人教版高一数学必修1各章知识点总结.docx
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高一数学必修1各章知识点总结
第一章集合与函数概念
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性如:
世界上最高的山
⑵元素的互异性如:
由HAPP丫的字母组成的集合
{H,A,P,Y}
⑶元素的无序性:
女口:
{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个
集合
3.集合的表示:
{…}女口:
{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:
A={我校的篮球队
员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:
列举法与描述法。
注意:
常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:
N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数
1)列举法:
{a,b,c……}
2)描述法:
将集合中的元素的公共属性描述出来,写在
大括号内表示集合的方法。
{xR|x-3>2},{x|x-3>2}
3)语言描述法:
例:
{不是直角三角形的三角形}
4)Venn图:
4、集合的分类:
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合例:
{x|x2=—5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系一子集
注意:
AB有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等”关系:
A=B(5>5,且5<5,则5=5)实例:
设A={x|x2-仁0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”
即:
①任何一个集合是它本身的子集。
AA
2真子集:
如果AB,且AB那就说集合A是集合B的
真子集,记作AB(或B°A)
3如果AB,BC,那么AC
4如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为①
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合
的真子集。
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
三、集合的运算
运算
类型
交集
并集
补集
疋
义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B',即AB=
由所有属于集合A或属于集合B的兀素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:
AB(读作‘A并B',即
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集
(或余集)
{x|xA,且xB}.
AB={x|xxB}).
A,或
记作CsA,即
CA={x|xS且x丹
韦
恩
CA工
图i
图2
图
示
性
AA=A
AA=A
(CuA)(CuB)
A①二①
A①=A
=Cu(AB)
AB=BA
AB=BA
(CcA)(CuB)
ABA
ABA
=Cu(AB)
质
ABB
ABB
A(CuA)=U
A(CuA)=①.
例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是()
A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自
身的实数
2.集合{a,b,c}的真子集共有个
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x>0},贝UM与N的关系是
4.设集合A=x1x2,B=xxa,若AB,则a的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得単
正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,二
2I
两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有卜
人。
1"
6.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合
M=.
7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+nT-19=0},若Bncm①,Anc=o,求m的值
二、函数的有关概念
1•函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A—B为从集合A到集合B的一个函数.记作:
y=f(x),x€A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x€A}叫做函数的值域.
1.定义域:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函
数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成
的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法:
①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关):
②定义域一致(两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2.值域:
先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3.函数图象知识归纳
(1)定义:
在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x
€A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x€A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.
(2)画法
A、描点法:
B、图象变换法
常用变换方法有三种
1)平移变换
2)伸缩变换
3)对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
AB为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f(对应关系):
A(原象)B(象)”
对于映射f:
A-B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象
是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象c
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:
复合函数
如果y=f(u)(u€M),u=g(x)(x€A),则
y=f[g(x)]=F(x)(x€A)称为f、g的复合函数。
二.函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量xi,X2,当xi 如果对于区间D上的任意两个自变量的值xi,X2,当xi 注意: 函数的单调性是函数的局部性质; (2)图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A)定义法: 1任取xi,X2€D,且xi 2作差f(xi)—f(x2); ◎变形(通常是因式分解和配方); 违定号(即判断差f(x1)—f(x2)的正负); ◎下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律: “同增异减” 注意: 函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(—x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. (2).奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(—x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: ◎1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ◎确定f(—x)与f(x)的关系; ◎3作出相应结论: 若f(—x)=f(x)或f(—x)—f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(—x)=—f(x)或f(—x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数. 注意: 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称, 若不对称则函数是非奇非偶函数•若对称, (1)再根据定 义判定; (2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来 判定;(3)利用定理,或借助函数的图象判定• 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1)凑配法 2)待定系数法 3)换元法 4)消参法 10•函数最大(小)值(定义见课本p36页) 1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小) 值 2利用图象求函数的最大(小)值 3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b, c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b, c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 例题: 1.求下列函数的定义域: ⑴y丄X_2X15⑵y1(x1)2 |x33¥x1 2.设函数f(x)的定义域为[0,1],则函数f(x2)的定义域为 3.若函数f(x1)的定义域为[2,3],则函数f(2x1)的定义域是 x2(x1) 4.函数f(x)x2(1x2),若f(x)3,贝Ux= 2x(x2) 5.求下列函数的值域: ⑴yx22x3(xR)⑵yx22x3x[1,2] (3)yx,1~2x(4)y.x24x5 6.已知函数f(x1)x24x,求函数f(x),f(2x1)的解析式 7.已知函数f(X)满足2f(x)f(x)3x4,贝Uf(x)=。 8.设钢是R上的奇函数,且当x[0,)时,f(x)x(13x),则当x(,0)时 f(x>= f(x)在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间: (1)yx22x3⑵y■■x22x3⑶ yx26x1 10.判断函数yx31的单调性并证明你的结论. 2 11.设函数f(x)判断它的奇偶性并且求证: f(丄)f(x)• 1xx 第二章基本初等函数 一、指数函数 (1)指数与指数幕的运算 1•根式的概念: 一般地,如果xna,那么x叫做a的 n次方根,其中n>1,且n€N*. 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作 n00。 当n是奇数 —a nan|a| 2•分数指数幕 正数的分数指数幕的意义,规定: rrrs (1) a•a a (a 0,r,s R); ⑵ (ar)s rsa (a 0,r,s R); (3) (ab)r rsaa (a 0,r,s R). (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念: 一般地,函数yax(a0,且a1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R 注意: 指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2、指数函数的图象和性质 值域y>0 值域y>0 在R上单调 在R上单调 递增 递减 非奇非偶函 非奇非偶函 数 数 函数图象都 函数图象都 过定点(0, 过定点(0, 1) 1) 注意: 禾I」用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上,f(x)ax(a0且a1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]; (2)若x0,则f(x)1;f(x)取遍所有正数当且仅当 xR; (3)对于指数函数f(x)ax(a0且a1),总有f(l)a; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念: 一般地,如果axN(a0,a1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作: xlogaN(a—底数,N—真数,logaN—对数式) 说明: 0注意底数的限制a0,且a1; 」oga_N_ ©axNlogaNx; 0注意对数的书写格式. 两个重要对数: 0常用对数: 以10为底的对数igN; 0自然对数: 以无理数e2.71828为底的对数的对数InN. 指数式与对数式的互化 幕值 真数 ab=NlogaN=b 底数 对数 指数 (二)对数的运算性质 注意: 换底公式 利用换底公式推导下面的结论 (二)对数函数 ②对数函数对底数的限制: (a0,且a1). 2、对数函数的性质: (3)幕函数 1、幕函数定义: 一般地,形如yx(aR)的函数称为幕函数,其中为常数. 2、幕函数性质归纳. (1)所有的幕函数在(0,+x)都有定义并且图象都过点(1,1); (2)0时,幕函数的图象通过原点,并且在区间 [0,)上是增函数.特别地,当1时,幕函数的图象 下凸;当01时,幕函数的图象上凸; (3)0时,幂函数的图象在区间(0,)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. 例题: 1.已知a>0,a~0,函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 (A)(B)(C)(D) 2.计算: ①Qg32 log2764 ②24log2 7 1 253 log527 2log52 0.064 741 ()°[ (2)3]*160.750.012= 8 3.函数y=log1(2x2-3x+1)的递减区间为 2 4.若函数f(x)logax(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍, 则a= 5.已知f(x)log^(a0且a1), (1)求f(x)的定义域 (2)求使f(x)0a1x 的x的取值 范围 第三章函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念: 对于函数yf(x)(xD),把使 f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。 2、函数零点的意义: 函数yf(x)的零点就是方程 f(x)0实数根,亦即函数yf(x)的图象与X轴交点的 横坐标。 即: 方程f(x)0有实数根函数y f(x)的图象与X 轴有交点函数yf(x)有零点. 3、函数零点的求法: ③(代数法)求方程f(x)0的实数根; ②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数yf(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数yaxbxc(a0). (〔)△>0,方程ax2bxc0有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点. (2)4=0,方程ax2bxc0有两相等实根,二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3)^<0,方程ax2bxc0无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点. 5.函数的模型 不符合实 符合实际 用函数模型解释实际问 检验
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