工程数学线性代数同济五版课后习题答案.docx
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工程数学线性代数同济五版课后习题答案
(同济大学第五版)工程数学线性代数课后答案(很全,最新版)
习题解答
L利用对角线法则计算卞列三阶行列式:
解
(1)JMS:
=2x(-4)X3+0x(~l)x(-1)-hix1x8
-ix(-4)x(-l)-2x(-])x8^oxix3=-4;
(2)原式=acb+bac+cba-一J■沪
~3abc-a"-b3—c3\
(3)原式—+1'a*ta~-l*a*ca
=be1++ab1—ba1—cb2—acz
=c2(b-a)ab(b-a)-c(b2-=(a-b)(b-c)(c-a)
(4)原式*工+y)y+歼(工+$”(工+4刃_(工+卅_八丈
=-2(xJ+^3).
2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:
(1)12S4;
(2)4132;
(3)342I;(4)2413;
(5)13-(2n-[)24…
(6)13***(2n-L){In)(2n~2)…2.
解
(1)此排列为自然排列•其逆序数为⑴
(2)此排列的首位元素的逆序数为S第2位元素1的逆序数为1;第3位元察3的逆序数为1:
末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+1+1+2=4;
(3)此排列的前两位元素的逆序数均为0*第3位元素2的逆序数为2■末位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0+0+2+3=5;
(4)类肌于上面,此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0.0t2,1*故它的逆序数为0+0+2+1=3;
(5)注意到这2卉个数的排列中,前n位元索之间没有逆序对•第討+1位元素2与它前面的玲-I个数构成逆序对”故它的逆序数为打-1;同理,第n+2倍元素4的逆序数为末位元累2«的逆序数为(L故此排列的逆序数
为(«"1)+(n*2)+*"+0=yw(-1);
(6)与(5)相仿*此排列的前n+1位元素没有逆序对:
第幵+2位元素(2n-2)的逆序数为2;第牯十3位元素2牯-4与它前面的2n-3t2h~lr2nt2n-2构成逆序对,故它的逆序为4;-»;末位元素2的逆序数为2(«-1),故此排列的逆序数为2+4+-+2(m-1)=h(«-O,
3・写出四阶行列式中含有因子gm的项.
解由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元累.而它们又分别位于第2列和第4列,即a绘和“别或。
脣和盘心注意到排列1324与1342的逆序数分别为1与2,故此行列式中含有引心袒的项为-5222^344
4124
2141
1202
3-121
;
(2)
10520
1232
0117
5C62
(1)
a
与◎U日為总羽a42'
4.计算下列各行列式:
ah
1
ac
ae
bd
■cd
de
bf
cf
-ef
0
0
b
-1
0
-1
0
0
1
d
1
2
4
■口-4r〕
0
-7
2-
-4
10
5
2
0
"10r,
-15
2
—
20
0
1
1
7
■:
-
,
Q
1
1
41
7
1
2
0
2|
■I
1
2
0
2
心1口
0
1
■.*-
1
心+\Sr2
0
1
1
7
Q
—
15
2
一
■20
!
0
0
17
85
o
-7
2
-4;
0
0
9
45
2
2
0
2
1
2
0
=0(因第3.4行成比例)*
4
6
3
6
2
5
1
5
1
0
2
I
0
=0(因有两行相同”
abcdif
7L1
1-11
11-1
^^abcdef
-11
■
00
02
oi+皿
-1b
o-1
oo
1卄tiba
-1c
0-1
1
2;
0
0
0
▼1注
ad
cd
0
・■i
iI(
1+fl/?
a0
按口KJFi
'*1(_[}(_1)'
-1
c1
4
4>■
0
~ld
~Aabcdefi
1+a/j
-1
ad
1+cd
=(1+a6)(l+cd)+ad
5.求解下列方程:
■1
=0i⑵
'1
=0,其中a,btc
互不相等”
解⑴左式V沽6+3}
门-(t+3)
巾—巧/、
-(x+3)
=(x+3)
=(』+3)&2-3)*
于是方程的解为:
巧二-3,帀=再皿严■厲;
(2)注意到方程左式为4阶范德蒙徳行列式,由例12的结果得
(■fja)(jc~—c)(a6)(a—c)(A—=0.
因a.b.c互不相等,故方程的解为;业===
6.证明:
ab
b2
2a
a+
b2b
—
(a-b)3;
I
1
1
OJC
十by
ay+bz
az■+bx
ay+bz
az+bx
ax+by
az+bx
ajc+by
ay+bz
a1
Q+1F
(a
+2)'(t
=(a1+戻〉
H(6+1)2
J心+1严d2(衣+1)*
(6+2)2(c+2)2Q+2尸
+3尸(6+3)2(r+3)2(£+3)2
3'
Z
=(a-6)(a-c)(a-d)(6^c)(6-J)(c-rf)(a+^+c+^);
X
0
-1
0
-1
…0
…<)
0
0
(5)
Q
*
«
出
V
n
V
|«
«
•
■
•
0
0
0
…J.
-1
证
^1
心fj-卩
…
a2-b2
ab-'b1
(1)左式二
2(a~b)
0
a—b
0
=(a-/>)3=右式;
(2)将左式按第1列拆开得
=aBx"++***+a,x+afl.
护
rI
(a-b)1ab-b1b2
2b
ua"o
1
00
1
axay+bzaz+bx
byay+bzaz+bx
左式=
ayazbxax+by
+
bz+Zltax+by
=aDj+bD2+
azax+byay+bz
bjcax+byay+bz
其中
tr
y
ay十6zaz+bxax+by
于是
ay+bzaz+frj"azbxax+byax+byay+bz
ay+bzaz十bxaxby
az+bx
a.r十by
uy+bz
zaz+bx
xaj:
by
yaytbz
(3)左式
jcyz
D=aD.+bD2={a^+f/)yzx二右式*zty
2«+5
2bI26+326+5
2c+12c+32c+5
2d+124+32d+5
2a+1
26+1
2c+1
=0{因有两列和同”
<4)左式工
n-叭
ri-ari
bac-a
biba)c(c*a)
F(F~a2)-J)
1
b
61{A+a)ra(c+£1)d3(t/+a)
I11
0c~bd~b
Oxj
cbd—b
甸MT・{fFS)
Fl,—6^+a)rg
■-二—'(b-a)(c-a)(
=(b-a)(c-a)(d~a)
d-a
—a)护(护-a1)
1X
jy
其中:
x=c1(r+Ha)-(Ar)(£f+a)-£b(^i+ai'^d1-
y=d2{da)~bd(b+a)=d(ad}(d-b).
=(r-b)
11
(□+i4-c)d(a+b+d)
=(<-^)(4/-+b+d)-c(a+b+c)]
=^i)[(£Z—c)(a+b)d2-c2]
—(c—b)(db)(de)(a+Z?
+二十討)*
因此,左式—(i^a)(c—a)(^~rn)(r,_ir>)(d-/i)(J—£:
)(3+^+^+^)=右式.
(5)证一递推法•按第1列展开,以彈立建惟公式,
=xD.+(-l)1"+^a=zD-+a0.又*归纳基础为:
D*=%(注癒不是于是
D.*i=工D.+叫
=x(hD卄|+a1)+fla
=j2DP(-i+aij+«[j
=十工+…十%龙十%
=a()+幼工十十…十"h文"■
证二按最后一行展开得
=2<-
/-U
=〉:
口左=a0+atj:
+djX14-■"+aB_i^a~l+弧工”、
7.设n阶咅列式D= Dt=i: .Di=;J,Di=i: T S*■'*5«ii'**%i|纵i…fin 证明D严D? =(-1)业」D,巧=D* 证 (1)先计算口•为此通过交换行将0变换成D.从而找出0与D的关系. D}的最后一行是D的第【行,把它依次与前面的行交换,直至换到第1行,共诳行茁-1次交做卡这时最后一行是D的第2行,把它依次与旋面的行交换,直至挽到第2行,共进行冲-2次交换¥……,宜至最后一行是D的第卉-1行,再通过一次交换将它换到第h—I行,这样就把D.变换成D,共进行 p1 (用-1)十(聲-2〉+・-+l-yn(H-1) 次交换’故D严(-L)卜"八5. 注r上述交换行列式的行(列)的方法,在解题时’经當用到.它的特点是在把盘垢一行换到某一行的同时*歸持其余卅-1个行之间原有的先后次序(但行的序号可能改变)”2*同理把D左右翻转所得行列式为(-1}卜3小0. (2〉计算注意到D2的第1,2,行恰好嵌衣是D的第"比-1列,故若把D2上下翻转得B2,MDa的第1,2,…』行依次是D的第1,2严・小列,即Dz=Dr.于是由 (1) D,=(-1)卜山1>D3=(-I)T*i<_uDT=
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