等差数列教学设计.docx
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等差数列教学设计.docx
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等差数列教学设计
6.2.1等差数列的概念
【教学目标】
1.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式;掌握等差中项的概念.
2.逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题.
3.通过教学,培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力,渗透由特殊到一般的思想.
【教学重点】
等差数列的概念及其通项公式.
【教学难点】
等差数列通项公式的灵活运用.
【教学方法】
本节课主要采用自主探究式教学方法.充分利用现实情景,尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性.在教师的启发指导下,强调学生的主动参与,让学生自己去分析、探索,在探索过程中研究和领悟得出的结论,从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的.
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
问题某工厂的仓库里堆放一批钢管(参见教材图6-1),共堆放了7层,试从上到下列出每层钢管的数量.
教师出示引例,并提出问题.
学生探究、解答.
希望学生能通过对日常生活中的实际问题的分析对比,建立等差数列模型,进行探究、解答问题,体验数学发现和创造的过程.
新
课
新
课
新
课
新
课
新
课
新
课
从上例中,我们得到一个数列,每层钢管数为
4,5,6,7,8,9,10.
1.等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示).
练习一
抢答:
下列数列是否为等差数列?
1,2,4,6,8,10,12,…;
0,1,2,3,4,5,6,…;
3,3,3,3,3,3,3,…;
2,4,7,11,16,…;
-8,-6,-4,0,2,4,…;
3,0,-3,-6,-9,….
注意:
求公差d一定要用后项减前项,而不能用前项减后项.
2.常数列
特别地,数列
3,3,3,3,3,3,3,…
也是等差数列,它的公差为0.公差为0的数列叫做常数列.
3.等差数列的通项公式
首项是a1,公差是d的等差数列{an}的通项公式可以表示为
an=a1+(n-1)d.
4.通项公式的应用
根据这个通项公式,只要已知首项a1和公差d,便可求得等差数列的任意项an.
事实上,等差数列的通项公式中共有四个变量,知道其中三个,便可求出第四个.
例1求等差数列8,5,2,…的通项公式和第20项.
解因为a1=8,d=5-8=-3,所以这个数列的通项公式是
an=8+(n-1)×(-3),
即an=-3n+11.所以
a20=-3×20+11=-49.
例2等差数列-5,-9,-13,…的第多少项是-401?
解因为a1=-5,而且
d=-9-(-5)=-4,
an=-401,
所以
-401=-5+(n-1)×(-4).
解得n=100.
即这个数列的第100项是-401.
练习二
(1)求等差数列3,7,11,…的第4,7,10项.
(2)求等差数列10,8,6,…的第20项.
练习三
在等差数列{an}中:
(1)d=-
,a7=8,求a1;
(2)a1=12,a6=27,求d.
例3在3与7之间插入一个数A,使3,A,7成等差数列,求A.
解因为3,A,7成等差数列,所以
A-3=7-A,2A=3+7.
解得A=5.
5.等差中项的定义
一般地,如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
6.等差中项公式
如果A是a与b的等差中项,则
A=
.
这就表明,两个数的等差中项就是它们的算术平均数.
7.一个结论
在等差数列a1,a2,a3,…,an,…中,
a2=
,
a3=
,
……
an=
,
……
这就是说,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.
练习四
求下列各组数的等差中项:
(1)732与-136;
(2)
与42.
例4已知一个等差数列的第3项是5,第8项是20,求它的第25项.
解因为a3=5,a8=20,根据通项公式得
整理,得
解此方程组,得a1=-1,d=3.
所以
a25=-1+(25-1)×3=71.
强调:
已知首项a1和公差d,便可求得等差数列的任意项an.
练习五
(1)已知等差数列{an}中,a1=3,an=21,d=2,求n.
(2)已知等差数列{an}中,a4=10,a5=6,求a8和d.
例5梯子的最高一级是33cm,最低一级是89cm,中间还有7级,各级的宽度成等差数列,求中间各级的宽度.
解用{an}表示题中的等差数列.已知a1=33,an=89,n=9,
则a9=33+(9-1)d,即
89=33+8d,
解得d=7.
于是
a2=33+7=40,
a3=40+7=47,
a4=47+7=54,
a5=54+7=61,
a6=61+7=68,
a7=68+7=75,
a8=75+7=82.
即梯子中间各级的宽从上到下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm.
例6已知一个直角三角形的三条边的长度成等差数列.求证:
它们的比是3∶4∶5.
证明设这个直角三角形的三边长分别为
a-d,a,a+d.
根据勾股定理,得
(a-d)2+a2=(a+d)2.
解得a=4d.
于是这个直角三角形的三边长是3d,4d,5d,即这个直角三角形的三边长的比是3∶4∶5.
师:
请同学们仔细观察,看看这个数列有什么特点?
学生观察、回答.
教师总结特征:
从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差).
我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列.
教师板书定义.
师:
等差数列的例子,在生活中有很多,谁能再举几个?
教师出示题目.
学生思考、抢答.
师:
你能说出练习一中,各等差数列的公差吗?
学生说出各题的公差d.
教师订正并强调求公差应注意的问题.
师:
已知一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,如何求出它的任意项an呢?
学生分组探究,填空,归纳总结通项公式
a2=a1+d,
a3=+d=+d
=a1+d,
a4=+d=+d
=a1+d,,
……
an=a1+d.
师:
一个等差数列的各项,已知和就可以确定下来?
师:
等差数列的通项公式中共有几个变量?
教师引导学生分析本题,已知什么?
求什么?
怎么求?
学生思考、说出已知、所求,代入通项公式.
强调:
通项公式是用含有n的式子表示an.
学生尝试解答后,师生共同板书解题过程.
仿照例1,教师引导、点拨.
学生解答.
多媒体出示解题过程.
学生核对、订正.
教师强调解题过程要规范、严谨.
学生练习.
请学生在黑板上做题.
教师巡视指导.
师生共同订正.
教师出示例题.
学生同桌之间合作探究.
学生分析解题思路.
教师出示答案,订正.
师:
在a与b之间插入一个数A,使a,A,b成等差数列.你能用a,b来表示A吗?
学生探究、回答.
教师订正学生的回答,给出等差中项的定义和公式.
师:
你能用文字描述一下这个式子的含义吗?
师:
在等差数列1,3,5,7,9,11,13,…中,每相邻的三项,满足等差中项的关系吗?
学生分组合作探究,得出结论.
师:
能将这个结论推广到一般的等差数列中吗?
学生继续分组合作探究.
教师总结学生的回答,给出结论.
学生做练习.
学生回答各题结果,统一订正答案.
教师出示例题.
学生分组合作探究.
教师点拨、引导:
(1)例题给出了哪些量?
如何用数列符号表示?
(2)例题中的所求量是什么?
需要知道哪些条件?
教师总结学生思路,给出解题过程.
学生自主练习.
教师巡视指导.
请个别学生在黑板上做题后,师生共同订正.
教师出示例题.
引导学生将题中的已知和未知转化为用数列符号表示.
学生解答.
教师巡视指导.
教师出示解题过程,强调解题步骤要规范、严谨,叙述要简明、完整.
教师出示例题,提示点拨:
当已知三个数成等差数列时,可将这三个数表示为
a-d,a,a+d,
其中d是公差.由于这样具有对称性,运算时往往容易化简.
学生根据教师的提示,分组探究.
请学生在黑板上做题.
教师引导学生订正解题过程,规范解题步骤.
由特殊到一般,发挥学生的自主性,培养学生的归纳能力.
在学生自主探究的基础上得出定义和公式,更有利于学生理解和运用.
引导学生观察、归纳、猜想,培养学生合理的推理能力.
学生在分组合作探究过程中,可能会找到多种不同的解决办法,教师要逐一点评,并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质,激发学生的创造意识.
鼓励学生自主解答,培养学生运算能力.
通过例题,强化学生对等差数列通项公式的理解,强化学生学以致用的意识.
由特殊到一般,发挥学生的自主性,培养学生的归纳能力.
在学生自主探究的基础上得出定义和公式,更有利于学生理解和运用.
引导学生观察、归纳、猜想,培养学生合理的推理能力.
通过两道直接套用公式的练习题,强化学生对中项公式的掌握.
学生在分组合作探究过程中,可能会找到多种不同的解决办法,教师要逐一点评,并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质,激发学生的创造意识.
鼓励学生自主解答,培养学生运算能力.
通过例题,强化学生对等差数列通项公式的理解,强化学生学以致用的意识.
在例题的教学中,教师要注重引导学生分析题意,教会学生思考问题、解决问题的思路与方法;在解决问题中,将新的知识内化到学生原有的认知结构中去.
小
结
1.等差数列的定义及通项公式.
2.等差中项的定义和公式.
3.等差数列通项公式和中项公式的应用.
学生阅读课本P9~P12,畅谈本节课的收获.
教师引导梳理,总结本节课的知识点和解题方法.
教师鼓励学生积极回答,答不完整没有关系,其它同学补充.以此培养学生的口头表达能力,归纳概括能力.
作
业
教材P17,习题第1,2,6题.
学生课后完成.
巩固拓展.
6.2.2等差数列的前n项和
【教学目标】
1.理解并掌握等差数列前n项和公式,并会应用公式解决简单的问题.
2.逐步熟练等差数列通项公式与前n项和公式的综合应用,培养学生的运算能力.
3.通过公式的探索、发现,培养学生观察、猜想、归纳、分析、综合推理的能力,渗透特殊到一般的思想.
【教学重点】
等差数列前n项和公式的应用.
【教学难点】
等差数列前n项和公式的推导.
【教学方法】
本节课在公式推导中宜采用引导发现法.师生共同参与整个教学活动,教师是活动的主导,学生是活动的主体.教师在引导的同时,必须辅之以指导学生亲自探究、发现、应用等活动,为学生思维指路搭桥.通过学生自主的尝试、发现活动,使学生在感知的基础上有效地揭示知识间的内在联系,从而使学生获取知识,提高能力.
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
问题某工厂的仓库里堆放一批钢管,共堆放了7层,试求钢管的总数.
分析怎样求得钢管的总数呢?
显然,把各层钢管数直接相加就可得出结果.
如果钢管很多,怎么办?
下面我们用另外一个办法来求.
学生分组合作探究.
回顾等差数列概念一节中提出的问题,激发学生探究的兴趣和欲望.
新
课
新
课
新
课
1.计算钢管数
解 用S来表示钢管的总数,则
S7=4+5+6+7+8+9+10,①
将各项次序反过来,又可写成
S7=10+9+8+7+6+5+4.②
把①②两式对应项相加,每对应两项和都等于14,所以把①②两式分别相加,得
2S7=(4+10)×7,
S7=
,
S7=49.
2.等差数列的前n项和公式
等差数列各项的和等于首末两项的和乘项数除以2.
一般地,数列{an}的前n项和记作Sn,即
Sn=a1+a2+a3+…+an.
可以得到等差数列的前n项和公式
Sn=
.
因为an=a1+(n-1)d,所以上面公式又可写成
Sn=na1+
d.
在这两个公式中,都包含四个变量,只要知道其中任意三个,就可求出第四个.
练习一
根据下列各题条件,求相应等差数列{an}的Sn:
(1)a1=5,an=95,n=10;
(2)a1=100,d=-2,n=50;
(3)a1=
,an=-
,n=14;
(4)a1=14.5,d=0.7,an=32.
练习二
如图,一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比下面一层多放一支,最上面放有120支,这个V形架上共放多少支铅笔?
例1在小于100的正整数集合中,有多少个数是7的倍数?
并求它们的和.
解在小于100的正整数集合中,以下各数是7的倍数
7,7×2,7×3,…,7×14.
即7,14,28,…,98.
显然,这是一个等差数列.其中a1=7,d=7,项数为不大于
的最大整数值,即n=14,a14=98.
因此
S14=
=735.
即在小于100的正整数的集合中,有14个数是7的倍数,它们的和等于735.
例2在等差数列-5,-1,3,7,…中.前多少项的和是345?
解这里a1=-5,d=-1-(-5)=4,Sn=345.
根据等差数列的前n项和公式得
345=-5n+
×4,
整理得2n2-7n-345=0,解得
n1=15,
n2=-
(不合题意,舍去).
所以n=15.
即这个数列的前15项的和是345.
学生各抒己见,回答导入中提出的问题.
教师出示学生回答中,用“倒序相加”方法解答此题的过程.
学生合作探究.
教师逐一点评学生想出的办法,对学生提到的“倒序相加法”结合图形,进行讲解.
师:
由上例,你能总结出求任意等差数列各项和的计算方法吗?
教师引导学生总结等差数列的前n项和公式.
教师引导学生将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d代入上式,得出公式的另一种形式.
师:
你能说出两个公式中包含的变量有哪些吗?
生:
Sn,a1,n,d,an.
学生应用新知识解答问题.
教师对学生的解答给予赏识性评价.
学生自主练习.
教师巡视指导.
请学生到黑板上做题后,师生共同订正.
教师提出问题,引导学生分析解题思路:
(1)在小于100的正整数的集合中,7的倍数有哪些?
(2)这些数构成了一个什么样的数列?
(3)如何用数列符号表示这些已知量?
教师出示例题,点拨、引导:
例题给出了哪些量?
所求什么量?
如何用数列符号表示?
选择哪个公式?
教师根据学生回答,列出已知、所求、选用的公式.
学生自主解答.
教师巡视指导.
请学生在黑板上板演.
使用熟悉的几何方法:
把“梯形”倒置,与原图补成平行四边形.
借助直观图形能启迪思路,帮助理解.
在教学中,要鼓励学生借助几何直观进行思考,从而渗透数形结合的数学思想.
通过对公式的剖析,培养学生灵活应用公式运算的能力.
通过练习,引导学生学会选择、运用公式,加深对公式的理解.
在教师的指引下,提高学生分析问题的能力.
解决此题的关键是分析题目所给条件,正确选择公式.
学生自主解答,培养学生运算能力.
小
结
等差数列的前n项和公式为
Sn=
;
Sn=na1+
d.
学生阅读课本P15~P16,畅谈本节课的收获.
教师引导梳理,总结本节课的知识点和解题方法.
教师鼓励学生积极回答,培养学生的口头表达能力,归纳概括能力.
作
业
教材P16,练习A组第2,3题.
学生课后完成.
巩固拓展.
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