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投资中的数学问题
投资中的数学问题
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management之神提交日期:
2004-9-2915:
24:
00
我们试图像费马和帕斯卡那样思维,但他们从未听说过现代投资理论。
—查理·蒙格
下载在沃伦·巴菲特还是一个孩童的时候就已经对数字颇为着迷。
我们已经知道他年纪轻轻就已进行普通股投资。
但沃伦与数字的关系之深之广,且大大超出资产负债表和损益表的范围却是鲜为人知的。
当他没有在思考股市时,年轻的巴菲特总是在着手解决数学难题。
曾有一次他决定计算教堂赞美诗的作曲者是否比常人活得更长。
他的结论是,具有音乐天赋的人不一定比正常人有更高的长寿概率。
今天巴菲特被数字包围了,而且包围他的不仅仅是股市数字。
伯克谢尔的保险业务是所有业务中最具数学挑战的业务,也是统计学和概率论中必讲的一课,当巴菲特没有在想他的保
险业务也没有在想他的证券业务时,他在思考他的最大业余爱好—桥牌。
巴菲特自大学时代起就热衷于打桥牌,现在仍每周打几个小时。
如果他不能与人面对面地打牌,他就会在网上
与全国各地的桥牌爱好者切磋牌艺。
巴菲特认为,桥牌游戏与股市投资有许多共同点。
他解释说:
“他们都是有百万种推论的游戏。
你有许多赖以推论的依据—已打出的和未打出的牌。
所有这些推论都会告诉你概率发生的可能性。
它是对智力最好的锻炼。
每隔10分钟,局势都会发生变化。
桥牌是关于盈亏权重的比率问题。
”巴菲特说:
“你每时每刻都在进行计算。
”每一个与巴菲特打过交道的人都会告诉你巴菲特具有超凡的快速计算能力。
伯克谢尔·海舍威公司长时期的股民,纽约券商克里斯·斯塔夫罗(ChrisStavrou)回忆起他第一次与巴菲特约见的情景。
“我问他是否曾使用过计算器。
”巴菲特回答说:
“我从未有过计算器,也不知怎样使用它。
”
斯塔夫罗紧追不舍地问:
“那么你如何进行繁杂的计算呢?
难道你有天赋吗?
”
巴菲特说:
“没有,没有,我只是与数字打交道的时间太长了,我有些数字感觉而已。
”
“你能否为我示范一下?
比如99×99得多少?
”巴菲特立刻回答:
“9801。
”
斯坦夫罗问巴菲特他是如何知道的。
巴菲特回答说他阅读了费因曼的自传。
理查德·费因曼(RichardFeynman)是诺贝尔物理学奖项得主,也是美国原子弹研究项目的成员。
在他的题名为《费因曼先生,你不是在开玩笑吧!
》这部自传体书中,他介绍了如何在脑中计算复杂数学的方法。
由此我们得出结论:
沃伦·巴菲特要么记住了他阅读的所有资料;要么他能在脑中做神速计算。
斯塔夫罗又追问了另一个问题:
“如果一幅油画的价格在第6章证券投资中的数学问题100年内从250美元涨到5000万美元,年收益率是多少?
”几乎又是在同一时间,巴菲特回答道:
“13%。
”斯塔夫罗惊讶地问道:
“你又是怎么做的呢?
”
巴菲特回答说任何复利表都会显示出答案。
(由此我们是否可以推理他是一个活利率表?
可能是吧。
)巴菲特说还有另一个计算这个问题的方法“就是通过它加倍的次数来计算(250
美元加倍17.6次就得出5000万美元,每隔5.7年就加倍一次,或者说每年增长13%)。
”他好像在说,这还不简单。
尽管巴菲特很谦虚,但他显然是有数学天赋的。
基于这个原因,很多怀疑家们声称巴菲特的投资战略之所以有效是因为他有这个能力,而对那些没有这种数学能力的人,这个战略就无效。
巴菲特和查理·蒙格说这是不对的。
实施巴菲特的投资
战略并不需要投资者学习高深的数学。
在一次由《杰出投资家文摘》报道的,在南加州大学所做的演讲中,蒙格解释道:
“这是简单的代数问题,学起来并不难。
难的是在你的日常生
活中几乎每天都应用它。
费马/帕斯卡定理与世界的运转方式是完全谐调的。
它是基本的事实,所以我们必须掌握这一技巧。
”
概率论
如果我们说证券市场是一个无定律的世界,那么此话就过于简单了。
在股票的世界里,有几百种甚至上千种力量在联合左右着价格,所有这些价格都在不停地运动,每支股票都可能
产生巨大的影响力,但又没有一支股票可以被肯定地预测。
投资者的职责就是缩小范围,找出并排除那些最不了解的股票,
将注意力集中在最知情的股票上。
这就是对概率论的应用。
当我们对某一局面不太肯定但仍想表达看法时,我们经常在我们的言语里用上:
“可能性是”,或者“可能”或者“不太
可能”。
当我们再往前走一步并试图用数字来表达综合观点时,我们就在与概率论打交道了。
概率论是不确定性的数学语言。
一只猫生一只鸟的概率有多大?
零。
明天太阳升起的概率
有多大?
由于这个事件几乎是肯定发生的,概率为1。
任何事件其发生率既非肯定又非不可能时的概率为1.0到0之间。
决定0~1.0之间的这个小数就是概率论所探讨的问题的全部。
1654年,布莱斯·帕斯卡(BlaisePascal)和皮埃尔·费马(PierredeFermat)俩人互通了一系列信件,信上的内容就构成了当今概率论理论的基础。
帕斯卡是一个具有数学和哲学天赋的神童。
他受到哲学家兼赌徒舍瓦利埃·德梅瑞(ChevalierdeMere)的挑战,要他解决一个令许多数学家百思不得其解的谜题。
德梅瑞想知道如果两位玩牌者不得不在本局牌结束前离开牌桌,他们的赌注应该怎样划分。
帕斯卡针对德梅瑞的挑战找到了当时凭借自己的实力获取数学奇才称号的费马。
彼得·伯恩斯坦在他那篇题为“对抗上帝”的关于风险的优秀论文中写道:
“帕斯卡和费马在1654年针对德梅瑞的挑战而交换的信函开创了数学历史和概率论历史的一个新纪元。
”尽管俩人着手解决问题的方法有所不同(费马使用的是代数方法而帕斯卡转向几何的方法),但是他们建立了决定几种不同结果的概率论的体系。
的确,帕斯卡的数学三角形解决了许多问题,包括你最喜欢的棒球队在已输一场的情况下获得世界系列循环赛胜利的概率有多大的问题。
帕斯卡与费马的工作开辟了决策理论的先河。
决策理论是在对未来会发生的事情不肯定的情况下做出决策方案的过程。
伯恩斯坦写道:
“做出决策是风险管理的首要一步也是必要的
一步。
”尽管帕斯卡和费马都为发展概率论立下了汗马功劳,但另一位数学家托马斯·贝叶斯(ThomasBayes)所写的文章为将他俩的理论付诸于实践奠定了基础。
贝叶斯1701年出生于英国,比费马晚了整整100年,比帕斯卡晚了78年,他的一生并不辉煌。
作为一名皇家协会的会员,他生前在数学领域并未发表任何文章。
在他死后,他的论文“如何解决随机原理中某一问题的论述”发表了。
当时,人们没有对此引起重视。
然而,据彼得·伯恩斯坦说,贝叶斯的论述“是一篇极具创新思想的作品,它使贝叶斯在统计学家、经济学家和社会学家中占有不朽的地位。
”他为投资者使用概率论的数学理论铺平了道路。
贝叶斯定理教给我们一种逻辑分析方法,即为什么在众多可能性中只有某一种结果会发生。
从概念上讲这是一种简单的步骤。
我们首先基于所掌握的证据为每一种结果分配一个概率。
当更多的证据出现时,我们对原有的概率进行调整以反映新的信息。
贝叶斯定理为我们提供了不断更新我们原有假设的数学程序(这源于贝叶斯所称的先验信息分布)以便产生一个后序信息分布图。
换句话说,先验概率与新的信息相结合就产生了后序
概率,从而改变了我们相对的概率机遇。
这一切都是如何操作的呢?
假设你和你的朋友在某个下午正在玩你们最喜欢的掷骰子跳棋游戏,你们一边玩一边聊着,棋局已接近尾声。
这时你朋友说的什么话触动了你想打赌的愿望,但只是友好性地赌注。
在掷骰子跳棋游戏中,掷一次骰子直接获得6这一面的机会是1/6,即16%的概率。
但这时假设你朋友投了骰子,但很快用手将骰子盖住并偷偷看了一眼,她说:
“我可以告诉你,这是一个双数。
”有了这条信息,你赌赢的机会就变成了1/3,即33%的概率。
正当你在考虑是否改变赌注的时候,你的朋友又开玩笑地说:
“这个数不是4。
”有了这条信息你赌赢的机会再次改变,变成了1/2,即50%的概率。
在这种简单的关系中,你已经实施了贝叶斯的分析方法。
每一条新信息都会影响你原来的概率假设,这就是贝叶斯推理。
贝叶斯分析法试图将所有可得信息都融入推理或决策过程中从而对潜在本质情况进行判断。
学院使用贝叶斯定理帮助他们的学生研究决策。
在大学课堂里贝叶斯定理被广泛地称之为
决策三段论。
三段论中的每一分支都代表新的信息,这些信息反过来会改变决策中的力量对比关系。
查理·蒙格说:
“在哈佛商学院,将第1年的学生捆绑在一起的数学课程就是被称做决策三段论的课程。
他们所做的事情就是将高中所学的代数知识应用到现实问题中去。
学生非常喜欢这门课。
他们惊奇地发现高中代数在生活中发挥着功效。
”
对概率的主观判断
正如查理所指出的,基础代数在计算概率时非常有用。
但要把概率理论应用到实际投资当中去,还需要对数字计算的方法有更深刻的理解。
特别是要注意频数这一概念。
掷硬币猜中头像一面的概率为1/2,这意味着什么呢?
或者说掷骰子单数出现的概率为1/2,这又是什么意思呢?
如果一个盒子里装有70个绿色大理石球,30个蓝色大理石球,为什么蓝色大理石球被捡出的概率为3/10?
上面所有的例子在概率发生事件中均被称为频率分析,它是基于平均数的法则。
如果一件不确定事件被重复无数次,事件发生的频数就会
被反映在概率中。
例如,如果我们掷硬币10万次,预计出现的头像次数是5万次。
注意我没有使用它将等于5万次。
按无限量大的原理只有当这个行为被重复无数次时,它的相对频数与概率才趋向于相等。
从理论上讲,我们知道投掷硬币得到“头像”这一面的机会是1/2,但我们永远不能说两面出现的机会相等,除非硬币被掷无数次。
在我们解决任何不确定因素的问题时,很明显我们永远都不能给出绝对肯定的答案。
但是如果这个问题界定得当,我们应该能够列出所有可能发生的结果。
如果这个不确定事件被反
复重复,这些结果的频数应该能反映出不同结果的概率。
但是当我们考虑的是只发生一次的事件时,问题就来了。
我们怎样预测明天科学考试通过的概率?
或者是绿湾派克队重新夺取超级碗橄榄球冠军的概率?
我们面临的问题是,这些事件都是独一无二的。
我们可以回顾绿湾队比赛的整体配队
阵形,但我们还是没有准确的每个球员重复配合在相似条件下打球的一一对应资料。
我们可以回顾过去科学考试的情况从而了解他们考试的状况,但每次考试的情况是不同的,对他们的了解也是不连贯的。
没有重复性的试验就无法产生频数分布,那么我们怎么来计算概率呢?
我们没有办法计算,相反只能依赖对概率的主观判断。
而且我们经常这样做。
我们可以说派克队夺取大奖赛
收益与其他可行的投资回报相比较。
如果你以每股27美元的价格购买阿伯特公司,按照巴菲特的计算,潜在收益率为6.6%(1.8美元除以27美元)。
如果交易有望在6个月内实现,那么投资的年收益率就是13.2%。
巴菲特将以这个风险套购收益率与其他风险投资收益进行比较。
风险套购交易是具有亏损风险的。
“我们愿意在某些交易中亏本—比如风险套汇—但是当一系列类型相似但彼此独立的事件有亏本预期概率时,我们是不情愿进入这类交易的。
”巴
菲特坦言道:
“我们希望进入那些概率计算准确性高的交易。
”我们可以清楚地看出巴菲特对风险套购预测采用的主观概率法。
在风险套购中没有频数分布,每笔交易都是不同的,每
次情况都要求不同的预测判断。
既便如此,使用一些数学运算对风险套购交易的运作还是大有益处的。
对风险套购的决策过程与普通股票投资的决策过程并无异处。
为了说明普通股的决策过程,让我们来看看伯克谢尔·海舍威公司对两支经典普通股票的购入—韦尔斯·法戈(WellsFargo)和可口可乐。
投资于韦尔斯·法戈和可口可乐公司
1990年10月,伯克谢尔·海舍威公司购买了500万股韦尔斯·法戈公司的股票,共投资2.87亿美元,每股的平均价格为57.88美元。
这笔交易使伯克谢尔成为这家银行的最大股东,拥有已发行股票的10%。
公司的这一举动是颇具争议的。
在年初的时候,股价曾攀升至86美元,尔后随着投资者的大批抛盘,这家加利福尼亚银行的股票急骤下跌。
适时西海岸正处于严峻的经济衰退的痛苦之中,有些人预测由于银行的贷款资金都被住宅抵押所充斥,故一定困难重重。
韦尔斯·法戈是加利福尼亚地区银行中拥有最多商业不动产的银行,它被认为最不堪一击。
巴菲特对上述情况了如指掌,但是他对韦尔斯·法戈得出了不同的结论。
他是否比其他投资专业人士掌握更多的情况?
非也,他只是对局势的分析有所不同。
让我们与他共同回顾他的思维过程以便使我们对巴菲特如何应用概率论有一个清楚的例证。
首先,巴菲特对银行业的业务非常了解。
伯克谢尔曾在1969~1979年间拥有伊利诺伊国家银行和信托公司(IllinoisNationalBankandTrustCompany)。
在那段时期里,伊利诺伊国家银行的总裁吉尼·阿贝格(GeneAbegg)教会了巴菲特一个道理:
一家妥善经营的银行不仅可以使它的收益有所增长,而且还可以得到可观的资产回报。
更重要的一点是,巴菲特了解到一家银行的长期价值取决于它管理层的行动。
糟糕的管理者不但会使银行的运营成本增加而且还会贷错款。
而优秀的管理者总是在寻求降低成本的方式,而且他们很少做有风险的贷款。
韦尔斯·法戈银行当时的总裁是卡尔·理查特(CarlReichardt)。
他从1983年开始经营这家银行,成绩显著。
在他的领导下,银行的收益增长率以及资产回报率均高于平均值,而且他们的运营效率是全国最高的。
理查特还建立起坚实的放款业务。
巴菲特说:
“拥有一家银行绝非是无风险的。
”但是在他的脑中,拥有韦尔斯·法戈的风险主要围绕以下三方面的可能性。
下载“加利福尼亚的银行面临大地震的具体风险。
这一风险可能完全摧毁借款者进而摧毁贷款给他们的银行。
第二种风险是全局性的—发生企业萎缩或者金融恐慌的可能性,这种恐慌是如此之强烈以至于殃及所有高度借贷的机构,不论这家机构的经营如何也不能幸免。
目前市场的主要恐惧在于,由于建设过度,西海岸的不动产价值会下跌,并将这个损失转嫁给融资给他们的银行。
巴菲特说,目前上述场景哪一种都不可能被排除在外。
然而他得出结论说,基于最好的证据,发生地震和金融恐慌的概率都极低。
(巴菲特没有给出具体数据,但低概率可能是低于10%的概率。
)
然后他将注意力转向第三种场景的概率。
他分析认为,不动产价值的下跌不应对妥善经营的韦尔斯·法戈银行产生太大的问题。
巴菲特解释说:
“考虑一下具体数字吧。
韦尔斯·
法戈目前税前的年收益在扣除贷款损失的3亿美元之后,仍超过10亿美元。
如果银行全部480亿贷款的10%—不只是不动产贷款—遭受像1991年那样的重创,而且产生损失(包括前期利息损失),平均损失量为本金的30%,公司仍能保本不亏。
”然而要知道,银行放贷业务的10%遭受损失就等于企业遭受了严重的经济萎缩,这种情况已被巴菲特排在“低”概率一档之中了。
但是,即使这种事情真的发生了,银行仍能保本。
巴菲特继续说:
“如此糟糕的一个结局—我们认为发生的概率很低,似乎不可能—也不会使我们沮丧。
”在巴菲特脑中罗列出的这几种场景,哪一种对韦尔斯·法戈产生长久重大损失的概率都很低。
尽管如此,市场仍将韦尔斯的股价打压了50%。
在巴菲特的头脑中,购买韦尔斯·法戈的股票赚钱的机会是2∶1,相对犯错误的可能性只会减少不会增加。
尽管巴菲特对其概率判断没有给出具体数字,但这并不能减弱他思考过程的价值。
用概率来思考,不管是主观概率还是客观概率,都使你对所要购入的股票进行清醒和理智的思索。
巴菲特对韦尔斯·法戈的理性思考使得他能够采取行动并从中获利,而其他人的思维则欠清晰。
巴菲特说:
“请记住,如果你用概率权重来衡量你的收益,而用比较权重来衡量你的亏损,并由此相信你的收益大大超过你的亏损,那么你可能刻意地进行了一桩风险投资。
”
可口可乐股票的购入则是另一回事。
如果韦尔斯·法戈的购入让我们看到巴菲特是如何亮出各种场景并对他们逐一进行概率判断的,可口可乐交易则让我们看到,当他认为概率是百
分之百肯定时,他是如何做的。
在可口可乐实例中,我们看到巴菲特是如何实施他的指导原则之一的:
当成功的概率非常高时,押大赌注。
巴菲特在购入可口可乐股票时,并未使用贝叶斯分析法。
相反,他经常说可口可乐代表着几乎肯定的成功概率。
因为可口可乐有着100多年的投资业绩数据可查,这些数据构成了一幅频数分布图。
运用贝叶斯分析程序加上后序信息,巴菲特了解到以罗伯托·格佐艾塔(RobertoGoizueta)为首的管理层所做的事情与前面有所不同。
格佐艾塔正在卖掉营业业绩欠佳的企业,并将收入所得重新投向业绩良好的糖浆企业。
巴菲特知道可口可乐的财政收益将会好转。
不仅如此,格佐艾塔还在买回可口可乐的股票,从而进一步增加了企业的经济价值。
自1988年起巴菲特就注意到,市场上对可口可乐的定价比其实际的内在价值低了50%~70%。
与此同时,他对公司的信念从未改变过:
他坚信可口可乐股击败市场收益率的概率正在不断地上升、上升再上升。
那么巴菲特是怎么做的呢?
在1988~1998年间伯克谢尔·海舍威公司总共购买了可口可乐公司10亿美元的股票,占据了伯克谢尔证券投资总值的30%以上。
到1998年底这笔投资价值130亿美元。
凯利优化模式
每次踏入赌场,你成为赢家踏出赌场的概率都极低。
对此你不用感到惊讶,我们都知道庄家有最佳的机会。
但是有一种游戏,如果玩法正确可以给你合理的机会打败庄家—21点。
在一本全球畅销书《打败庄家:
21点游戏的获胜战略》(BeattheDealer:
AWinningStrategyfortheGameofTwenty-one)中,爱德华·桑波(AdwardO.Thorp),一位训练有素的数学家列举了智胜赌场的程序。
桑波的战略是基于一个很简单的概念。
当一副牌里有很多10、大于10的头像牌及A时,玩家—也就是你—就占有打败庄家的统计优势。
如果你给高分值牌分配-1,低分值牌分配+1,你很容易对所发出的牌进行跟踪;你只需保持在脑中记数,每出现一张牌,就增加一分或减去一分。
当你数的数转成正数时,你知道有更多的高分值牌即将出现。
聪明的玩家将他们的
最大赌注押在牌点数达到相对较高的数值上。
深藏于桑波书中的原理是对凯利赌博模式的引用。
而凯利赌博模式的灵感则源于克劳德·山奴(ClaudeShannon)—信息理论的创始人。
克劳德·山奴是40年代贝尔实验室的一位数学家。
他工作的多半时间花费在试图找到一种最理想的通过铜线来传输信息的方法,而此信息又不会受到不规则分子噪音的干扰。
1948年____在一篇题为“通信的数学原理”的文章中,他描述了他的发现。
文章给出了如何将最大量的信息通过铜制电线传输的数学公式,公式考虑到信息传输的成功概率。
几年后,另一位数学家凯利(J.L.Kelly)读了这篇文章,发现它的数学公式完全可以被用在赌博上。
这是人类了解成功概率的又一努力尝试。
1956年凯利发表了“对信息率的新理解”一文。
文中他指出,山奴的各种信息传送率与机会成功率实际上是一回事—都是概率问题—同样的公式可以用来优化二者。
凯利优化模式也可称为优化增长战略。
它的原理是如果你知道成功的概率,你就将你资金的一部分押上从而优化你的增长率。
它的公式可表达为:
2p-1=X你应押上的资金的百分比(X)等于2倍的获胜概率减去1。
例如,如果你打败庄家的概率为55%,你应该押上你资金的
10%来获取你赢局的最大增长。
如果打败庄家的概率为70%,你就押上40%的资金。
如果你知道获胜的机会为100%,凯利模式就会告诉你押上你赌资的100%。
凯利模式达到最优化有两个标准:
(1)用最短的时间达到获胜的水平;
(2)取得最大的财富增长。
例如两个21点玩家,每个都有1000美元的赌资并将玩24个小时。
第一位玩家受限制每手发牌只能下注1美元。
第二位玩家则可依照牌的有利与不利改变赌注。
如果第二位玩家使用凯利模式,每次下赌的比例都反映获胜的概率,那么在24小时结束时,第二位玩家有很大的可能性打败第一位玩家。
股市的情况比起21点来当然是更加风云变幻。
21点游戏仅有有限的牌数和有限的概率结果。
而股市则拥有成百种普通股,
更有成百万的投资者,它的结果也几乎是不尽其数。
使用凯利第6章证券投资中的数学问题模式就要不断地在投资决策过程中进行调整和计算。
然而凯利模式中的主要概念:
将投资规模与概率成功率通过数学挂钩,对集中投资者具有重大意义。
让我们还是借用上述两个赌家赌24小时这个例子。
这次不赌21点,他们改在股市上进行投资。
第一位投资者限制每次只
能投资他资金的1%,第二位投资者则允许根据其观察的成功概率来改变投资比例。
哪位投资者在固定的期限内更有可能取得最大程度的资金增长呢?
是这位明知每笔股票权重机会都不等但仍在每笔交易上都押1%的投资者呢,还是那位等待高概率机会的出现然后押大赌注的集中投资者呢?
巴菲特在分配伯克谢尔的投资资金时是否应用了凯利优化模式我们无据可查。
但是凯利的概念是一个理智的思维过程。
从我的角度看,它明白无误地反映出巴菲特的思维过程。
巴菲特曾敬告投资者要耐心等待,直到最佳机会出现,然后押大赌注。
在任何情况下我都发现凯利模式作为一个数学解释是非常有用的,它有助于人们更好地理解证券资金的分配过程。
我相信凯利模式对集中投资者是一种有魅力的工具。
但是只有那些使用得当,反应灵敏的人才会从中受益。
采用剀利模式是有风险的,所以了解它的三项制约不失为明智之举。
第一,任何投资者,不管是否使用凯利模式,都必须放眼进行长线投资。
即使21点的玩家已掌握了打败庄家的模式,成功也未必能在前几副牌中显现出来。
对投资也是同一道理。
有
多少次投资者已选对了投资的公司,但市场对选对的公司在最终奖励的时间上却显得不紧不慢,悠闲自得。
其次,对使用借贷投资一定要谨慎。
借贷股市投资的危险性(证券交易的顾客保证金账户)已被本·格雷厄姆和巴菲特大肆宣传过了。
如果你在顾客保证金账户上使用凯利模式,股市
的下跌可能迫使你放弃你的高概率赌注。
第三,在玩高概率游戏时的最大危险在于下赌过高的风险。
如果你判断某事件的成功概率为70%而实际上它的成功概率仅为55%,你冒着“赌徒灭顶之灾”的风险。
减小这种风险的方法是保守下注—将凯利模式中的赌注减半或部分使用。
这增加了你赌注的安全性而且提供了真实的心理舒适度。
例如,如果凯利模式告诉你用你资金的10%下注(表明成功概率为55%),你可以选择投资5%(凯利赌注减半模式)。
而凯利赌注百分比模式则为证券投资管理提供了安全边际。
这种投资比率的安全边际加上选股的安全边际一起为投资提供了双层保护。
由于押注过度的风险大大超过了保守下注的惩罚,所以对于投资者—特别是刚刚涉足集中投资战略的投资者—应该使用凯利赌注百分比模式。
不幸的是,减小你的赌注也减少了你潜在的收益。
由于在凯利模式中赌注与收益的关系呈抛物线状,故保守下注所受到的惩罚并不严厉。
在凯利赌注减半模式中,赌注减了50%,潜在的收益仅减少25%。
保险与投资一样
巴菲特说:
“保险与投资很相似。
如果你认为你每天都要投资,那你将会犯很多的错误。
”成功的投资或成功的承保“都要等待肥的流油的机会出现。
”沃伦·巴菲特进入保险业务的时间是1967年,即伯克谢尔·海舍威购入国立赔偿公司(NationalIndemnityCompany)
的那年。
从那以后,巴菲特先后购入了几家保险公司
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