中考数学试题分类汇编直线与圆的位置关系.docx
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中考数学试题分类汇编直线与圆的位置关系
2010年中考数学试题分类汇编
直线与圆的位置关系
1、(福建德化)如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F,且∠ACB=∠DCE.
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若tan∠ACB=
,BC=2,求⊙O的半径.
答案:
1)直线CE与⊙O相切。
证明:
∵四边形ABCD是矩形 ∴BD∥AD,∠ACB=∠DAC,
又∵∠ACB=∠DCE
∴∠DAC=∠DCE,连接OE,则∠DAC=∠AEO=∠DCE,∵∠DCE+∠DEC=90
∴∠AE0+∠DEC=90
∴∠OEC=90
∴直线CE与⊙O相切。
(2)∵tan∠ACB=
,BC=2 ∴AB=BC
∠ACB=
AC=
又∵∠ACB=∠DCE ∴tan∠DCE=
∴DE=DC•tan∠DCE=1
方法一:
在Rt△CDE中,CE=
,
连接OE,设⊙O的半径为r,
则在Rt△COE中,
即
解得:
r=
方法二:
AE=CD-AE=1,过点O作OM⊥AE于点M,则AM=
AE=
在Rt△AMO中,OA=
20.(2010年北京崇文区) 如图,
是半圆
的直径,过点
作弦
的垂线交半圆
于点
,交
于点
使
.
(1)判断直线
与圆
的位置关系,并证明你的结论;
(2)若
,求
的长.
【关键词】切线的证明、弦长的计算
【答案】解:
(1)
与
的相切.证明如下:
.
又
,
.
即
与
的相切.
(2)解:
连接
.
是
直径,
在
中,
,
.
.
在
中,
,
=
.
8.(2010年门头沟区)如图,已知⊙
是以数轴的原点
为圆心,半径为1的圆,
点
在数轴上运动,若过点
且与
平行的直
线与⊙
有公共点,设
,则
的取值范围是
A.-1≤
≤1 B.
≤
≤
C.0≤
≤
D.
>
【关键词】圆的切线
【答案】C
19.(2010年门头沟区)已知,如图,直线MN交⊙O于A,B两点,AC是直径,
AD平分
CAM交⊙O于D,过D作DE⊥MN于E.
(1)求证:
DE是⊙O的切线;
(2)若
cm,
cm,求⊙O的半径.
【关键词】圆的切线
【答案】
(1)证明:
连接OD.
∵OA=OD,
.
∵AD平分∠CAM,
,
.
∴DO∥MN.
,
∴DE⊥OD.………………………………………………………………………………1分
∵D在⊙O上,
是⊙O的切线.……………………………………………………………………2分
(2)解:
,
,
,
.………………………………………………3分
连接
.
是⊙O的直径,
.
,
.………………………………………………………………4分
.
.
∴
(cm).
⊙O的半径是7.5cm.
1.(2010年台湾省)图(四)为△ABC和一圆的重迭情形,此圆与直线BC相切于C点,
且与
交于另一点D。
若∠A=70︒,∠B=60︒,则
的度数为何?
(A)50 (B)60 (C)100 (D)120。
【关键词】直线和圆的位置关系
【答案】C
2.(2010年山东省济南市)如图,
是⊙
的切线,
为切点,
是⊙
的弦,过
作
于点
.若
,
,
.
求:
(1)⊙
的半径;
(2)AC的值.
【关键词】直线和圆的位置关系
【答案】
解①∵AB是⊙O的切线,A为切点
∴OA⊥AB ………..…………………………1’
在Rt△AOB中,
AO=
=
=5………..…….2’
∴⊙O的半径为5
②∵OH⊥AC
∴在Rt△AOH中
AH=
=
=
……….3’
又∵OH⊥AC
∴AC=2AH=2
……………….……..4’
18、(2010年宁波)如图,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线
上运动,当⊙P与
轴相切时,圆心P的坐标为___________。
答案:
(
,2)或(
,2)
(2010年重庆市潼南县)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=4,⊙O是以AB为直径的圆,则直线DC与⊙O的位置关系是 .
【关键词】直线与圆的位置关系
【答案】相离
14.(2010重庆市)已知⊙O的半径为3cm,圆心O到直线l的距离是4cm,则直线l与⊙O的位置关系是_____________.
解析:
因为圆心O到直线l的距离大于⊙O的半径,所以直线l与⊙O相离.
答案:
相离.
1.(2010年山东聊城)如图,已知Rt△ABC,∠ABC=90°,以直角边AB为直径作O,交斜边AC于点D,连结BD.
(1)若AD=3,BD=4,求边BC的长;
(2)取BC的中点E,连结ED,试证明ED与⊙O相切.
【关键词】切线
【答案】
(1)∵AB为直径,∴∠ADB=90°AD=3 BD=4 AB=5
由Rt△ABC∽Rt△ABD可得:
∴BC=
=
(2)连接OD,
∵BD⊥AC E为BC中点,∴DE=BE,∴∠EBD=∠EDB,∵OB=OD
∴∠OBD=∠ODB,∵∠OBD+∠EBD=90°,∴∠EDB+∠ODB=90°,
∴ED与⊙O相切.
1.(2010年兰州市)(本题满分10分)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
(1)求证:
PC是⊙O的切线;
(2)求证:
BC=
AB;
(3)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC的值.
【关键词】
切线的判定
【答案】
解:
(1)∵OA=OC,∴∠A=∠ACO
∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB ……………………………………………………1分
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90° …………………………………………………2分
∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP …………………………………………3分
∵OC是⊙O的半径
∴PC是⊙O的切线 …………………………………………………4分
(2)∵PC=AC ∴∠A=∠P
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P
∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB
∴∠CBO=∠COB ……………………………………………5分
∴BC=OC
∴BC=
AB ………………………………………………………6分
(3)连接MA,MB
∵点M是弧AB的中点
∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ………7分
∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM
∵∠BMC=∠BMN
∴△MBN∽△MCB
∴
∴BM2=MC·MN ……………………8分
∵AB是⊙O的直径,弧AM=弧BM
∴∠AMB=90°,AM=BM
∵AB=4 ∴BM=
………………………………………………………9分
∴MC·MN=BM2=8 ……………………………………………………10分
(2010江苏宿迁)(本题满分10分)如图,AB是⊙O的直径,P为AB延长线上任意一点,C为半圆ACB的中点,PD切⊙O于点D,连结CD交AB于点E.
求证:
(1)PD=PE;
(2)
.
【关键词】切线
【答案】证明:
(1)连接OC、OD………………1分
∴OD⊥PD,OC⊥AB
∴∠PDE=
—∠ODE,
∠PED=∠CEO=
—∠C
又∵∠C=∠ODE
∴∠PDE=∠PED …………………………………………4分
∴PE=PD …………………………………………5分
(2)连接AD、BD ………………………………………6分
∴∠ADB=
∵∠BDP=
—∠ODB,∠A=
—∠OBD
又∵∠OBD=∠ODB ∴∠BDP=∠A
∴
PDB∽
PAD …………………………………………………8分
∴
∴
∴
8. (2010年安徽中考)如图,⊙O过点B、C。
圆心O在等腰直角△ABC的内部,∠BAC=900,OA=1,BC=6,则⊙O的半径为………………( )
A)
B)
C)
D)
【关键词】直线与圆的位置关系
【答案】C
13.(2010年安徽中考) 如图,△ABC内接于⊙O,AC是⊙O的直径,∠ACB=500,点D是BAC上一点,则∠D=_______________
【关键词】圆内接三角形
【答案】400
20.(2010年浙江省东阳市)(8分)如图,BD为⊙O的直径,点A是弧BC的中点,AD交BC于E点,AE=2,ED=4.
(1)求证:
~
;
(2)求
的值;
(3)延长BC至F,连接FD,使
的面积等于
,
求
的度数.
【关键词】三角形相似、解直角三角形
【答案】(1)∵点A是弧BC的中点 ∴∠ABC=∠ADB
又∵∠BAE=∠BAE ∴△ABE∽△ABD......................3分
(2)∵△ABE∽△ABD ∴AB2=2×6=12 ∴AB=2
在Rt△ADB中,tan∠ADB=
......................3分
(3)连接CD,可得BF=8,BE=4,则EF=4,△DEF是正三角形,
∠EDF=60°......................................2分
14.(2010重庆市)已知⊙O的半径为3cm,圆心O到直线l的距离是4cm,则直线l与⊙O的位置关系是_____________.
解析:
因为圆心O到直线l的距离大于⊙O的半径,所以直线l与⊙O相离.
答案:
相离.
28.(2010江苏泰州,28,12分)在平面直角坐标系中,直线
(k为常数且k≠0)分别交x轴、y轴于点A、B,⊙O半径为
个单位长度.
⑴如图甲,若点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,且OA=OB.
①求k的值;
②若b=4,点P为直线
上的动点,过点P作⊙O的切线PC、PD,切点分别为C、D,当PC⊥PD时,求点P的坐标.
⑵若
,直线
将圆周分成两段弧长之比为1∶2,求b的值.(图乙供选用)
【答案】⑴①根据题意得:
B的坐标为(0,b),∴OA=OB=b,∴A的坐标为(b,0),代入y=kx+b得k=-1.
②过P作x轴的垂线,垂足为F,连结OD.
∵PC、PD是⊙O的两条切线,∠CPD=90°,
∴∠OPD=∠OPC=
∠CPD=45°,
∵∠PDO=90°,,∠POD=∠OPD=45°,
∴OD=PD=
,OP=
.
∵P在直线y=-x+4上,设P(m,-m+4),则OF=m,PF=-m+4,
∵∠PFO=90°,OF2+PF2=PO2,
∴m2+(-m+4)2=(
)2,
解得m=1或3,
∴P的坐标为(1,3)或(3,1)
⑵分两种情形,y=-
x+
,或y=-
x-
。
直线
将圆周分成两段弧长之比为1∶2,可知其所对圆心角为120°,如图,画出弦心距OC,可得弦心距OC=
,又∵直线
中
∴直线与x轴交角的正切值为
,即
,∴AC=
,进而可得AO=
,即直线与与x轴交于点(
,0).所以直线与y轴交于点(
,0),所以b的值为
.
当直线与x轴、y轴的负半轴相交,同理可求得b的值为
.
综合以上得:
b的值为
或
.
【关键词】一次函数、勾股定理、圆的切线等知识的综合运用
6.(2010年山东省青岛市)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=4cm,以点C为圆心,以2cm的长为半径作圆,则⊙C与AB的位置关系是( ).
A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交
【关键词】直线与圆的位置关系
【答案】B
23.(2010年安徽省芜湖市)(本小题满分12分)如图,BD是⊙O的直径,OA⊥OB,M是劣弧上一点,过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点,MD与OA交于N点.
(1)求证:
PM=PN;
(2)若BD=4,PA=AO,过点B作BC∥MP交⊙O于C点,求BC的长.
【关键词】圆的切线、勾股定理、相似三角形
(1)【证明】:
连接OM,.......1分
∵MP是⊙O的切线,∴OM⊥MP.∴∠OMD+∠DMP=90°.
∵OA⊥OB,∴∠OND+∠ODM=90°.
又∵∠MNP=∠OND,∠ODM=∠OMD,∴∠DMP=∠MNP,∴PM=PN....4分
(2)解:
设BC交OM于点E,∴BD=4,OA=OB=
,
∴PA=
,∴PO=5....5分
∵BC∥MP,OM⊥MP,∴OM⊥BC,BE=
...............7分
∵∠BOM+∠MOP=90°,在Rt△OMP中,∠MPO+∠MOP=90°,
∴∠BOM=∠MPO,又∵∠BEO=∠OMP==90°.
∴△OMP∽△BEO.∴
...............10分
得:
,∴
,∴
.............12分
4.(2010重庆市)已知⊙O的半径为3cm,圆心O到直线l的距离是4cm,则直线l与⊙O的位置关系是_____________.
解析:
因为圆心O到直线l的距离大于⊙O的半径,所以直线l与⊙O相离.
答案:
相离.
21(2010年浙江省金华).(本题8分)
如图,AB是⊙O的直径,C是
的中点,CE⊥AB于E,BD交CE于点F.
(1)求证:
CF﹦BF;
(2)若CD﹦6,AC﹦8,则⊙O的半径为 ▲ ,
CE的长是 ▲ .
【关键词】直径所对圆周角是直角
【答案】
(1)证明:
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB﹦90°
又∵CE⊥AB, ∴∠CEB﹦90°
∴∠2﹦90°-∠A﹦∠1
又∵C是弧BD的中点,∴∠1﹦∠A
∴∠1﹦∠2,
∴CF﹦BF﹒
(2) ⊙O的半径为5,CE的长是
﹒
8.(2010山东德州)已知三角形的三边长分别为3,4,5,则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是
(A)0,1,2,3 (B)0,1,2,4 (C)0,1,2,3,4 (D)0,1,2,4,5
【关键词】直线与圆的关系
【答案】C
20.(2010山东德州)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC中点,AE平分∠BAD交BC于点E,点O是AB上一点,⊙O过A、E两点,交AD于点G,交AB于点F.
(1)求证:
BC与⊙O相切;
(2)当∠BAC=120°时,求∠EFG的度数.
【关键词】切线、角平分线
【答案】
(1)证明:
连接OE,
∵AB=AC且D是BC中点,
∴AD⊥BC.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE.
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA.
∴∠OEA=∠DAE.
∴OE∥AD.
∴OE⊥BC.
∴BC是⊙O的切线
(2)∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∴∠EOB=60°.
∴∠EAO=∠EAG=30°.
∴∠EFG=30°.
(2010年四川省眉山)下列命题中,真命题是
A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B.等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
C.圆的切线垂直于经过切点的半径
D.垂直于同一直线的两条直线互相垂直
【关键词】真假命题和一些几何概念
【答案】C
(2010年广东省广州市)如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.
(1)求弦AB的长;
(2)判断∠ACB是否为定值,若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;
(3)记△ABC的面积为S,若
=4
,求△ABC的周长.
【关键词】垂径定理勾股定理内切圆切线长定理三角形面积
【答案】解:
(1)连接OA,取OP与AB的交点为F,则有OA=1.
∵弦AB垂直平分线段OP,∴OF=
OP=
,AF=BF.
在Rt△OAF中,∵AF=
=
=
,∴AB=2AF=
.
(2)∠ACB是定值.
理由:
由
(1)易知,∠AOB=120°,
因为点D为△ABC的内心,所以,连结AD、BD,则∠CAB=2∠DAE,∠CBA=2∠DBA,
因为∠DAE+∠DBA=
∠AOB=60°,所以∠CAB+∠CBA=120°,所以∠ACB=60°;
(3)记△ABC的周长为l,取AC,BC与⊙D的切点分别为G,H,连接DG,DC,DH,则有DG=DH=DE,DG⊥AC,DH⊥BC.
∴
=
AB•DE+
BC•DH+
AC•DG=
(AB+BC+AC)•DE=
l•DE.
∵
=4
,∴
=4
,∴l=8
DE.
∵CG,CH是⊙D的切线,∴∠GCD=
∠ACB=30°,
∴在Rt△CGD中,CG=
=
=
DE,∴CH=CG=
DE.
又由切线长定理可知AG=AE,BH=BE,
∴l=AB+BC+AC=2
+2
DE=8
DE,解得DE=
,
∴△ABC的周长为
.
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