平行四边形的判定:
1:
定义法:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2:
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4:
对角线相互平分的四边形是平行四边形
14.平行四边形的判定
(一)定义法:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
例题1:
如图,四边形ABCD是平行四边形,连接AC.
过点A作AE⊥BC于点E;过点C作CF∥AE,交AD于点F;
求证:
四边形AECF为平行四边形
练习:
1、已知:
如图,△ABC是等边三角形,D、E分别是BA、CA的延长线上的点,且AD=AE,连接ED并延长到F,使得EF=EC,连接AF、CF、BE.
(1)求证:
四边形BCFD是平行四边形;
证明:
(1)∵△ABC为等边三角形,且AE=AD,
∴由题可知∠AED=∠ADE=∠EAD=60°
∴EF∥BC,
又∵EC=EF,
∴△ECF为等边三角形,即∠EFC=∠EDB=60°,
∴CF∥BD
∴四边形BCFD为平行四边形.
2、如图:
平行四边形ABCD中,M、N分别是AB、CD的中点,AN与DM相交于点P,BN与CM相交于点Q。
试说明PQ与MN互相平分。
3、如图,在四边形ABCD中,AH、CG、BE、FD分别是∠A、∠C、∠B、∠D的角平分线,且BE∥FD,AH∥CG,证明四边形ABCD为平行四边形.
15.平行四边形的判定
(二):
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
例题1:
如图,在ABCD中,延长CD到E,使DE=CD,连接BE交AD于点F,交
AC于点G。
求证:
AF=DF
【答案】解:
(1)证明:
如图1,连接BD、AE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD。
∵DE=CD,∴AB∥DE,AB=DE。
∴四边形ABDE是平行四边形。
∴AF=DF。
练习:
1、如图,已知平行四边形ABCD,过A作AM⊥BC于M,交BD于E,过C作CN⊥AD于N,交BD于F,连结AF、CE.
(1)求证:
四边形AECF为平行四边形;
【答案】
(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形(已知),
∴BC∥AD(平行四边形的对边相互平行)。
又∵AM丄BC(已知),∴AM⊥AD。
∵CN丄AD(已知),∴AM∥CN。
∴AE∥CF。
又由平行得∠ADE=∠CBD,又AD=BC(平行四边形的对边相等)。
在△ADE和△CBF中,∠DAE=∠BCF=90,AD=CB,∠ADE=∠FBC,
∴△ADE≌△CBF(ASA),∴AE=CF(全等三角形的对应边相等)。
∴四边形AECF为平行四边形(对边平行且相等的四边形是平行四边形)。
2、如图:
在
ABCD中,
分别是四条边上的点,且
试说明:
与
相互平分.
例题2:
如图,△ABC和△ADE都是等边三角形,点D在BC边上,AB边上有一点F,且BF=DC,连接EF、EB.
(1)求证:
△ABE≌△ACD;
(2)求证:
四边形EFCD是平行四边形
练习:
1、如图1,在△OAB中,∠OAB=
90°,∠AOB=30°,OB=8.以OB为一边,在△OAB外作等边三角形OBC,D是OB的中点,连接AD并延长交OC于E.
(1)求点B的坐标.
(2
)求证:
四边形ABCE是平行四边形.
(3)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.
【解析】
(1)∵∠AOB=30°,OB=8,
∴AB=4,OA
=4
∴B(4
4).
(2)∵△OBC是等边三角形,∴OC=OB=8.
∵D点为OB的中点,∴OD=4.
又∵AD是Rt△OAB斜边的中线,
∴AD=
OB=OD,
∴∠ODA=180°-2×30°=120°,∴∠EDO=60°.
又∠EOD=60°,∴△OED为等边三角形,
∴OE=4,∴E(0,4),
∴CE=4,CE=AB.又∵CE∥AB,
∴四边形ABCE是平行四边形.
(3)∵GA=GC,∴GA2=GC2.
即OG2+OA2=(OC-OG)2,OG2+(4
)2=(8-OG)2,∴OG=1.
16.平行四边形的判定(三):
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
例题1:
如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B、C,分别以A、C为圆心,BC、AB长为半径画弧,两弧交于点D,分别连接AB、AD、CD,则四边形ABCD一定是【】
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形
练习:
1、如图,点A、B、C是坐标平面内不在同一直线上的三点,画出以A、B、C三点为顶点的平行四边形.
.
例题2:
如图所示,试证明:
四边形PONM是平行四边形.
练习:
1、在
ABCD中,分别以AD,BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF,连接BE,DF.
求证:
四边形BEDF是平行四边形.
2、四边形的四条边长分别是a、b、c、d,其
中a、c为对边,且满足
,则这个四边形一定是()
A.平行四边形B.两组对角分别相等的四边形
C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形
3、等边△ABC中,点D在BC上,点E在AB上,且CD=BE,以AD为边作等边△ADF,如图.求证:
四边形CDFE是平行四边形.
4、如图所示,以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形△ABD、△BCE、△ACF,猜想:
四边形ADEF是什么四边形,试证明你的结论.
证明:
四边形ADEF是平行四边形.
连接ED、EF,
∵△ABD、△BCE、△ACF分别是等边三角形,
∴AB=BD,BC=BE,∠DBA=∠EBC=60°.
∴∠DBE=∠ABC.
∴△ABC≌△DBE.
同理可证△ABC≌△FEC,
∴AB=EF,AC=DE.
∵AB=AD,AC=AF,
∴AD=EF,DE=AF.
∴四边形ADEF是平行四边形
17.平行四边形的判定(四):
对角线相互平分的四边形是平行四边形
例题1:
已知A(2,3)B(-2,5),A、B点关于原点的对称点分别为C、D,依次连接A、B、C、D点,则四边形ABCD是什么四边形?
例题2、如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线BD,过A、C两点分别作
于E点,
于F点,求证:
四边形AECF是平行四边形
练习:
1、如图是某市一公园的路面示意图,其中,ABCD是平行四边形,BE
AC,DF
AC,E、F是垂足,G、H分别是BC、AD的中点,连接EG、GF、FH,HE为公园中小路,问小明从B地经E地,H地到F地,与小强从D地经F地,G地到E地,谁的路程远?
2、如图所示,在
ABCD中,E、F是对角线AC上两点,且AF
CE,求证:
四边形BEDF是平行四边形.
3、如图,在
ABCD中,点M、N是对角线AC上的点,且AM
CN,DE
BF,求证:
四边形MFNE是平行四边形
18.坐标平行四边形
知识点总结:
若A、B、C为已知点,则求一点D与他们构成平行四边形,则有三个点
、
、
,则有
=A+B-C
=A+C-B
=B+C-A(按照中点坐标公式和对角线相互平分性质)
例题1、已知点A(﹣1,0),B(2,﹣1),D(0,1).请在直角坐标系中找一点C与A、B、C、D四点构成平行四边形,则点C的坐标为 ______________________.
练习:
1、若以A(-0.5,0),B(2,0),C(0,1)三点为顶点要画平行四边形,则第
四个顶点不可能在【】
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2、已知点D与点A(8,0),B(0,6),C(a,﹣a)是一平行四边形的四个顶点,则CD长的最小值为 .
例题2、如图,在平面直角坐标系中,已知Rt△AOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上,并且OA、OB的长分别是方程
的两根(OA<0B),动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动;同时,动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q运动的时间为t秒.
(1)求A、B两点的坐标。
(2)当t=2时,在坐标平面内,是否存在点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形若存在,请直接写出M点的坐标;若不存在,请说明理由
练习:
1、如图
,四边形ABCD沿直线EF折叠,点A落在BC边上的G处,E、F分别在AD、AB上,且AF=2.
(1)求G点坐标;
(2)求直线EF解析式;(3)点N在x轴上,直线EF上是否存在点M,使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出M点的坐标;若不存在,请说明理由
19.动点平行四边形
例题1:
在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6cm,P、Q分别从A、C同时出发,P以1cm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C出发向B运动,几秒后四边形ABQP是平行四边
形?
练习:
1、如图,在△ABC中,AB=AC,射线AM∥BC,点P从点A出发沿射线AM运动,同时点Q从点B出发沿射线BC运动,设运动时间为t(s).
(1)连接PQ、AQ、PC,当PQ经过AC的中点D时,求证:
四边形AQCP是平行四边形;
(2)若BC=6cm,点P速度为1cm/s,点Q的速度为4cm/s,填空:
①当t为_______s时,以A、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形;
(1)证明:
∵D为AC中点,
∴AD=CD,
∵AM∥BC,
∴∠PAC=∠ACB,
在△ADP和△CDQ中,
∠PAD=∠DCQ
AD=CD
∠ADP=∠CDQ
,
∴△ADP≌△CDQ(ASA),
∴PD=DQ,
又∵AD=CD,
∴四边形AQCP是平行四边形;
(2)①当Q在线段BC上,AP=QC时,以A、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形,
由题意得:
t=6-4t,
解得:
t=1.2,
当Q在C的右边时,AP=QC时,以A、Q、C、P为顶点的四边形是平行四边形,
由题意得:
t=4t-6,
解得:
t=2,
故答案为:
1.2或2;
2、如图,∠ABM为直角,点C为线段BA的中点,点D是射线BM上的一个动点(不与点B重合),连接AD,作BE⊥AD,垂足为E,连接CE,过点E作EF⊥CE,交BD于F.
(1)求证:
BF=FD;
(2)点D在运动过程中能否使得四边形ACFE为平行四边形?
如不能,请说明理由;如能,求出此时∠A的度数.
解:
(1)在Rt△AEB中,∵AC=BC,
∴
∴CB=CE,
∴∠CEB=∠CBE.
∵∠CEF=∠CBF=90°,
∴∠BEF=∠EBF,
∴EF=BF.
∵∠BEF+∠FED=90°,∠EBD+∠EDB=90°,
∴∠FED=∠EDF,
∵EF=FD.
∴BF=FD.
(2)能.理由如下:
若四边形ACFE为平行四边形,则AC∥EF,AC=EF,
∴BC=BF,
∴BA=BD,∠A=45°.
∴当∠A=45°时四边形ACFE为平行四边形.
3、将一副三角尺如图拼接:
含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合.已知AB=2
,P是AC上的一个动点.
(1)当点P运动到∠ABC的平分线上时,连接DP,求DP的长;
(2)当点P在运动过程中出现PD=BC时,求此时∠PDA的度数;
(3)当点P运动到什么位置时,以D,P,B,Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上?
求出此时□DPBQ的面积.
4、直线
与坐标轴分别交与点A、B两点,点P、Q同时从O点出发,同时到达A点,运动停止。
点Q沿线段OA运动,速度为每秒1个单位长度,点P沿O-B-A运动。
(1)直接写出A、B两点的坐标;
(2)设点Q的运动时间为t秒,△OPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式。
(3
)当
时,求出点P的坐标,并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标。
20.性质和判定综合
例题1、如图E、F是
四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.
求证:
(1)⊿AFD≌⊿CEB.
(2)四边形ABCD是平行四边形.
解:
(1)因为DF∥BE,所以∠AFD=∠CEB.又因为AF=CE,DF=BE,
所以△AFD≌⊿CEB.
(2)由
(1)△AFD≌⊿CEB知AD=BC,∠DAF=∠BCE,所以AD∥BC,
所以四边形ABCD是平行四边形.
例题2:
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中点,DE⊥BC,CE//AD,若AC=2,CE=4,则四边形ACEB的周长为▲。
例题3、如图,点D是△ABC的边AB的延长线上一点,点F是边BC上的一个动点(不与点B重合).以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF,又APBE(点P、E在直线AB的同侧),如果
,那么△PBC的面积与△ABC面积之比为【】
A.
B.
C.
D.
【答案】D。
【考点】平行四边形的判定和性质。
【分析】过点P作PH∥BC交AB于H,连接CH,PF,PE。
∵APBE,∴四边形APEB是平行四边形。
∴PEAB。
,
∵四边形BDEF是平行四边形,∴EFBD。
∴EF∥AB。
∴P,E,F共线。
设BD=a,
∵
,∴PE=AB=4a。
∴PF
=PE﹣EF=3a。
∵PH∥BC,∴S△HBC=S△PBC。
∵PF∥AB,∴四边形BFPH是平行四边形。
∴BH=PF=3a。
∵S△HBC:
S△ABC=BH:
AB=3a:
4a=3:
4,∴S△PBC:
S△ABC=3:
4。
故选D。
练习:
1、如图,
是等边三角形,P
是三角形内任一点,
,若
周长为12,求PD+PE+PF的值.
2、图3
是某城EC⊥BC,BA∥DE,BD∥AE,EF=FC.甲、乙两人同时从B站乘车到F站,甲乘1市部分街道示意图,图中AF∥BC,路车,路线是B→A→E→F,乙乘2路车,路
线是B→D→C→F.假设两车速度相同,途中耽误时间相同,那么谁先到达F点,请说明理由.
3、已知:
如图,四边形ABCD是平行四边形,DE//AC,交BC的延长线于点E,EF⊥AB于点F,
求证:
AD=CF。
4、如图,已知在□ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,BE=DF,点G、H分别在BA和DC的延长线上,且AG=CH,连接GE、EH、HF、FG。
求证:
四边形GEHF是平行四边形。
5、已知,如图,在
ABCD中,延长DA到点E,延长BC到点F,使得AE=CF,连接EF,分别交AB,CD于点M,N,连接DM,BN.
(1)求证:
△AEM≌△CFN;
(2)求证:
四边形BMDN是平行四边形.
【答案】证明:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AD∥BC。
∴∠E=∠F,∠DAB=∠BCD。
∴∠EAM=∠FCN。
又∵AE=CF∴△AEM≌△CFN(ASA)。
(2)∵由
(1)△AEM≌△CFN,∴AM=CN。
又∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB
CD。
∴BM
DN。
∴四边形BMDN是平行四边形。
【考点】平行四边形的判定和性质,平行的性质,全等三角形的判定和性质。
6、如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,在AB的延长线上截取BE=AB,BF=BD,连接CE,DF,相交于点M,求证:
CD=CM.
7、如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E是BC边上的点,BE=1,∠AEP=90°,且EP交正方形外角的平分线CP于点P,交边CD于点F,
(1)
的值为 ?
;
(2)求证:
AE=EP;
(3)在AB边上是否存在点M,使得四边形DMEP是平行四边形?
若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.
(1)解:
∵四边形ABCD是
正方形,
∴∠B=∠D,
∵∠AEP=90°,
∴∠BAE=∠FEC,
在Rt△ABE中,AE=
=
,
∵sin∠BAE=
=sin∠FEC=
,
∴
=
,
(2)证明:
在BA边上截取BK=NE,连接KE,
∵∠B=90°,BK=BE,
∴∠BKE=45°,
∴∠AKE=135°,
∵CP平分外角,
∴∠DCP=45°,
∴∠ECP=135°,
∴∠AKE=∠ECP,
∵AB=CB,BK=BE,
∴AB﹣BK=BC﹣BE,
即:
AK=EC,
易得∠KAE=∠CEP,
∵在△AKE和△ECP中,
,
∴△AKE≌△ECP(ASA),
∴AE=EP;
(3)答:
存在.
证明:
作DM⊥AE于AB交于点M,
则有:
DM∥EP,连接ME、DP,
∵在△ADM与△BAE中,
,
∴△ADM≌△BAE(AAS),
∴MD=AE,
∵AE=EP,
∴MD=EP,
∴MD
EP,
∴四边形DMEP为平行四边形.