江苏专版高考数学总复习第3章第7节正弦定理双基自测理新版苏教版必修1doc.docx

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第七节正弦定理、余弦定理的应用举例

基础•自主落实I

考纲

传真

内容

要求

A

B

C

正弦定理、余弦

定理及其应用

1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型

测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.

2.

实际应用中的常用术语

术语

名称

仰角

与

俯角

在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线

上方的叫做仰L角亠目标视线在水平视线下方的叫做俯角

tl标视线

水平

视线

目标

觇线

设坡角为a，坡度为i，则i==tana

1.（夯基释疑）判断下列结论的正误.（正确的打甘、,错误的打*”）

（1）从A处望B处的仰角为a,从B处望A处的俯角为/3,贝ij«=/?

.（）

⑵若点A在点B的北偏东30°方向，则点B在点A的东偏北60°方向.（）

（3）坡度是坡面与水平面所成的二面角的度数.（）

（4）如图3-7-1所示，B,C,D三点在地面同一直线上,

DC=a,从CD两点测得A点的仰角分别为/3和a（a

AB.（）

图3-7-1

［解析］

AC=

根据相关角的概念知

（1）正确，

⑵⑶错误.对于（4）,在AACD中，由正弦定理可求AC,

asina

■•在RtAABC中，AB-

AC・sin

sin0_oc

B,因为a,

a,B已知，故AB可求，所以

⑷正确.

［答案］

⑴厂⑵X⑶X⑷厂

2.（教材习题改编）某海域有A,B,C三个小岛，测得A岛在B岛的北偏东15°方向上且距B岛10海里，C岛在B岛正东方向，在A岛南偏东45”方向上，贝9B,C两岛间的距离为海里.

BC

［答案］56

3.为了测量河的宽度，在岸的一边选取两点A和B,观测对岸标记G测得ZCAB=45°,zCBA=75°,AB=120m则河宽为m（保留根式）.

［解析］如图所示，CD为河的宽度,

ADB

CDCD

tan45+tan75

=120.

..CD

120

=20（3+r3）m.

tan45

1

+

tan75°

［答案］

4•在O点测量一在做匀速直线运动的物体，开始时刻物体位于

P点，一分钟后，其位置在Q点，且zPOQ=90°,再过一分钟，该物体位于R点,

且zQOR=30°,贝ijtanzOPQ的值为

在RtAPOQ中，OQ=sinzOPQ,

0P=coszOPQ,

在ZkOPR中，

由正弦定理得・0—

sin120

在厶ORQ

中，

1

sin30°=

sinzORP

OQsinzOR©

OP

OQJ3

综上得—=tanZOPQ・

［答案］2

5.如图3-7-2,测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得zBCD=30°,ZBDC=120°,CD=10m,并在点C

测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB=m.

图3-7-2

由弦理得

［解析］在Z\BCD中，CD=10,ZBCD=30°,ZBDC=120°,/.ZCBD=180°-30°-120°=30°

£

-<

十BC1010sin正・=・，120-

定sinsin・

120030°sin

—300

3

1°X2

；-

23.

在RtAABC中，AB=BC・

tan60°

［答案］30

提知能•典例探究I

考向1测量咼度问题

【典例1】第二届夏季青年奥林匹克运动会于2014年8月16日在南京开幕，开幕式上举行升旗仪式，在坡角为15°的看台上，同一列上的第一

排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为

60°和30°,第一排和最后一排的距离为

m（如图3-7-3所示），求旗杆的高度.

图3-7-3

AB,旗杆顶端和底端分别为

［解］设最后一排和第一排的观测点分别为

如图，在厶ABC中，ZABC=105°,

所以ZACB=30°

GQ则依题意画出示意图・

10J6

BC

由正弦疋理得Qn30。

=

~sin45°'

所以BC=6x犬=2*3.

2

在RtACBD中，CD=BCsin60°=2

【规律方法】

1.在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.

2.分清已知条件与所求，画出示意图；明确在哪个三角形内运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，并注意综合运用方程、平面几何、立体几何等知识.

【变式训练11如图3-7-4所示，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上，在C点测得点A的仰角为60°,

再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得ZBDC=45°,求塔AB的高度.

［解］在ABCD中，CD=10,ZBDC=45°,ZBCD=15°+90°=105°,zDBC=30°,

BC

CD

sin45

9

sin30°

图3-7-4

CDsin450=1

sin30

A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的

考向2测量角度问题

【典例2】/海岸A处，发现北偏东45°方向、距离人处（3-1）海里的B处有一艘走私船；在

缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船.同时，走私船正以40海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追

上走私船？

最少要花多少时间?

吐ABC中,3-1,AC=2,zBAC=120°

利用余弦定理可得BC=\f6.

由正弦定理，得

AC2丫3丫2

sinZABC百csin/BACTX=，

-V622

.\ZABC=45°,因此BC与正北方向垂直.

于是ZCBD=120°.

在ABCD中，由正弦定理，得

BDsin/CBD10t"S"120二~1

sinzBCD=yj=2

=CD

103t

得ZBCD=3O°,

13

CDBC

又=

sin120sin30

小时.

所以当缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花

10

【规律方法】

1.本题求解的关键是理解方位角、方向角的概念，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最重要的一步.

2.

（1）对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解.

（2）根据示意图，把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量.

【变式训练2]

（2014-镇江模拟）已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛北偏西22方向

行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？

图3-7-5

L考数据:

sin38=14

147

sin220=

依题意，ZBAC=180°-38°-22°=120°,又AB=3,

222

由余弦定理可得BC=AB+AC—2AB・AC・cos120°,

（j

222[■,

..（0.5x）=3+5—2x3x5x\—2丿=°°

x=14,/.BC=0.5x=7.

BC

5羽

14

（1）两点都不可到达的

•/sin38°=

・.zABC=38,又ZBAD=38°,BC||AD.

故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.

考向3测量距离问题（高频考点）

命题视角测量距离问题是正弦定理和余弦定理应用中的重点内容，也是历年考试考查的重点，归纳起来常见的命题角度有:

距离；

（2）两点不相通的距离；（3）两点间可视但有一点不可到达的距离.

【典例3】（2014-徐州调研）为了吸引游客，增加旅游业收入，徐州市旅游局准备在云龙湖

边增设两个景点B和C,为此要计算两景点B与C的距离.由于地形的限制，需要在岸上选取A和D

图3-7-6

［思路点拨］先在AABD中，利用余弦定理求BD,然后在△BCD中，利用正弦定理求BC.

［解］在厶ABD中，设BD=xm,

2=BD?

+AD?

—2BD・AD・coszBDA,

即1402=x2+1002-2x100xxxcos60%

解之得Xi=160,X2=—60（舍去），故BD=160m,

在aBCD中，由正弦定理，得:

—Be——BD—

9

sinzCDBsin2BCD

又AD丄CD,

・・zCDB=30°,

160・sin30°=802=113（m）.

・・BC=

sin1350

即两景点B与C之间的距离约113m.

【通关锦囊】

研究测量距离问题，解决此类问题的方法是：

选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的逊锁璃淀里求解.\T

要测量阳A,B两点之间的距离，选取齟

31071的0,D两点，并测得zACB=75。

，nBCD=45。

，zADC=30。

，zADB=45。

求AB之间的距离.

［解］如图所示，在公ACD中，

zACD=120/zCAD=zADC=30。

.・.AC=CD=3km.

在公BCD中，zBCD=45°,

ZBDC=75°,ZCBD=60°.

_x/3sin75°心6+&

BC—.=

sin60

2

在AABC中，由余弦定理，得

考向4距离或角度的最值问题

【典例4】（2014-南京模拟）如图3-7-7,经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在

两条公路边上建两个仓库MN（异于村庄N，要求PM=PN=MN=2（单位：

km）.如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离

最远）？

c

e

图3-7-7

［解］法一：

设ZAMN=O,在AAMN中,

MN

AM

sin60csin

在△APM中，cosZAMP=cos（600+（9）,

222

AP=AM+MP—2AM・MP-coszAJAP

16

3

2（120°—0）+4—2x2x

sin

sin（120°-e）・cos（60°+6）

19

16的

3

sin（0+6O°）cos（6+60°）+4

[1—9os（20+120°）]—

sin（20+120°）+4

[3sin（20+120°）+cos（20+120°）]+

3

20

3

2016

=—sin（20+150°）,6e（0°,120°）.

33

2取得最大傥，即AP取得最大值3•当且仅

当29+150°=270°,即6=60。

时，AP

答：

设计AMN=60。

，即AN=AM=2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小

法二：

设AM=x,AN=y,zAMN=a

在aAMN中，vMN=2,2MAN=60°

■_?

=AI\Zh+AN?

—2AM・AN・coszMAN

MN

也AN

2

••

sin60°

sina'

即sin60°

即x+y—2xycos60°=x+y—xy=4

y

sina

——3——

..sina=y

4

2222

cosa=x+4—y=x+x—xy=2x—y

2x2-x4x4

1

cosnAMP=cos（60°+a）=cosa

£££—

3

12x-y3

3x-2y

sina=

2—J

y=，

2

42

44

20

在公AMP中,

2=AM2+PM2—2AM・PM-coszAMP,

/Al

22

AP=x+4—2x2・x-

x-2y

=x+4—x（x—2y）=4+2xy,

4

2222

•x+y—xy=4,.\4+xy=x+y2xy,即xy<4,

当且仅当x=y=2时，等号成立.£

・••当且仅当x=y=2时，AP取得最大值23.

答：

谡M=AN=2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小.

【规律方法】

1.分析题意，要使工厂产生的噪声对居民的影响最小，也就是使工厂与村庄的距离最远，即求距离的最大值.

2.合理选取自变量，构造距离的表达式.

3•根据表达式确定求最值的方法，如利用三角函数有界性，求最值，利用二次函数单调性求最值，利用基本不等式求最值等.

4.如果求角的最值通常先构造该角的某种三角函数的表达式，再结合三角函数单调性求角的最值.

【变式镰4】（2014-盐城模扌漏3-7-8

（1）是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构趣

取其部分可抽象成如图3-7-8

（2）所示的模型，其中桥粕，CD与桥用C垂直，通过测量得MB=50mAC=50m当P为AC的中点时,

BPD=45。

.

（1）

（2）

图3-7-8

（1）求CD的长；

（2）

试问点P在线段AC的何处时，ZBPD达到最大.

由题意，得tan（a+/?

）——tan45°,

TT

2匚即

=—1,解得h=75.

h

1-2・

25_

所以CD的长为75m.

（2）设AP=x（0

50

a=x

tan

75

B=50—x

h

22

5075

—+

所以tanzBPD=—tan（a+0）=—~xx

'"_25x+100

2

5075

1—•

x—50x+50x75

x50—x

b斗一50x+50><75>0,所以tanzBPD>0,即nBPD为锐角

因为x:

令t=x+100e（100,150）

则=t—100,

刪n/BPD=t_10Q

25t

2-50t-100

Z5t

=t一•250t+50><375

-250

1

230-10

50x375

当且仅当t=t即t=2530e（100,150）,

23

所以AP=（25\/30-100）m时，ZBPD达到最大

I名师微博I

掌握1个步骤解三角形应用题的一般步骤

（1）分析：

理解题意，分清已知与未知，画出示意图；

（2）建模：

根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一

个解斜三角形的数学模型；（3）求解：

利用正弦定理和余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；（4）检验：

检验上述所求的三角形是否具有实际意

义，从而得出实际问题的解.

了解2种情形解三角形应用题的两种情形

（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.

（2）已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这

些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形.有时需设出未知量，解方程（组）得出所要求的解.

勿忘2点注意1.画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、如图等腰三角形等，这样可以优化解题过程.2•解三

角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据（原始数据）,少用间接求出的量.

启智慧•高考研析I扛问专:

处

（见学生用书第74页）

例题

（2014・江苏高考）如图3-7-9,为保护河上古桥

OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求：

新桥

AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点

BC与河岸

A位于点O正北

4

方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tanZBCO=

3

北*

图3-7-9

（1）求新桥BC的长;

（2）当0M多长时，圆形保护区的面积最大？

［解］⑴如图，延长OA,CB交于点F.

北「'、、

因为tanzFCog

4

所以sinZFCO=

26

coszFCO=|

5

因0A=6O,OC=170,

所以OF=OCtanzFCO讐

—W

—,CF

CK；

850

-5D0

3

从而AF=OF—OA

coszFCO3

4因0A丄OC,所以coszAFB=sinzFCO=.

5

400又因AB丄BC,所以BF=AFcosnAFB=

3

从而BC=CF—BF=150.

因此新BC的长是150m~

因0A丄OG所以sinnCFO=cosnFCO.

MDMDr3

故由

（1）知sinzCFO===,

=OF-OM6805

MF

所以

680-3d

27

p680-3d

r-d>80,_d-80,

所以f即<5

rd

〔680—6tl

・d

5

解得10^d<35.

680-3d

故当d=10时，r=

最大，即圆面积最大.

5

所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大.

【智慧心语】

易错提示：

（1）本题常规解法是建系设点，利用两点间的距离求BC的长.但往往会因计算能力差出错.

（2）理解能力差，弄不清条件关系，无法求解.

（3）能想到构造三角形，但是延长OA,CB交于F后，图中出现的三角形不止一个，不知道从哪个三角形入手，不知道它们之间的联系，因此法求

解.

防范措施：

（1）理清题意，善于将实际问题转询数模週

（2）要注意寻求一些特殊的三角形，这样可以优觥题程

（3）审题时，目光不能只局限于题目表象，要相信，思路多变会有奇迹出现，如本例只看图形，马上想到的是直线与圆，如瘫趣长线，就有直角三角形岀现，自然也就会联想到解三角形了

【类题通关但013・江苏高般口图3-7-10，游客从某旅游景区的景点A处下山空处有两种路径•一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A

沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度m/min.在甲岀©min后，乙从A乘缆车

到B,在B处停留min后，再从B匀速步行到

C假设缆车匀速直线渤的W^Om/min，山路AC长为260m,经测量cosA=

123

cosC=.

135

图3-7-10

（1）求索道AB的长.

（2）问：

乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?

（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过

[解]

（1）在厶ABC中,

12

因为cosA—〔3

cos

5

4

所以

sinA=—,sin

C=•

13

5

从而sinB=sin[ti—（A+Q]=sin（A+Q

3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

_3

_5

C=，

=sinAcosC+cosAsinC

33七NKB

=13X513=

+x565_

亠、、ABAC由正弦定理=,

sinCsinB

得AB-sin

=sinB

-63

65

4

5

=1040（m）

所以索道AB的因1040m.

（2）假设乙出发tmin后,

-2x130tx（100+50t）x

2=（100+50t）2+（130t）

甲、乙两游客距离为d,此时，甲行走了（100+50t）m,乙距离A处130tm所以由余弦定理得d2

42

13

2-70t+50）.由于

0

=200（371

3

即Osts&故当t=（min）时，甲、乙两游客距离最短.

37

（3）由正弦定理

sinAsinB

得BC

・sinsinB

-t-260--5

A=—x=500（m）.

6313

65

乙从B出发时，甲已走了

50x（2+8+1）=550（m）,还需走710m才能到达C.

设乙步行的速度为

vm/min,由题意得一3Sr

-1250

4

500710

—50

V<3,

125%

行的速度应控制在

1

625-

14（单位m/min）范围内.

解得

43

625

14

所以为使两位游客在处互相等待的时m3min,乙步

课后限时自测

［A级基础达标练］

一、填空题

1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40。

，灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的

①北偏东10°；②北備西10°；③南備东10°；④南偏西10°

［解析］灯塔AB的相对位置如图所示，由已知得ZACB=80°,ZCAB=zCBA=50°，贝】Ja=60°—50°=10°即北偏西10°.

［答案］②

2.已知两座灯塔A、B与C的距离都是a,灯塔A在C的北偏东20°,灯塔B在C的南偏东40。

，则灯塔A与灯塔B的距离为

［解析］如图所示，由余弦定理可知，AB=a+a—2a・a-cos120°=3a得ABn厂

3a.

3.

三角形的一边长力，这条边所的角6T,另两边长比肉［解析］设另两边长椒与5x,则cos60°=

2+25x2—14

2

64x

2,

80x

5,则这个三角形的面務

解得x=2,两边长的与」0,

［答案］403

4.一船向正北方向航行，看见正西方向有相砸）海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60。

方向，

另一灯塔在船的南偏西75。

方向，则这只船的速度是海里/小时.

［解