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三角函数习题
一、选择题
1.曲47-sin17cos30
cos17
~2
1
C.—
2
3•
2.把函数y二cos2x+l的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是
3/r
—,0),则Q的最小值是
4
()
15
A.—B.1C.—
33
如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=]}连接EC、ED则sinZCED=()
B.1
D.2
A.巫
10
在\ABC中,若sin2A+sin2B A.钝角三角形.B.直角三角形.C.锐角三角形. 设向量a=(i.cos。 )与U2cos0)垂直,则cos20等于 C.0 71 16 3 函数y=2sin (0 B.0 C--1 D.-1 D--1-V3 己知sincr-cos(7=>/2,cifg(0,h),贝ijsin2a= 设AASC的内角&5C所对的边分别为abc,若三边的长为连续的三个正整数,且 12• 、a/2a/2、 A.—1B.C•D.1 22 A.向左平移1个单位 C.向左平移丄个单位 2 B.向右平移1个单位 D.向右平時个单位 要得到函数y=cos(2x+l)的图象,只要将函数y=cos2x的图象 二、填空题 18.设MBC的内角A、B、C的对边分别为q、b、c,且g二1,/? =2,cosC=-,则sinB= 4 19.在三角形ABC中,角A,B,C所对应的长分别为a,b,c,若沪2,B=—,c=2>/3,Mb= 6 20.在\ABC中,已知ABAC=60°,ZABC=45°,BC=y^,则AC=. 21.当函数y=sinx-V3cosx(0 22.在厶ABC屮,若g=3,b=品,ZA=-,则ZC的大小为. 3 三、解答题 yr 23.设函数/(x)=Asin(0r+0)(其中A>0,eo>0,-7r<(p<7T)在兀=—处収得最大值2,其图象与轴的 6 rr6cc)£°x—gin,x—1 相邻两个交点的距离为冬⑴求门力的解析式;仃D求函数g(x)=——的值域. 2' 6 24.ffiAABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=^3acosB. (1)求角B,的大小; (2) 若b二3,sinC=2sinA,求a,c的值. 26. 已知函数/(x)=cos? 兰一sin兰cos兰一丄 2222 (I)求函数/(对的最小正周期和值域; 27.海事救援船对一艘失事船进行定位: 以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴 正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处,如图.现假设: ①失事船的移动路径可视为抛物线 y=^x2-,②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发/小吋后,失事船所在位置的横坐标为7/. (1)当7=0.5时,写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时 两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失爭船? 7TTT 28.函数/(x)=Asin(°r-—)+1(4>0口>0)的最大值为3,其图像相邻两条对称轴Z间的距离为一, 62 (1)求函数于(兀)的解析式; T[(I (2)设aw(0,-),则/(-)=2,求Q的值. 22 29.在△八BC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC. (I)求证: a,b,c成等比数列; (II)若a=l,c=2,求AABC的面积S. 30.在\ABC中,角A.B、C的对边分别为臼,b,c.角A,B,C成等差数列. (I)求cosB的值; (II)边a,b,c成等比数列,求sinAsinC的值. 31.已知d,b,c分别为AABC三个内角AfBfC的对边,c=V3tzsinC-csinA. (I)求A; (II)若d二2,AABC的面积为舲,求b,c・ 32.AABC屮,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC. (1)求cosA; ⑵若a二3,AABC的面积为2血,求b,c. 33. jr 已知函数/(x)=Asin(69X+(p)(xe/? 69>0,0<69<—的部分图像如图5所示. (【)求函数f(x)的解析式; 7TTT (II)求函数5(x)=/(x-—)-/(%+—)的单调递增区间. 34.设函数/(x)=sin2岔+2j^sin亦cos岔-cos? 亦+2(xc/? )的图像关于直线x-n对称,其'I169,A为常数,且处(丄,1) 2 (1)求函数/(尢)的最小正周期; ⑵若KX)的图像经过点(孑。 ),求函数g的值域. 35.(三角函数)己知函数/(x)=Acos£+2 30 L7 4\ f4a+—/r 3 (I)求A的值; (46丿 9\Q f4/5—一兀=—,求cos(g+0)的值. 37.MBC中,内角力仏C成等差数列,其对边abc满足2b1=3ac,求A• 38.已知函数f(x)= (sinx一cosx)sin2x sinx (1)求/(x)的定义域及最小正周期; ⑵求/(兀)的单调递减区间. 39.设AABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC (I)求角A的大小; 仃I)若b=c=\fD为BC的屮点「,求4D的长. 一、选择题 1.【答案】: c 三角函数参考答案 _sin(30+17)-sin17cos30 cos17 sin30cos17+cos30sin17-sin17cos30sin30cos17.“1 ==sin30=—cos17cos172 【考点定位】本题考查三角恒等变化,其关键是利用47=30+17 2.【答案】A 【命题意图】本题主耍考查了三角函数中图像的性质,具体考查了在x轴上的仲缩变换,在x轴、y轴上的平移变化,利用特殊点法判断图像的而变换. 【解析】由题意,尸cos2x+l的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),即解析式为 、、(71\ y二cosx+1,向左平移一个单位为y二cos(xT)+l,向下平移一个单位为y二cos(xT),利用特殊点一,0变 (2丿 7T^77ft)"Ti 3.【解析】函数向右平移一得到函数g(x)=/(x)=sin^(x)=sin(cox),因为此时函数过 4444 点(―,0),所以sin 444442 为2,选D. 4.[答案]B [解析]•・・|a日=1,正方形的边长也为/.|ed|=J|ae『+M2=V2 Eq=J(|EA|+|AB|)2+|CB『=V5 ee^24-|ec|2-|cd|2 3710 10 sinZCED二 cosZCED= 2|ED|e|EC| CD=1 [点评]注意恒等式sin2a+cos2a=l的使用,需要用a的的范围决定其正余弦值的正负情况. 5.[解析]由条件结合正弦定理,得/+b2 6.解析: 6Z-Z? =0,—1+2cos20=0ycos20=2cos20—1=0,故选C. TTTTTT77L 7•解析: 由Og9可知飞气_『胃,可知 0 sin(-x--)e[-T,l];则y=2sin 则最大值与最小值之和为2-也,答案应选A. &【答案】A 【解析】sina-cosa=>/2,/.(sina-cosa)2=2,/.sin2a=-l,故选A 【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和「运算求解能力,属于容易题.9.【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质,是屮档题. 77j77777777 【解析】由题设知,一二,69=1,(P二k7lH(£WZ), 694442 jiji ・\(P=k7l+—(kE.Z),T0V0VTT,(p=—,故选A. 44 10.【答案】B 【解析】主要考查三角函数的运算,分子分母同•时除以COSQnJ得tana=-3,带入所求式可得结果. 11.【答案】B 【解析】设AB=ct在AABC中,由余弦定理知AC2=AB2+BC2一2AB•BC•cosB, 即7=c2+4-2x2xcxcos60,c2-2c-3=0,即(c・3)(c+l)=0・又c>0,.・.c=3. 设BC边上的高等于力,由三角形而积公式S|AB[BCsinB=^t)Ch,知 -x3x2xsin60二丄x2x〃,解得力二班. 222 【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容. 12.D【解析】因为a,b,c为连续的三个正整数,且A>B>C,可得a>h>ct所以。 二c+2,b=c+1①;又 222 3b 20a b2+c2-a2""2bc- 因为已知3"2吸皿所以cos"誥②•由余弦定理可得cos"岂产③,则由②③可得 ④,联立①④,得7疋一13—60=0,解得c=4或c=——(舍去),则q=6,b=5.7 故由正弦定理可得,sinA: sinB: sinC=6Z: : c=6: 5: 4.故应选D. 【点评】本题考查正、余眩定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值,明显是要利用正弦定理转化为边长的比值,因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用. 13•解析: B.市止弦定理,可得需=鬆,所以心譽孚2舲 2 14.【答案】C 【考点定位】此题主要考查三角函数的图像和性质,代值逆推是主要解法. 15.答案A 【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用. 3/;—4 【解析】因为Q为第二象限角,故cosa<0,而sina=-,故cos(2=-Vl-sin*a=一一,所以 sin2a=2sinacosa=,故选答案A. 25 16.答案C 【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质,• 【解析】由/(X)=sinMP(°w[0,2/])为偶函数可知,y轴是函数/(切图像的对称轴,而三角函数的 ——kjrn(p=F3k7v(kgZ),ifu 22 对称轴是在该函数取得最值时取得,故/(0)“n奢±4彳誇 (Pe[0,2兀],故k=0时,(p=: —,故选答案C. 【解析】选c y=cos2xy=cos(2x+l)左+1,平移一 二、填空题 【解析】a=l,/? =2,cosC=-,由余弦定理得2abcosC=l+4—2xlx2x丄=4,则c=2,即 【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系式求出sinB的值是本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值. 19.解析: 由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB=4,所以b二2._ 20.【答案】V2 【解析】由正弦定理得-^^=^—=>AC=y/2 /1 L考点定位】本题考查三角形中的三角函数,正弦定理,考醒求解计算能力. 21.答案: —— 6 【命•题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角「函数图像得到最值点. 【解析】由y=sinx->/3cosx=2sin(x-—) 7T7T、兀TT 由0 3333 当且仅当x--=—即兀二竺时取得最小值,x--=-时即x=—取得最大低 326326 JT 22.【答案】- 2 222 【解析】cosA="+°一61nc=2羽,而=-,故sinC=l=>C=-. 2bcsinCsinA2 【考点定位】本小题主要考查的是解三角形,所用方法并不唯一,对于正弦定理和余弦定理此二者会其一 都可以得到最后的答案. 三、解答题 23.【答案】: (I)0=—(II)[1,—)(―,—] 6442 【解析】: (I)由题设条件知的周期丁=71、即—=,T,解得0=2 0 因八工)在.¥=二处取得最大值2,所以川=2,从而sin(2x—-^)=1, 66 所以=+,又由一;T<: <71得卩=二 626 故f(x)的解析式为/(x)=22) …八,、6cos4x—sin*x—16cos4x+cosAx—2 (II)== 2sin(2.v^) 71 (2cos: x-l)(3cos"a-L) 2(2cos: x-1) =—COS2X+1(cos2XH—)因COS2XG[0,1],且COS2XH— 222 775 故g(x)的值域为[1,-) 442 24.【命题意图】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【解析】⑴bsinA二>/3acosB,由正眩定理可得sinBsinA=a/3sinAcosB,即得 taB=「: ・B=L 3 (2)sinC二2sinA,由正弦定理得c=2a由余弦定理 b2=a2+c2-2occosB,9=a2+4a2-2a-2acos—,解得a=羽…•.c=2a=2巧. 3 25.解: ⑴在\ABC中,由cos4=—血,可得sinA=/5,又由-^—=-^—Ra=2,c=41,可得 4 sinC 4sinAsirt? 所以sinC a/7 由=Z? 2+c2-2foccosA=>/72+/? -2=0,因为b〉0,故解得b=1. 71 (2)由cosA=-#,sin心乎,得cos2A=2co*lT,sin42sinAcos—# 所以cos(2A+—)=cos2Acossin2Asin—= 333 26-[解析]⑴*^,f(x)=cos^-sin|cos|4 =—(1+cosx)——sinx—— 2 2 2 V2 z兀、 (x+—) ——cos 2 4 所以倔的最小正周期心,值域为 (2)由⑴知,f@)省cos3+汁警, 所以COS(Q+—=—)・ 45 JIJI 所以sin2cr=-cos(—+2a)=-cos2(a+—) 24 =1-2cos~(<7+—)=1=—, 42525 [点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化等数学思想. 27.[解]⑴/=0.5时,P的横坐标x刊=j,代入抛物线方程y=^x2 中,得P的纵坐标〃-3 由|力"|二字,得救援船速度的大小为J丽海里/时 rfltanZOL—話y=希,得/创尺型吮期前,故救援船速度的方向 为北偏东arctan弧度 ⑵设救援船的时速为V海里,经过f小时追上失事船,此时位置为(7r,12r2).由W=丁⑺尸+心产+⑵? 整理得v2=14的2+古)+337因为r2+^>2,当且仅当"1时等号成立,所以v2>144x2+337=252,即v>25. 因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船 第 (1)%*函数/Cr)的最大值为3・・•・八+'*=3・即人=2. •・・剧数图像的相邻两条对称轴之何的距离为号,・•・蝕小正周期T=和 故嗨数八小的解析式为V 2命(2丁-令)+1・ sinBs\n(A+C)=sinAsinC,则sin,B=sinAsinC, 再由正弦定理可得: 货=知所以⑦吐成等比数列. 22>2a (II)若a=l,c=2,贝ijb2=ac=29/•cos3==— •I△ABC的面积S=-acsin 2 2ac4 30.【答案与解析】 713 所以A=B=C=sinAsinC=- 34 【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以”利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果. 31.【命题意图】本题主要考查正余眩定理应用,是简单题. 【解析】(I)由c=V36tsinC-csinA及正弦定理得 命sinAsinC—sinAsinC=sinC 兀1 由于sinCHO,所以sin(A--)=-, 62 又0vAv/r,故A=—. 3 (II)\ABC的而积S二丄bcsinA二,故be=4, 2 而a2=Z? 24-c2-2/? ccosA故c2+b2=8,解得b=c=2. 「法二: 解: 己知: c=•sinC-c•cosA,由正弦定理得: sinC=V3sinA•sinC-sinC•cosA 因sinC0,所以: 1=V3sinA-cosA, 由公式: €/sinx+Z? cosx=V^+T^sin(x4-^)tz>O,tan^=—, Ia2丿 、1y/y/y? sinA--=-,•••A是△的内角,所以A--=-,所以: A== l6丿2663 (2)S=-bcsmA=>j3^>bc=4 2 er=b2^-c2-2/? ccosAo/? +c=4 解得: h=c=2 3(cosBcosC+sinBsinC)-l=6cosBcosC 则cosA=-. 3 COS(7T~A)=—— 3cosBcosC-3sinBsinC=-l ⑵由⑴得sinA=召2,由而积可得be二6①,则根据余弦定理 I1yr5tt2tt 33.【解析】(i)rh题设图像知,周期r=2(、=兀;3=——=£ 1212T 、冗Syr 因为点(―,0)在函数图像上所以Asin(2x—+0)=0,即sin(—+^)=0. 12126 ▼c7i5/r5/r4兀口工5兀口门兀 又0<(p<—..\——<——+。 从血——+(p=7r,即(p=—. 266366 7Tn 又点(0,1)在函数图像上,所以Asin—=1,A=2,故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+-). 66 ••71 =2sin2兀一2sin(2x+―) ]73 =2sin2x一2(—sin2x+cos2x) 22 =sin2x-y/icos2x 71 =2sin(2兀-§), 由2k7iW2兀W2k,兀h—,得k7i<兀5k7ih,k.wz. 2321212 57T TT /.g(x)的单调递增区间是^-―,^+12 I\jlSyr 【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第-问结合图形求得周期"2(疋市―从而求 2兀 得①卡=2.再利用特殊点在图像上求出©A,从而求出f(x)的解析式;第二问运用第一问结论和三 角恒等变换及y=Asin(亦+0)的单调性求得. 34.【解析】 (1)因为 /(x)=sin2cox-cos2cox+2^3sinexcosco+A=-cos2亦+舲sin2cox+几=2sin(269x-—)+A 6 7T 由直线x=7i是y=/(x)图像的一条对称轴,可得sin(2亦——)=±1 6 所以2cox--=k/r+-伙wZ),即/=±+丄伙wZ) 6223 又ew』,l),kwZ,所以£=1时,^=-,故/(切的最小正周期是凹. 265 TTTT (2)由y=f(X)的图象过点(-.0),得f(―)=0 •4・4 即A=—2sin(—x)=—2sin—=—>/2,即2=—*\/2 6264 故/(x)=2sin(-x--)-V2,函数/(%)的值域为[2-72,2+72]. 36 【点评】木题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的地位,可谓是百考不厌.求三 角函数的最小正周期,一般运用公式T=—来求解;求三角函数的值域,一般先根据自变量兀的范围确CD 定函数g(p的范I韦I.来年需注意三角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查. 35.解析: (I)/—=Acosf丄x兰+兰]=
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