版高考文科数学大一轮复习人教A版11 集合及其运算 Word版含答案.docx

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§集合及其运算

最新考纲

考情考向分析

.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.

.能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.

.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

.在具体情境中，了解全集与空集的含义.

.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.

.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

.能使用韦恩（）图表达集合的基本关系及集合的基本运算.

集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩（）图，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度.

．集合与元素

（）集合中元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

（）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．

（）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法．

（）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

*（或＋）

.集合间的基本关系

关系

自然语言

符号语言

图

子集

集合中所有元素都在集合中（即若∈，则∈）

⊆（或⊇）

真子集

集合是集合的子集，且集合中至少有一个元素不在集合中

（或）

集合相等

集合，中的元素相同或集合，互为子集

＝

.集合的基本运算

运算

自然语言

符号语言

图

交集

由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合

∩＝{∈且∈}

并集

由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合

∪＝{∈或∈}

补集

由全集中不属于集合的所有元素组成的集合

∁＝{∈且∉}

知识拓展

．若有限集合中有个元素，则集合的子集个数为，真子集的个数为－.

．⊆⇔∩＝⇔∪＝.

．∩（∁）＝∅；∪（∁）＝；∁（∁）＝.

题组一思考辨析

．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（）任何一个集合都至少有两个子集．（×）

（）{＝＋}＝{＝＋}＝{（，）＝＋}．（×）

（）若{}＝{}，则＝.（×）

（）{≤}＝{≤}．（√）

（）对于任意两个集合，，关系（∩）⊆（∪）恒成立．（√）

（）若∩＝∩，则＝.（×）

题组二教材改编

．[例]已知＝{α°＜α＜°}，＝{是锐角}，＝{是钝角}，则∁（∪）＝.

答案{是直角}

．[组]已知集合＝{（，）＋＝}，＝{（，）＝}，则∩中元素的个数为．

答案

解析集合表示以（）为圆心，为半径的单位圆，集合表示直线＝，圆＋＝与直线＝相交于两点，，则∩中有两个元素．

题组三易错自纠

．已知集合＝{，}，＝{，}，∪＝，则等于（）

．或．或

．或．或或

答案

解析＝{，}，＝{，}，∪＝，故⊆，所以＝或＝，即＝或＝或＝，其中＝不符合题意，所以＝或＝，故选.

．已知集合＝{－－≤}，＝{<}，若⊆，则实数的取值范围是．

答案（，＋∞）

解析＝{－－≤}＝{－≤≤}，

∵⊆，＝{<}，∴>.

．若集合＝{∈－＋＝}中只有一个元素，则＝.

答案或

解析若＝，则＝，符合题意；

若≠，则由题意得Δ＝－＝，解得＝.

综上，的值为或.

题型一　集合的含义

．设集合＝{－}，＝{＋，＋}，∩＝{}，则实数＝.

答案

解析∵∈，又＋≥，∴＋＝，∴＝.

经检验，＝符合题意．

．若＝{}，＝{＝·，，∈，≠}，则集合中的元素个数是（）

．．．．

答案

解析＝{＝·，，∈，≠}＝{}．

思维升华（）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．

（）集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

题型二　集合的基本关系

典例（）设，是全集＝{}的子集，＝{}，则满足⊆的集合的个数是（）

．．．．

答案

解析∵{}⊆，＝{}，

∴满足条件的集合有{}，{}，{}，{}，共个．

（）已知集合＝{－＋<}，＝{<}，若⊆，则实数的取值范围是．

答案[，＋∞）

解析由－＋<，解得<<，

故＝{<<}．

又＝{<}，⊆，如图所示，

可得≥.

引申探究

本例（）中，若将集合改为{≥}，其他条件不变，则实数的取值范围是．

答案（－∞，]

解析＝{<<}，＝{≥}，⊆，如图所示，可得≤.

思维升华（）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

（）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图等来直观解决这类问题．

跟踪训练（）已知集合＝{∈＋－＝}，＝{∈－＝}，若⊆，则实数的值为（）

或－．－或

或－或．－或或

答案

解析由题意知，＝{，－}．

当＝时，＝∅，满足⊆；

当≠时，－＝的解为＝，

由⊆，可得＝－或＝，

∴＝－或＝.

综上可知，的值为－或或.

（）已知集合＝{－≤≤}，＝{＋<<－}，若⊆，则实数的取值范围是．

答案（－∞，]

解析当＝∅时，有＋≥－，则≤；

当≠∅时，若⊆，如图，

则

解得<≤.

综上，的取值范围是（－∞，]．

题型三　集合的基本运算

命题点集合的运算

典例（）（·全国Ⅰ）已知集合＝{<}，＝{<}，则（）

．∩＝{<}．∪＝

．∪＝{>}．∩＝∅

答案

解析∵＝{<}，∴＝{<}．

又＝{<}，∴∩＝{<}，

∪＝{<}．

（）（届珠海二中月考）已知集合＝{－>}，＝{－<<}，则（）

．∩＝∅．⊆

．⊆．∪＝

答案

解析∵＝{>或<}，∴∪＝.

命题点利用集合的运算求参数

典例（）设集合＝{－≤<}，＝{<}，若∩≠∅，则的取值范围是（）

．－<≤．>

．≥－．>－

答案

解析因为∩≠∅，所以集合，有公共元素，作出数轴，如图所示，易知>－.

（）集合＝{，}，＝{，}，若∪＝{}，则的值为（）

．．．．

答案

解析由题意可得{，}＝{}，∴＝.

（）设集合＝{，－}，＝{＋（＋）＋－＝，∈}．若∩＝，则实数的取值范围是．

答案（－∞，－]∪{}

解析因为＝{，－}，所以⊆分以下三种情况：

①当＝时，＝{，－}，由此可知，和－是方程＋（＋）＋－＝的两个根，由根与系数的关系，得

解得＝；

②当≠∅且时，＝{}或＝{－}，

并且Δ＝（＋）－（－）＝，

解得＝－，此时＝{}满足题意；

③当＝∅时，Δ＝（＋）－（－）<，

解得<－.

综上所述，所求实数的取值范围是（－∞，－]∪{}．

思维升华（）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

（）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．

跟踪训练（）（·天津）设集合＝{}，＝{}，＝{∈－≤≤}，则（∪）∩等于（）

．{}．{}

．{}．{∈－≤≤}

答案

解析∪＝{}．

又＝{∈－≤≤}，则（∪）∩＝{}．

（）已知集合＝{－－≤}，＝{－<<＋}，且∩＝，则实数的取值范围为（）

．[－）．[－]

．[，＋∞）．[－，＋∞）

答案

解析由－－≤，得（＋）（－）≤，

即－≤≤，所以＝{－≤≤}．

又∩＝，所以⊆.

①当＝∅时，有＋≤－，解得≥；

②当≠∅时，有

解得－≤<.

综上，的取值范围为[－，＋∞）．

题型四　集合的新定义问题

典例若集合＝{（，，，）≤<≤≤<≤≤<≤且，，，∈}，＝{（，，，）≤<≤≤<≤且，，，∈}，用（）表示集合中的元素个数，则（）＋（）等于（）

．．

．．

答案

解析在集合中，当＝时，＝＝＝，此时只有个元素；当＝时，，，∈{}，此时有××＝（个）元素；当＝时，，，∈{}，此时有××＝（个）元素；当＝时，，，∈{}，此时有××＝（个）元素，故（）＝＋＋＋＝.

在集合中，（，）的取值可能是（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），共种可能．同理，（，）也有种可能，故（）＝×＝，∴（）＋（）＝.

思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：

（）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．（）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．

跟踪训练定义一种新的集合运算△：

△＝{∈，且∉}．若集合＝{－＋<}，＝{≤≤}，则按运算△，△等于（）

．{<≤}．{≤≤}

．{<<}．{≤≤}

答案

解析＝{<<}，＝{≤≤}，由题意知，△＝{∈，且∉}＝{≤≤}．

．已知集合＝{}，＝{}，则（）

．＝．∩＝∅

．．

答案

．（·浙江）已知集合＝{－＜＜}，＝{＜＜}，则∪等于（）

．（－）．（）

．（－）．（）

答案

解析∵＝{－＜＜}，＝{＜＜}，

∴∪＝{－＜＜}．

．（·四川）设集合＝{－≤≤}，为整数集，则集合∩中元素的个数是（）

．．

．．

答案

解析由题意可知，∩＝{－，－}，则∩中的元素的个数为.故选.

．（·吉林大学附中模拟）若集合＝{∈＋－>}，＝{<}，则∩等于（）

．∅．{}

．[）．{}

答案

解析由中不等式变形，得（－）（＋）<，∈，解得－<<，∈，即＝{}，∵＝{<}，∴∩＝{}．

．（·潍坊调研）已知全集＝，集合＝{}，＝{∈≥}，则图中阴影部分所表示的集合为（）

．{}．{}

．{}．{}

答案

解析因为∩＝{}，而图中阴影部分为集合去掉∩部分，所以阴影部分所表示的集合为{}．

．已知集合＝{}，则集合＝{∈，且∉}的子集的个数为（）

．．

．．

答案

解析由题意得＝{}，∴集合有个子集．

．（·全国Ⅱ）设集合＝{}，＝{－＋＝}．若∩＝{}，则等于（）

．{，－}．{}

．{}．{}

答案

解析∵∩＝{}，∴∈.

∴－＋＝，即＝.

∴＝{－＋＝}＝{}．故选.

．已知集合＝{－<<}，＝{≤}，若⊆，则的取值范围为（）

．（－∞，]．[，＋∞）

．（－∞，）．（，＋∞）

答案

解析用数轴表示集合，（如图），

由⊆，得≥.

．已知集合＝{－≥}，＝{＜≤}，则（∁）∩＝.

答案（）

解析∵＝{≥或≤}，∁＝{＜＜}，

∴（∁）∩＝{＜＜}．

．若{，－－}∩{，－}＝{－}，则＝.

答案

解析由集合中元素的互异性，

可得所以＝.

．（·衡水模拟）若集合＝{＝}，＝{＝}，则集合∩＝.

答案[，＋∞）

解析集合＝{＝}＝{∈}＝，

＝{＝}＝{≥}，

则集合∩＝{≥}＝[，＋∞）．

．已知集合＝{＝（－）}，＝{－<，>}，若⊆，则实数的取值范围是．

答案[，＋∞）

解析由题意知，＝{＝（－）}＝{－>}＝（），＝{－<，>}＝（，）．由⊆，画出数轴，如图所示，得≥.

．（·安徽黄山二模）已知集合＝{－，－}，∁＝，则∩等于（）

．{－}．{－}

．{－，－}．{}

答案

解析∵集合＝{－，－}，

∁＝＝{<－或≥}，

∴＝{－≤<}，则∩＝{－，－}．

．已知集合＝{∈＋<}，集合＝{∈（－）（－）<}，且∩＝（－，），则＝，＝.

答案－

解析＝{∈＋<}＝{∈－<<}，

由∩＝（－，），可知<，

则＝{<<}，画出数轴，

可得＝－，＝.

．设是整数集的一个非空子集，对于∈，如果－∉，且＋∉，那么称是的一个“孤立元”．给定＝{}，由的个