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安徽省六安一中学年高二下学期第一次段考数
2015-2016学年安徽省六安一中高二(下)第一次段考数学试卷(文科)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是变量x和y的n次方个样本点,直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论正确的是( )
A.直线l过点
B.x和y的相关系数为直线l的斜率
C.x和y的相关系数在0到1之间
D.当n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数一定相同
2.下列推理是归纳推理的是( )
A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆
B.由a1=1,an=3n﹣1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆+=1的面积S=πab
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
3.在验证吸烟与否与患肺炎与否有关的统计中,根据计算结果,认为这两件事情无关的可能性不足1%,那么K2的一个可能取值为( )
P(k2>k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.84
5.024
6.635
7.879
10.83
A.6.635B.5.024C.7.897D.3.841
4.给出下列结论:
(1)在回归分析中,可用指数系数R2的值判断模型的拟合效果,R2越大,模型的拟合效果越好;
(2)在回归分析中,可用残差平方和判断模型的拟合效果,残差平方和越大,模型的拟合效果越好;
(3)在回归分析中,可用相关系数r的值判断模型的拟合效果,r越大,模型的拟合效果越好;
(4)在回归分析中,可用残差图判断模型的拟合效果,残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明这样的模型比较合适.带状区域的宽度越窄,说明模型的拟合精度越高.
以上结论中,正确的有( )个.
A.1B.2C.3D.4
5.正弦函数是奇函数(大前提),f(x)=sin(2x+1)是正弦函数(小前提),因此f(x)=sin(2x+1)是奇函数(结论),以上推理( )
A.结论正确B.大前提错误C.小前提错误D.以上都不对
6.年劳动生产率x(千元)和工人工资y(元)之间回归方程为y=10+70x,这意味着年劳动生产率每提高1千元时,工人工资平均( )
A.增加70元B.减少70元C.增加80元D.减少80元
7.设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a﹣2)x的导数是f′(x),且f′(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为( )
A.y=﹣2xB.y=3xC.y=﹣3xD.y=4x
8.用反证法证明某命题时,对结论:
“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设为( )
A.a,b,c都是奇数
B.a,b,c都是偶数
C.a,b,c中至少有两个偶数
D.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数
9.若函数y=x3﹣2ax+a在(0,1)内有极小值,没有极大值,则实数a的取值范围是( )
A.(0,3)B.(﹣∞,3)C.(0,+∞)D.(0,)
10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N*),可归纳猜想出Sn的表达式为( )
A.B.C.D.
11.设f0(x)=cosx,,,…,n∈N,则f2011(x)等于( )
A.sinxB.﹣sinxC.cosxD.﹣cosx
12.如图所示,有三根针和套在一根针上的n个金属片,按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
(1)每次只能移动一个金属片;
(2)在每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.若将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n),则f(5)=( )
A.33B.31C.17D.15
二、填空题:
本大题共4小题,每题5分,共20分.
13.由图
(1)有面积关系:
,则由图
(2)有体积关系:
= .
14.观察下列各式:
a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10= .
15.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:
按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 .
16.一辆列车沿直线轨道前进,从刹车开始到停车这段时间内,测的刹车后t秒内列车前进的距离为S=27t﹣0.45t2米,则列车刹车后 秒车停下来,期间列车前进了 米.
三、解答题:
本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设a,b,c均为正数,证明:
.
18.大家知道,莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家,国人欢欣鼓舞.某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查对莫言作品的了解程度,结果如表:
阅读过莫言的
作品数(篇)
0~25
26~50
51~75
76~100
101~130
男生
3
6
11
18
12
女生
4
8
13
15
10
(Ⅰ)试估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率;
(Ⅱ)对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”,否则为“一般了解”.根据题意完成如表,并判断能否有75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关?
非常了解
一般了解
合计
男生
女生
合计
附:
K2=
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
19.先阅读下列结论的证法,再解决后面的问题:
已知a1,a2∈R,a1+a2=1,求证a12+a22≥.
【证明】构造函数f(x)=(x﹣a1)2+(x﹣a2)2
则f(x)=2x2﹣2(a1+a2)x+a12+a22
=2x2﹣2x+a12+a22
因为对一切x∈R,恒有f(x)≥0.
所以△=4﹣8(a12+a22)≤0,从而得a12+a22≥,
(1)若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,请写出上述结论的推广式;
(2)参考上述解法,对你推广的结论加以证明.
20.在某医学实验中,某实验小组为了分析某种药物用药量与血液中某种抗体水平的关系,选取六只实验动物进行血检,得到如下资料:
动物编号
1
2
3
4
5
6
用药量x(单位)
1
3
4
5
6
8
抗体指标y
(单位)
3.4
3.7
3.8
4.0
4.2
4.3
记s为抗体指标标准差,若抗体指标落在(﹣s,+s)内则称该动物为有效动物,否则称为无效动物.研究方案规定先从六只动物中选取两只,用剩下的四只动物的数据求线性回归方程,再对被选取的两只动物数据进行检验.
(Ⅰ)设选取的两只动物中有效动物的只数为ξ,求随机变量ξ的分布列与期望;
(Ⅱ)若选取的是编号为1和6的两只动物,且利用剩余四只动物的数据求出y关于x的线性回归方程为=0.17x+a,试求出a的值;
(Ⅲ)若根据回归方程估计出的1号和6号动物的抗体指标数据与检验结果误差都不超过抗体指标标准差则认为得到的线性回归方程是可靠的,试判断(Ⅱ)中所得线性回归方程是否可靠.
21.已知函数f(x)=lnx+ax(a∈R).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=x2﹣4x+2,若对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈,使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围.
22.一个圆柱形圆木的底面半径为1m,长为10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形ABCD(如图所示,其中O为圆心,C,D在半圆上),设∠BOC=θ,木梁的体积为V(单位:
m3),表面积为S(单位:
m2).
(1)求V关于θ的函数表达式;
(2)求θ的值,使体积V最大;
(3)问当木梁的体积V最大时,其表面积S是否也最大?
请说明理由.
2015-2016学年安徽省六安一中高二(下)第一次段考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是变量x和y的n次方个样本点,直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论正确的是( )
A.直线l过点
B.x和y的相关系数为直线l的斜率
C.x和y的相关系数在0到1之间
D.当n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数一定相同
【考点】线性回归方程.
【分析】回归直线一定过这组数据的样本中心点,两个变量的相关系数不是直线的斜率,两个变量的相关系数的绝对值是小于1的,是在﹣1与1之间,所有的样本点集中在回归直线附近,没有特殊的限制.
【解答】解:
回归直线一定过这组数据的样本中心点,故A正确,
两个变量的相关系数不是直线的斜率,而是需要用公式做出,故B不正确,
直线斜率为负,相关系数应在(﹣1,0)之间,故C不正确,
所有的样本点集中在回归直线附近,不一定两侧一样多,故D不正确,
故选A.
2.下列推理是归纳推理的是( )
A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆
B.由a1=1,an=3n﹣1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆+=1的面积S=πab
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
【考点】演绎推理的基本方法;进行简单的演绎推理.
【分析】本题考查的是选归纳推理的定义,判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义,即是否是由特殊到一般的推理过程.
【解答】解:
A是演绎推理,C、D为类比推理.
只有C,从S1,S2,S3猜想出数列的前n项和Sn,是从特殊到一般的推理,所以B是归纳推理.
故选B
3.在验证吸烟与否与患肺炎与否有关的统计中,根据计算结果,认为这两件事情无关的可能性不足1%,那么K2的一个可能取值为( )
P(k2>k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.84
5.024
6.635
7.879
10.83
A.6.635B.5.024C.7.897D.3.841
【考点】独立性检验.
【分析】同临界值表进行比较,得到假设两件事情无关不合理的程度约为99%,即无关的可能性不足1%,由临界值表可得答案.
【解答】解:
∵计算出P(Χ2≥6.635)≈0.01,
这说明两件事情无关的可能性不足1%,
即判断吸烟与患肺炎有关,合理的程度约为99%以上,由此可得C正确.
故选:
C.
4.给出下列结论:
(1)在回归分析中,可用指数系数R2的值判断模
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