人教版八年级下第十七章《勾股定理》单元培优练习题含答案.docx
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人教版八年级下第十七章《勾股定理》单元培优练习题含答案
《勾股定理》单元培优练习题
一.选择题
1.下列命题中,是假命题的是( )
A.有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形
B.在直角三角形中,斜边上的高等于斜边的一半
C.在直角三角形中,最大边的平方等于其他两边的平方和
D.三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等
2.下列各组数中,能构成直角三角形的是( )
A.4,5,6B.1,1,C.6,8,11D.5,12,23
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,CD⊥AB于D,则CD的长是( )
A.6B.C.D.
4.有一个三角形两边长为4和5,要使三角形为直角三角形,则第三边长为( )
A.3B.C.3或D.以上都不对
5.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,此图是由四个全等的直角三角形拼接而成,其中AE=5,BE=12,则EF的长是( )
A.7B.8C.7D.7
6.在下列各组数中,是勾股数的是( )
A.1、2、3B.2、3、4C.3、4、5D.4、5、6
7.在同一平面上把三边BC=3,AC=4,AB=5的三角形沿最长边AB翻折后得到△ABC′,则CC′的长等于( )
A.B.C.D.
8.如图,△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为( )
A.B.C.D.
9.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )
A.9B.6C.4D.3
10.从电线杆离地面8米处拉一根长为10m的缆绳,这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有( )m.
A.2B.4C.6D.8
11.如图,某同学在做物理实验时,将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中,已知烧杯高8cm,玻璃棒被水淹没部分长10cm,这只烧杯的直径约是( )
A.9cmB.8cmC.7cmD.6cm
12.若△ABC的三边a、b、c满足(a﹣b)2+|a2+b2﹣c2|=0,则△ABC是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
二.填空题
13.直角三角形两条边的长度分别为3cm,4cm,那么第三条边的长度是 cm.
14.若△ABC得三边a,b,c满足(a﹣b)(a2+b2﹣c2)=0,则△ABC的形状为 .
15.已知a,b是互质的正整数,且a+b,3a,a+4b恰为一直角三角形的三条边长,则a+b的值等于
16.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,点D为AC的中点,点E在边BC上,且ED⊥BD,则△CDE的面积是 .
17.将勾股数3,4,5扩大2倍,3倍,4倍,…,可以得到勾股数6,8,10;9,12,15;12,16,20;…,则我们把3,4,5这样的勾股数称为基本勾股数,请你也写出三组基本勾股数 , , .
18.将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起,若AB=20cm,则阴影部分的面积是 cm2.
19.三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2﹣c2,则此三角形的形状是 三角形.
20.若3,4,a和5,b,13是两组勾股数,则a+b的值是 .
21.如图,小正方形边长为1,则△ABC中AC边上的高等于 .
22.如图,四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD,中间阴影部分是一个小正方形EFGH,这样就组成一个“赵爽弦图”.若AB=5,AE=4,则正方形EFGH的面积为 .
三.解答题
23.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,AB=BC+1,求Rt△ABC的面积.
24.如图,在△ABD中,∠D=90°,C是BD上一点,已知BC=9,AB=17,AC=10,求AD的长.
25.操作:
剪若干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a、b、c(如图①),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图②③的形状,图②中的两个小正方形的面积S2、S3与图③中小正方形的面积S1有什么关系?
你能得到a、b、c之间有什么关系?
26.观察下表
列 举
猜 想
3、4、5
32=4+5
5、12、13
52=12+13
7、24、25
72=24+25
…
…
13、b、c
132=b+c
请你结合该表格及相关知识,求出b,c的值,并验证13,b,c是否是勾股数?
27.如图
(1),是两个全等的直角三角形(直角边分别为a,b,斜边为c).
(1)用这样的两个三角形构造成如图
(2)的图形,利用这个图形,证明:
a2+b2=c2;
(2)用这样的两个三角形可以拼出多种四边形,画出周长最大的四边形;当a=2,b=4时,求这个四边形的周长.
参考答案
一.选择题
1.解:
A、等腰三角形底角相等,若底角为60°,则顶角为180°﹣60°﹣60°=60°,若顶角为60°,则底角为=60°,所以有一个角为60°的等腰三角形即为等边三角形,故A选项正确;
B、直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半,只有在等腰直角三角形中斜边的高与斜边的中线才会重合,故B选项错误;
C、在直角三角形中,最大的边为斜边,根据勾股定理可知斜边长的平方的等于两直角边长平方的和,故C选项正确;
D、过三角形角平分线的交点作各边的垂线,则三角形分成3对小三角形,其中各顶点所在的两个直角三角形全等,即过角平分线作的高线相等,故D选项正确;
即B选项中命题为假命题,
故选:
B.
2.解:
A、∵42+52≠62,∴不能构成直角三角形,故A错误;
B、∵12+12=,∴能构成直角三角形,故B正确;
C、∵62+82≠112,∴不能构成直角三角形,故C错误;
D、∵52+122≠232,∴不能构成直角三角形,故D错误.
故选:
B.
3.解:
∵∠ACB=90°,AC=8,AB=10,
∴BC==6,
△ABC的面积=×AB×CD=×AC×BC,即×10×CD=×8×6,
解得,CD=,
故选:
C.
4.解:
当长为4和5的两边都是直角边时,斜边是:
=;
当长是5的边是斜边时,第三边是:
=3.
第三边长是:
或3.
故选:
C.
5.解:
∵AE=5,BE=12,即12和5为两条直角边长时,
小正方形的边长=12﹣5=7,
∴EF=;
故选:
C.
6.解:
A、12+22=5≠32,不是勾股数,故本选项不符合题意.
B、22+32=13≠42,不是勾股数,故本选项不符合题意.
C、32+42=52,是勾股数,故本选项符合题意.
D、42+52=41≠62,不是勾股数,故本选项不符合题意.
故选:
C.
7.解:
如图所示,
连接CC′,根据对称的性质可知CC′⊥AB,且CC′=2CE,
∵AC×BC=AB×CE,
∴CE=,
∴CC′=2×CE=.
故选:
D.
8.解:
如图所示:
S△ABC=×BC×AE=×BD×AC,
∵AE=4,AC==5,BC=4
即×4×4=×5×BD,
解得:
BD=.
故选:
C.
9.解:
由题意可知:
中间小正方形的边长为:
a﹣b,
∵每一个直角三角形的面积为:
ab=×8=4,
∴4×ab+(a﹣b)2=25,
∴(a﹣b)2=25﹣16=9,
∴a﹣b=3,
故选:
D.
10.解:
由题意得,在Rt△ABC中,AC=8,AB=10,所以BC==6.
故选:
C.
11.解:
由题意,可得这只烧杯的直径是:
=6(cm).
故选:
D.
12.解:
∵(a﹣b)2+|a2+b2﹣c2|=0,
∴a﹣b=0,a2+b2﹣c2=0,
解得:
a=b,a2+b2=c2,
∴△ABC的形状为等腰直角三角形;
故选:
C.
二.填空题(共10小题)
13.解:
当这个直角三角形的两直角边分别为3cm,4cm时,
则该三角形的斜边的长为:
=5(cm).
当这个直角三角形的一条直角边为3cm,斜边为4cm时,
则该三角形的另一条直角边的长为:
=(cm).
故答案为:
5或.
14.解:
∵(a﹣b)(a2+b2﹣c2)=0,
∴a=b或a2+b2=c2.
当只有a=b成立时,是等腰三角形.
当只有第二个条件成立时:
是直角三角形.
当两个条件都成立时:
是等腰直角三角形.
15.解:
在直角三角形中,
(1)若a+4b为斜边,则(a+4b)2=(a+b)2+9a2
∴9a2﹣6ab﹣15b2=0,(a+b)(3a﹣5b)=0
∵a+b≠0,且a,b互质,
∴a=5,b=3.
三条边长分别为8,15,17,a+b=8.
(2)若3a为斜边,则9a2=(a+b)2+(a+4b)2,
∴7a2﹣10ab﹣17b2=0,
∴(a+b)(7a﹣17b)=0
.∵a+b≠0,
∴7a=17b,a,b互质,
∴a=17,b=7.三条边长分别为24,45,51,a+b=24.综上得a+b=8.或a+b=24.
16.解:
点D为AC的中点
故AD=DC=AC=2,
S△ABD=S△BDC=S△ABC=12,
由勾股定理得BC==4,
过D点作DF垂直于BC于F点,
DF===,
BD2=AD2+AB2=12+48=60,
BD=2,
由勾股定理得BF===3,
由射影定理得BD2=BF•BE,
∴BE===
CE=BC﹣BE=4﹣=,
S△CDE=×CE×DF=××=2.
故答案为:
2.
17.解:
符合a2+b2=c2即可,例如5,12,13;8,15,17;9,40,41.(答案不唯一)
18.解:
∵∠B=30°,∠ACB=90°,AB=20cm,
∴AC=10cm.
∵∠AED=∠ACB=90°,
∴BC∥ED,
∴∠AFC=∠ADE=45°,
∴AC=CF=10cm.
故S△ACF=×10×10=50(cm2).
故答案为50.
19.解:
∵2ab=(a+b)2﹣c2,
∴2ab=a2+2ab+b2﹣c2,
∴a2+b2=c2,
∵三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2﹣c2,
∴此三角形是直角三角形,
故答案为:
直角.
20.解:
∵3,4,a和5,b,13是两组勾股数,
∴a=5,b=12,
∴a+b=17,
故答案为:
17.
21.解:
过B作BG⊥AC,交AC于点G,
在Rt△ACF中,AF=2,CF=1,
根据勾股定理得:
AC==,
∵S△ABC=S正方形AFED﹣S△BCE﹣S△ABD﹣S△ACF=4﹣×1×1﹣2××2×1=,
S△ABC=AC•BG,
∴×BG=,
则BG=.
故答案为:
22.解:
直角三角形直角边的较短边为=3,
正方形EFGH的面积=5×5﹣4×3÷2×4=25﹣24=1.
故答案为:
1.
三.解答题(共5小题)
23.解:
如图所示:
设AB=x,则BC=x﹣1,
故在Rt△ACB中,
AB2=AC2+BC2,
故x2=52+(x﹣1)2,
解得;x=13,
即AB=13.
∴BC=12,
∴S△ABC=•AC•BC=×5×12=30.
24.解:
设CD=x,则BD=BC+CD=9+x.
在△ACD中,∵∠D=90°,
∴AD2=AC2﹣CD2,
在△ABD中,∵∠D=90°,
∴AD2=AB2﹣BD2,
∴AC2﹣CD2=AB2﹣BD2,
即102﹣x2=172﹣(9+x)2,
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- 勾股定理 人教版八 年级 下第 十七 单元 练习题 答案