直角三角形勾股定理.docx

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直角三角形勾股定理

§6.3直角三角形——勾股定理

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勾股定理：

勾股定理逆定理：

一、判断题

1.如果一个命题正确，那么它的逆命题也正确

2.定理不一定有逆定理

3.在直角三角形中，任意给出两条边的长可以求第三边的长

二、填空题

1.Rt△ABC中，∠C=90°，如图

（1），若b=5，c=13，则a=__________；若a=8，b=6，则c=__________.

2.等边△ABC，AD为它的高线，如图

（2）所示，若它的边长为2，则它的周长为__________，AD=__________，BD∶AD∶AB=__________∶__________∶__________.

（1）

（2）（3）

3.如图（3），正方形ABCD，AC为它的一条对角线，若AB=2，则AC=__________；若AC=2，则AB=__________；AC∶AB=__________∶__________.

4.如右图，△ABC中，∠A+∠C=2∠B，∠A=30°，则

∠C=__________；若AB=6，则BC=__________.

5.若直角三角形的三条边长分别是6，8，a则

（1）当6,8均为直角边时，a=__________；

（2）当8为斜边，6为直角边时，a=__________.

三、选择题

1.如右图，等腰直角△ABC，AB=2，则S△ABC等于

A.2B.1C.4D.

2.若三角形的三边分别为a,b,c，则下面四种情况中，构成直角三角形的是

A.a=2,b=3,c=4B.a=12,b=5,c=13

C.a=4,b=5,c=6D.a=7,b=18,c=17

3.如左下图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=，DC=1，AC=，那么AB的长度是

A.B.27C.D.25

4.如右上图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于

A.48B.24C.10D.12

四、解答题

1.已知，如下图，等边三角形ABC，AD为BC边上的高线，若AB=2，求△ABC的面积.

2.已知：

如下图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=.

（1）求DC的长；

（2）求AD的长；

（3）求AB的长；

（4）求证：

△ABC是直角三角形.

3.如右图，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A=50°，∠B=40°，AB=5km,BC=4km，若每天凿隧道0.3km，问几天才能把隧道凿通？

活动与探究：

若△ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+338＝10a+24b+26c．判断△ABC的形状．

[过程]需将已知条件变形，寻找a、b、c的关系，然后判断△ABC的形状．

参考答案

一、1.×2.√3.√

二、1.1210

2.612

3.21

4.90°3

5.

（1）10

（2）2.

三、1.B2.B3.C4.C

四、1.解：

∵△ABC为等边三角形，且AD⊥BC，

∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD=30°.

∴BD=AB=1,而BD2+AD2=AB2

∴AD2=AB2－BD2=3

∴AD=

∴S△ABC=AD·BC

=××2=

∴△ABC的面积为.

2.

（1）解：

在Rt△DCB中，DC2+DB2=BC2

∴DC2=9－

∴DC=

（2）解：

在Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2

∴AD2=16－

∴AD=

（3）解：

AB=AD+DB=+=5

（4）证明：

∵AC2+BC2=16+9=25，AB2=25

∴AC2+BC2=AB2

∴∠ACB=90°，

∴△ABC是直角三角形.

3.解：

∵∠A=50°，∠B=40°，∴∠C=90°，

∴AC2=AB2－BC2=（3km）2

∴AC=3km

∵=10天

∴10天才能将隧道凿通.

§6.3直角三角形——全等判定

一、填空题

1.如下图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90°

（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

（4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

（5）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

2.如右图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=

90°，AC与BD交于点O，则有△__________≌△__________，其判定依据是__________，还有△__________≌△__________，其判定依据是__________.

3.已知：

如图

（1），AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△__________≌△__________（HL）.

（1）

（2）（3）

4.已知：

如图

（2），BE，CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，若BC=10，FC=8，则EC=__________.

5.已知：

如图（3），AB=CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=（__________）°.

二、选择题

1.如下图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是

A.HLB.AASC.SSSD.ASA

2.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如下图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是

A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°

C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠

A=∠A′=40°

3.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是

A.两条直角边对应相等B.有两条边对应相等

C.一条边和一锐角对应相等D.一条边和一个角对应相等

三、证明题

1.如下图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：

CD=CB.

2.已知：

如下图，CD、C′D′分别是Rt△ABC，Rt△A′B′C′斜边上的高，且CB=

C′B′，CD=C′D′.求证：

△ABC≌△A′B′C′.

3.如下图，已知∠ABC=∠ADC=90°，E是AC上一点，AB=AD，求证：

EB=ED.

参考答案

一、1.

（1）AAS

（2）ASA（3）AAS（4）HL（5）SAS

2.ABCDCBHLABODCOAAS

3.ABEDCF

4.65.30

二、1.A2.B3.D

三、1.证明：

连结AC，CD⊥AD，CB⊥AB

∴在Rt△ADC和Rt△ABC中

∴Rt△ADC≌△Rt△ABC（HL）

∴CD=CB.

（本题也可用勾股定理直接证明）

2.证明：

∵CD⊥AB，C′D′⊥A′B′

∴在Rt△CDB和Rt△C′D′B′中，

∴Rt△CDB≌Rt△C′D′B′（HL）

∴∠B=∠B′

∴在△ABC和△A′B′C′中，

∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.

3.证明：

在Rt△ADC和Rt△ABC中，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）

∴∠DCE=∠BCE

∴在△DCE和△BCE中，

∴△DCE≌△BCE（SAS），∴EB=ED

（注：

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）