二次函数中寻找等腰三角形问题doc.docx
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二次函数中寻找等腰三角形问题
1.如图,在平面直角坐标系xoy4矩形ABCD的边AB在x轴上,且AB二3,BC=2^,直线y二岳-2侖经过点C,交y轴于点G,且ZAGO二30°。
X
(1)点C、D的坐标
(2)求顶点在直线y二届-2侖上且经过点C、D的抛物线的解析式;
⑶将⑵中的抛物线沿直线y二能兀-2朽平移,平移后的抛物线交y轴于点F,顶点为点
E。
平移后是否存在这样的抛物线,使AEFG为等腰三角形?
若存在,请求出此时抛物线的解析式;若不存在,请说明理由。
3.己知两直线1),12分别经过点A(1,0),点B(-3,0),并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时,恰好有1】丄12,经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线L交于点K,如图所示.
(1)求点C的坐标,并求出抛物线的函数解析式;
(2)抛物线的对称轴被直线1】、抛物线、直线L和x轴依次截得三条线段,问这三条线段有何数量关系?
请说明理由;
(3)当直线12绕点C旋转时,与抛物线的另一个交点为M,请找出使AMCK为等腰三角形的点M,简述理由,并写出点M的坐标:
4.如图,已知二次函数的图象经过点A(3,3)、B(4,0)和原点0.P为二次函数图象上的一个动点,过点P作x轴的垂线,垂足为D(m,0),并与直线0A交于点C.
(1)求出二次函数的解析式;
(2)当点P在直线0A的上方吋,用含m的代数式表示线段PC的长,并求线段PC的最大值;
(3)当m>0时,探索是否存在点P,使得APCO为等腰三角形,如果存在,请直接写出所有P的坐标;如果不存在,请说明理由.
5.已知抛物线y=3x'+bx+c(a>0)的图象经过点B(14,0)和C(0,一8),对称轴为x=4.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?
若存在,请求出此吋的吋I'可t(秒)和点Q的运动速度;若不存在,请说明理由;
(3)在
(2)的结论下,直线x=l上是否存在点M使△\1PQ为等腰三角形?
若存在,请求出所有点M的坐标,若不存在,请说明理由.
试卷第2页,总3页
6.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax'+bx+2的图象与x轴交于A(—3,0),B
(1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的关系解析式;
(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使AACP的面积最大?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)
在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使ABCQ是以BC为腰的等腰直角三角形?
10.如图,已知抛物线y=-x123+hx+c与y轴相交于C,与/轴相交于A、B,点A的
参考答案
1.【解析】
(1)根据题意可得点C的纵坐标为3,代入直线解析式可得出点C的横坐标,继而也可得出点D的坐标;
X——
(2)由题意可得点C和点D关于抛物线的对称轴对称,从而得出抛物线的对称轴为2,再
由抛物线的顶点在直线P=的x-2®,可得出顶点坐标为(2’2),设出顶点式,代入点C的坐标即可得出答案.
(3)分EF二EG.GF二EG、GF二EF三种情况分析。
解:
(1)C(4,2击),d(1,
(3)EF二EG322
GF二EF
所以,抛物线的函数解析式为y—•三°v)(x+
(2)截得三条线段的数量关系为KD二DE二EF・
理由如下:
可求得直线1】的解析式为y=・吊+吕直线L的解析式为
y=^X+V3,抛物线的对称轴为直线沪1,由此可求得点K的坐标为(・1,2V3),点D的坐标为(-1,堺),点E的坐标为(-1,乎),点F的坐标为(-1,0),“
(3)当点U的坐标分别为
-2,V3),(-1,
时,△MCK为等腰三角形.
(i)连接BK,交抛物线于点G,易知点G的坐标为(・2,
又・・•点C的坐标为(0,◎,则GC〃AB,
•・•可求得AB=BK=4,且ZABK二60°,即AABK为正三角形,
AACGK为正三角形
・••当12与抛物线交于点G,即L〃AB时,符合题意,此时点曲的坐标为(・2,
2y!
3
(ii)连接CD,由KD=~,CK二CG二2,ZCKD二30°,易^AKDC为等腰三角形,
473
・••当12过抛物线顶点D时,符合题意,此时点M2坐标为(-1,3),
(iii)当点M在抛物线对称轴右边时,只有点M与点A重合时,满足CM二CK,但点A、C、K在同一直线上,不能构成三角形,
(■"2,)»(~1»-5-)
综上所述,当点M的坐标分别为3时,AMCK为等腰三角形.
4.
(1)设y=ax(x-4),把A点坐标(3,3)代入得:
a二-1,
函数的解析式为y=・x2+4x,4分
2
(2)0 24 V-1<0,开口向下,•••有最大值, 当D(上,0)时,PC..X—,8分 24 (3)P的坐标是(3-近,1+2V2)或(3+勺叵,1-2^2)或(5,-5)或(4,0).12分 (3)简单解答过程如下: 当0 ・・.P(3-血,1+2V2): 当m>3时,POCD・PD=【『・3m,0C二近it, 由勾股定理得: 0P2=0D2+DP2=m2+m2(m-4)2, 1当OOPC时,朋-3沪血ID, 解得: KF3+V2, ・・.P(3+佢,1-2V2); 2当OC=OP时,(V2in)2=m2+m2(m-4)2, 解得: m: =5,m2=3(舍去),AP(5,・5); 3当POOP吋,m2(m-3)2=m2+m2(m-4)2, 解得: df4,・・・P(4,0), 存在P的坐标是(3・迈,1+2V2)或(3+V2,1・2a/2)或(5,・5)或(4,0). 5. (1) (2)存在,理由如下: TCD垂直平分PQ,・・・ZPDC=ZgDC,AD=AC…ZADC=^ACD…\ZQDC=^ACDf /.ACtJDQ,在RtAAOC中,AC=^AO+CO2=10,AD=10.又AO二6,/-0D=4,3 ・・・D在对称轴上,根据对称性可知AD=BD,又ACGDQ,.*.Q为BC的中点,二C0=亦・ 在RtABOC中,BC=y/OC2+OB2=2^65,・\CQ=^65,TD、Q为AB、BC的中点,.二DQ=^AC=5・v ZDPp=ZDgP,・PD=DQ=5,・AP=AD-PD=5.1=^=5,・,・匕、=甲=辱,3 (3)设M(l,p),・•・PM=&+1),+0-0)、&+4,fM=、佇+0厨=&+勿+52,Pf=M 1°当PQ二PM时,活=&+4,・••丿=±2丽,・•・M(l,2膺),M(1,一2・厲)・3 2°当PQ=QM时,+勿+52,・*•? =^±2jT,・*.M(l,-4+2-JT),M(1,-4-2-^T). 3°当PM=QM时,丿=-6,・•・M(l,-6)3 M(l,2j9),M(1,一2疤).M(l,-4+2-JT),M(1,7-2厲).蹶(1,一6卜综上所述: 存在5个M点,即 6.【解析】解: (1) 由抛物线丫=血+bx+2过A(_3,0),B(1,0),则 f0=9a-3b-2 : Oeb-2,解得 ・・・二次函数的关系解析式为' (2)设点P坐标为(m,n),则 连接P0,作PM丄x轴于M,PN丄y轴于N。 --m2-—m-2 PM=33 A0=3o 此时 33323 ■2=7 ;4 y=——x0~—x0-r2=2 33,所以OC=2。 —x3-(~—m2-im-2)-—x2-(-m)--x3x2=-m: -3m 23322 「m=_2 ・・・3=-1<0,・・・函数SAACP=-nr-3m有最大值,当2时,氷心有最大值。 P(丄2) ・•・存在点22,使ZXACP的面积最大。 ⑶存在。 点Q1(7心Q: (—l—3\Q4(3: 1)o 10.【解析】 (1)•••二次函数"2的图像经过点A(2,0)C(0,-1) 解得: /尸一2c=—l(2分) (2)设点D的坐标为5,0),(0 AOOC ADDE •••△CDE的面积二八 4斗(2分) : .()1)二/〃•••AD二2-/〃山厶ADE^AAOC得, 当〃尸1时,ACDE的面积最大,此时点D的坐标为(1,0)(1分) (3)存在. y-—x--X-1 由 (1)知: 二次函数的解析式为"22 0=-x2--x-1 设y二0贝ij22解得: X1=2x2=-l,・••点B的坐标为(一1,0)C(0,-1) 设直线BC的解析式为: y^kx+b b=-l 在RtAAOC中, j+b=0 解得: 冶-1/尸T,二直线BC的解析式为: y=~x—1 ZA0C=90°0A=20C=l,由勾股定理得: AC=^ •••点B(-l,0)点C(0,-1),「•OB二OCZBCO=45°.(1分) 设P(k,-A-l),a点P作P1I丄y轴于II, AZHCP=ZBC0=45°,CH二PH二IkI,在RtAPCH中 ②以A为顶点,即AOAP二 设P做一£一1),过点P作PG丄x轴于G, 4 d«>! 尹—— AG二|2_k| GP二|-A-1| 在RtAAPG中AG'+PGW(2——£一1尸二5解得: 人二1,治0(舍)/.P3(l,-2)(3分)(3)AP=CP,此时AP2=CP2 2X2-2X+5=2X2 -2X=-5,X二2.5 代入BC方程,Y=-3.5 因此P4(2.5,-3.5) 迴.顶T迥丽[丄I 综上所述,存在四点: P1(2,—一厂一)p2(-2,~)P,l,-2)Pd(2,-2). (1)用待定系数法求得二次函数的解析式 .ID_DE (2)设点D的坐标为5,0),(0 从而求得DE的长,通过ACDE的面积公式求得当沪1时,ACDE的面积最大,即可求出点D的坐标 (3)求岀直线BC的解析式,若三角形为等腰三角形,则有三种可能,利用勾股定理从而求得P点的坐标 (2) 3.解: 由勾股定理,得(0C2+0B2)+(0C2+0A2)=bc2+ac2=ab2, 又V0B=3,0A二1,AB二4,・・・°C=洁: ・・・点C的坐标是‘① 由题意可设抛物线的函数解析式为y=a(x-1)(x+3),把C(0,皿)代入
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