,由B点进入半
径为/?
的光滑竖直圆轨道,离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点,并能越过壕沟。
已知赛车质量沪0.1kg,
通电后以额沱功率P二1.5W工作,进入竖直轨道前受到阻力恒为0.3N,随后在运动中受到的阻力均可不记。
图中厶二10.00m,
R二0・32m,后1.25m,S=l.50m.问:
要使赛车完成比赛,电动机至少工作多长时间?
(取
g=10/rz/s2)
【解析】本题考查平抛、圆周运动和功能关系。
设赛车越过壕沟需要的最小速度为VJ,由平抛运动的规律
设赛车恰好越过圆轨道,对应圆轨道最髙点的速度为咛最低点的速度为心由牛顿第
—/HVj=—/nvj+mg(2R)
22
解得v3=』5gh=4m/s
通过分析比较,赛车要完成比赛,在进入圆轨道前的速度最小应该是vmi=4m/s
设电动机工作时间至少为/,根据功能原理Pt-fL=^rnv2min
由此可得/吆.53s
【变式训练5】为了研究过山车的原理,物理兴趣小组提出了下列设想:
取一个与水平方向夹角为37。
,长为厶=2.0m的粗造的倾斜轨道AB,通过水平轨道BC与竖宜圆轨道相连,岀口为水平轨道DE,整个轨道除AB段以外都是光滑的。
其中初与BC轨道以微小圆弧相接,如图所示。
一个小物块以初速度vo=4.0m/s从某一高处水平抛出,到A点时速度方向恰沿AB方向,并沿倾斜轨道滑下。
已知物块与倾斜轨道的动摩擦因数“=0.50。
(取^=10nVs2,s加37°=0.6,cos37°=0.8)
(1)要使小物块不离开轨道,并从水平轨道DE滑岀,则竖直圆轨道的半径应满足什么条件?
(2)为了让小物块不离开轨道,并且能够滑回倾斜轨道则竖直圆轨道的半径应满足什么条件?
(3)按问
(2)的要求,小物块进入轨逍后最多可以有多少次通过圆轨道上距水平轨道高为0.01m的某一点?
参考答案:
(1)/?
<0.66m
(2)/?
>1.65m(3)8次
提示:
问(3)中,第一次冲上圆轨道的髙度取最大值H二L65m,第一次滑回倾斜轨道的高度设为hi,滑回倾斜轨道的髙度设为叶,由动能宦理有:
—“mghicof37"=0①/ng(/n—/?
/)hicot37'=0②
由①得加=3///5由②得/»/=/!
1/3综合得h^H/5
同理W=/z//5=(1/5)2H以此类推h^=(1/5)nH>h(式中h=0.01m)
可见,”最多只能取3,因此,总次数最多为N=l+2n+l=8(次)
【变式训练6】某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道中,苴中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成,固左在竖直平而内(所示数字均由圆或半圆组成,圆半径比细管
的内径大得多)底端与水平地面相切。
弹射装置将一个小物体(可视为质点)以=5ni/s
的水平初速度由"点弹岀,从b点进入轨道,依次经过“8002”后从p点水平抛出。
小物体
与地而ab段间的动摩擦因数〃=0.3不计其它机械能损失。
已知ab段长L=1.5m,数字“0”
原半径/?
=0.2m,小物体质量加0.01kg,j?
=10nVs2o求:
(1)小物体从”点抛出后的水平射程。
<2)小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体的作用力的大小和方向。
解:
(1)设小物体运动到"点时的速度大小为V,对小物体由"运动到"过程应用动能泄理
1,1,
得一口ngL-2Rmg=—mv~——mv~①
22
小物体自"点做平抛运动,设运动时间为f,水平射程为£,则
2R=-gt2②s=vt③
2
联立①②③式,代入数据解得5=0.8m④
(2)设在数字“(T的最髙点时的管道对小物体的作用力大小为F、取竖直向上为正方向
F+mg=巴―⑤
R
联立①⑤式,代入数据解得F=0.3N⑥方向竖直向下
【变式训练7】过山车是游乐场中常见的设施。
下图是一种过山车的简易模型,它由水平轨道和在竖直平而内的三个圆形轨道组成,B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点,B、C间距与C、D间距相等,半径斗=2.0m、R2=1.4mo一个质量为m=1.0kg的小球(视为质点),从轨道的左侧A点以v()=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动,A、B间距厶=6.0m。
小球与水平轨逍间的动摩擦因数“=0.2,圆形轨道是光滑的。
假设水平轨道足够长,圆形轨道间不相互重叠。
重力加速度取g=10m/s2,计算结果保留小数点后一位数字。
试求
(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时,轨道对小球作用力的大小;
(2)如果小球恰能通过第二圆形轨道,B、C间距厶应是多少;
(3)在满足
(2)的条件下,如果要使小球不能脱离轨道,在第三个圆形轨道的设计中,半径念应满足的条件:
小球最终停留点与起点A的距离。
第一
解析:
(1)设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为刃根据动能泄理
小球在最髙点受到重力mg和轨道对它的作用力F,根拯牛顿第二泄律
F+mg=m
由①②得F=10.0N
(2)设小球在第二个圆轨道的最髙点的速度为V2,由题意
-“昭(厶+厶)一2加g&加讶④
由④©得厶=12.5m
(3)要保证小球不脱离轨道,可分两种情况进行讨论:
I.轨道半径较小时,小球恰能通过第三个圆轨道,设在最髙点的速度为内,应满足
mg=m—⑤
R<
_“〃g(厶+2L)-2mgR;=—mv}-—mv^⑥
22
由⑥©©得Rs=0.4/?
?
II.轨道半径较大时,小球上升的最大高度为忌,根据动能泄理
一(厶+2厶)一2mgR*=0-—m⑦
2
解得/?
.{=1.0m
为了保证圆轨道不重叠,心最大值应满足(R2+R,Y=止+(念眾2丫⑧
解得R3二27.9m
综合I、II,要使小球不脱离轨道,则第三个圆轨道的半径须满足下而的条件
0 或1.0m 当0vRf<0.4m时,小球最终焦停留点与起始点A的距离为厂,则 -/.ongL! =°一g 厶'=36.0m 当1.0m r=r-2(Z/-厶一2L)=26.0m 强化闯关: 1.如图,ABC和ABD为两个光滑固定轨道,A、 B、E在同一水平面,C、D、E在同一竖直线上, % D点距水平而的髙度h,C点髙度为2h,—滑Q—— 块从A点以初速度分别沿两轨道滑行到C或D处后水平抛出。 (1)求滑块落到水平面时,落点与E点间的距离 (2)为实现5c 解析: (1)根据机械能守恒,-mv02=2mgh+-mvc2,-mv02=mgh+-mvD22222 根据平抛运动规律: 2h==gt: h=-gtD2 22 综合得Sc=l^-^--16/r,SD= 但滑块从A点以初速度仏分别沿两轨道滑行到C或D处后水平抛出,要求%>J潇, 所以』2ghV吃<』6gh。 本题考查根据机械能守恒和平抛运动规律以及用数学工具处理物理问题的能力。 难度: 难。 2.如图,ABD为竖直平而内的光滑绝缘轨道,其中AB段是水平的,BD段为半径R二0.2m的半圆,两段轨道相切于B点,整个轨道处在竖直向下的匀强电场中,场强大小E二5.0XlOW/m.一不带电的绝缘小球甲,以速度u。 沿水平轨道向右运动,与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞。 已知甲、乙两球的质量均为/H=1.0X10-2kg,乙所带电荷量旷2.0X105C,g取10nVs2o(水平轨道足够长,甲、乙两球可视为质点,整个运动过程无电荷转移) (1)甲乙两球碰撞后,乙恰能通过轨道的最髙点D,求乙在轨道上的首次落点到B点的距离; (2)在满足 (1)的条件下。 求甲的速度叭: (3)若甲仍以速度叭向右运动,增大甲的质量,保持乙的质量不变,求乙在轨道上的首次落点到B点的距离范用。 2.解: (1)大乙恰能通过轨道最高点的情况,设乙到达最髙点速度为vo,乙离开D点到达 水平轨道的时间为A乙的落点到B点的距离为上则 m罟=mg+qE 2—丄(叱些)" 2m "Wo=+mv/ 1)121, 联立⑤⑥得 由动能定理,得 -mg2R—qE・2R=*m\^-£mv) 联立①⑦⑧得 5缈+E娜=2后皿 (3)设甲的质量为碰撞后甲、乙的速度分别为匕“%,根据动量守恒左律和机械 能守恒定律有 (10) Mv0=MvSj+叫 (11) 联立(10)(11)得 (12) 由(12)和M>m,可得 (13) 设乙球过D点时速度为由动能立理得 11. 一mg・2R-qE•2R=———(14) 22 联立⑨(13)(14)得 f 2m/s 设乙在水平轨道上的落点距B点的距离为有 联立②(15)(16)得 0.4/7? 3.如图所示,直线形挡板P\P2P\与半径为/•的圆弧形挡板门"叩5平滑连接并安装在水平台而仞加加加上,挡板与台而均固泄不动。 线圈CIC2O的匝数为",其端点C、C3通过导线分别与电阻心和平行板电容器相连,电容器两极板间的距离为〃,电阻Rl的阻值是线圈C1C2C3阻值的2倍,英余电阻不计,线圈GC2C3内有一而积为S、方向垂直于线圈平而向上的匀强磁场,磁场的磁感应强度B随时间均匀增大。 质量为加的小滑块带正电,电荷量始终保持为",在水平台而上以初速度巾从门位置岀发,沿挡板运动并通过必位巻。 若电容器两板间的电场为匀强电场,0、"2在电场外,间距为/,其间小滑块与台而的动摩擦因数为“,其余部分的摩擦不计,重力加速度为g,求: (1)小滑块通过力位置时的速度大小。 (2)电容器两极板间电场强度的取值范用。 ⑶经过时间厶磁感应强度变化量的取值范国。 (3) 3.解: (1)小滑块运动到位置巴时速度为V,,由动能泄理有: _jLnngl=_—tnvl①vi=J谛-2i(gl② 22 (2)由题意可知,电场方向如图,若小滑块能通过位置/A则小滑块可沿挡板运动且通过位",设小滑块在位置”的速度为V,受到的挡板的弹力为M匀强电场的电场强度为E,由动能左理有: E的取值范围: 0 jqr 经过时间/,磁感应强度变化量的取值范围: 0 1Onsqr 对质点从A到C,由动能宦理有晤-mg・2R=-m斥 2 1. (2)要使电场力尸做功巌少,确左x的取值,WF=mg^2R+-mv^,只要质点在(72 点速度最小,则功函・・就最小。 若质点恰好能通过(7点,其在C点最小速度为八由牛顿第二泄律有 X 由③⑤式有㊁ mg=m-—,£Jv=y[gR =y[gR•解得X=2R时,W|故小,最小的功WF=-mgR。 c、z16/? 2+x2x....116/? x、 (3)由◎式Wr=mg(: ),l! 卩Eq=-mg(d——) 8R8xR 因—>0,x>0,由极值不等式有: 当—=-时,即尸1R时,-+-=8, XXRXR 最小的力qE二mg,E=mg/q 5. 如图所示为放置在竖直平而内游戏滑轨的模拟装巻,滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成,其中倾斜直轨与水平直轨CD长均为厶=3m,圆弧形轨道APD和B0C均光滑,BQC的半径为r=lm,APD的半径为/? AB.CD与两圆弧形轨道相切,00、O”与竖直方向的夹角均为*37°。 现有一质量为加=lkg的小球穿在滑轨上,以E炯的初动能从B点开始沿AB向上运动,小球与两段直轨道间的动摩擦因数均为“=+,设小球经过轨道连接处均无能量损失。 (g=10m/s2,$加37°=0.6,eos37°=0.8,咖18・5°=0.32,coslS.5°=0.95,tanlS.5°,cofl8.5"=3)求: (1)要使小球完成一周运动回到B点,初动能Eko至少P 多大? (2)在满足 (1)的条件下,小球第二次到达D点时的 动能; (3)在满足 (1)的条件下,小球在CD段上运动的总路程。 拓展: (4)若Eko=31J,而其他条件不变,则小球第二次到达D点时的动能E”二? 在CD段上运动的总路程Sco=? (5)若Ek<)=13J,而其他条件不变,则小球能否完成一周运动回到B点? 小球第二次到达D点时的动能Eg在CD段上运动的总路程Scd二? (6)若小球与CD段直轨道间的劝斥擦因数均为“=扌,其他条件不变,则要使小球完成一周运动回到B点,初动能Eko至少多大? (7)若CD段直轨逍也是光滑的,其他条件不变,则当Eku=31J时,小球在AB段直轨逍运动的总路程Sab二? 5.解: (1)如图所示,由几何关系,有: R+RcosO^i^rrcosO^LsinO解得: R=2m①由功能关系可知,要使小球完成一周运动回到B点,必须同时满足两个条件, 能过轨道最髙点M的条件是: Eut”】r[Zs初&+R(1-cos硏〕-ymgLcos甘0 初动能足以沿途克服摩擦发热损耗,即: Em2pmgLcosO+ymgL③ 由②得: Eko^30J由③得: Eko^lSJ 综合可得: 小球初动能£komin=30J (2)在满足 (1)的条件下,小球第一次到达B点时的动能 &沪氐亦-“〃呀厶(l+cos&)=12J④ 设此后小球能冲上AB段直轨道的最大距离为x,则 Eicbi二加加(s〃怡+““$&)解得: x=—m<3m0 13 所以,小球第二次到达D点时的动能 EKD2=E⑻+mgr(\+cos0)一2jLim^xcos0一ymgL宀12.6J⑥ (3)由于jumgL=10J 所以,在满足 (1)的条件卜,小球在CD段上运动的总路程Sq=3厶+$其中+L)解W: 5^0.78m⑨故S.d=3Z+s=9・78m 拓展: 由以上分析和计算可知, (4)若Hu二31J,则小球能做完整的一周运动,并且可得 £bKi=13J,Bl.5m,EU2二5J,EkD2=13J,在CD段直轨道上通过的总路程s总二9.9m。 (5)若5(F13J,则小球不能做完整的一周运动。 而是沿BA段直轨道冲上x=1.5m后便返回。 同理可得,EkD2=13J,在CD段宜轨道上通过的总路程5,6=6.9mo (6)若小球与CD段直轨道间的动摩擦因数改为“二3/4,而其他条件不变,则小球能做 完整的一周运动的条件是: E^nngLcos^5J (7)若CD段直轨逍也是光滑的,而其他条件不变,则当Ek(F31J时,小球能做完整的一周运动,并且小球最终将在过B点的水平线以下部分轨道往复运动,设小球在AB段直轨道上通过的总路程为S总,则Eko=“Mgs^cosO解得: 5总a11・6m・ 6.如图所示,质量为叭带电量为+q的小球由一段长为L的绝缘细线系于点,空间存在竖直向上的匀强电场E(且Eq=m
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