相似三角形压轴经典大题(含答案).doc

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相似三角形压轴经典大题解析

1.如图，已知一个三角形纸片，边的长为8，边上的高为，和都为锐角，为一动点（点与点不重合），过点作，交于点，在中，设的长为，上的高为．

（1）请你用含的代数式表示．

（2）将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面的点为，与四边形重叠部分的面积为，当为何值时，最大，最大值为多少？

【答案】解：

（1）

（2）

的边上的高为，

当点落在四边形内或边上时，

=（0）

当落在四边形外时，如下图，

设的边上的高为，

则

所以

综上所述：

当时，，取，

当时，，

取，

当时，最大，

M

N

C

B

E

F

A

A1

2．如图，抛物线经过三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？

若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

【答案】解：

（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为．

将，代入，

得解得

此抛物线的解析式为．

（2）存在．

如图，设点的横坐标为，

则点的纵坐标为，

当时，

，．

又，

①当时，

，

即．

解得（舍去），．

②当时，，即．

解得，（均不合题意，舍去）

当时，．

类似地可求出当时，．

当时，．

综上所述，符合条件的点为或或．

3．如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．

（1）求的面积；

（2）求矩形的边与的长；

（3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．

A

D

B

E

O

C

F

x

y

y

（G）

【答案】

（1）解：

由得点坐标为

由得点坐标为

∴

由解得∴点的坐标为

∴

（2）解：

∵点在上且

∴点坐标为

又∵点在上且

∴点坐标为

∴

（3）解法一：

当时，如图1，矩形与重叠部分为五边形（时，为四边形）．过作于，则

A

D

B

E

O

R

F

x

y

y

M

（图3）

G

C

A

D

B

E

O

C

F

x

y

y

G

（图1）

R

M

A

D

B

E

O

C

F

x

y

y

G

（图2）

R

M

∴即∴

∴

即

当时，如图2，为梯形面积，∵G（8－t,0）∴GR=,

∴

当时，如图3,为三角形面积，

4．如图，矩形中，厘米，厘米（）．动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米／秒．过作直线垂直于，分别交，于．当点到达终点时，点也随之停止运动．设运动时间为秒．

（1）若厘米，秒，则______厘米；

（2）若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；

（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；

（4）是否存在这样的矩形：

在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形的面积都相等？

若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

D

Q

C

P

N

B

M

A

D

Q

C

P

N

B

M

A

【答案】解：

（1），

（2），使，相似比为

（3），

，即，

当梯形与梯形的面积相等，即

化简得，

，，则，

（4）时梯形与梯形的面积相等

梯形的面积与梯形的面积相等即可，则

，把代入，解之得，所以．

所以，存在，当时梯形与梯形的面积、梯形的面积相等．

5．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；

（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

【答案】解：

（1）△BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ是等边三角形.

（2）过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t·sin600=t,由AP=t,得PB=6-t,

所以S△BPQ=×BP×QE=（6-t）×t=－t2+3t；

（3）因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600,

所以△QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ·cos600=×2t=t,

所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形,

所以PR=EQ=t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR～△PRQ,

所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=,即,所以t=,

所以当t=时,△APR～△PRQ

6．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝3．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．

（1）求点B的坐标；

（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；

（3）点M是

（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N．使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？

若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

A

B

D

E

（第26题图1）

F

C

O

M

N

x

y

.7．在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交图7-2

A

D

O

B

C

2

1

M

N

图7-1

A

D

B

M

N

1

2

图7-3

A

D

O

B

C

2

1

M

N

O

于点O，∠1 = ∠2 = 45°．

（1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD

的数量关系和位置关系；

（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到

图15-2，其中AO = OB．

求证：

AC = BD，AC ⊥ BD；

（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到

图15-3，求的值．

【答案】解：

（1）AO = BD，AO⊥BD；

图4

A

D

O

B

C

2

1

M

N

E

F

（2）证明：

如图4，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．

  又∵AO = OB，∠AOC =∠BOE，

∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE．

又∵∠1 = 45°，∴∠ACO = ∠BEO = 135°．

∴∠DEB = 45°．

∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD．延长AC交DB的延长线于F，如图4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．∴AC⊥BD．

（3）如图5，过点B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO= ∠ACO．

又∵∠BOE= ∠AOC，

A

O

B

C

1

D

2

图5

M

N

E

∴△BOE ∽ △AOC．

∴．

又∵OB = kAO，

由

（2）的方法易得BE = BD．∴．

10．如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。

（1）经过多少时间，线段PQ的长度为2？

（2）写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围；

（3）在P、Q运动过程中，是否可能出现PQ⊥MN？

若有可能，求出此时间t；若不可能，请说明理由；

（4）是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与△MON相似？

若存在，求出此时间t；若不可能，请说明理由；

Y

NA

Q

OPMX