最新几类特殊非齐次线性微分方程的特殊解44.docx
- 文档编号:11145277
- 上传时间:2023-02-25
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:28.28KB
最新几类特殊非齐次线性微分方程的特殊解44.docx
《最新几类特殊非齐次线性微分方程的特殊解44.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《最新几类特殊非齐次线性微分方程的特殊解44.docx(21页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
最新几类特殊非齐次线性微分方程的特殊解44
几类特殊非齐次线性微分方程的特殊解44
第一章引言………………………………………………………………………2
第二章一阶非齐次线性微分方程………………………………………………3
第三章n阶常系数齐次线性微分方程…………………………………………5
第四章n阶常系数非齐次线性微分方程………………………………………7
1.常数变易法………………………………………………………………………7
2.待定系数法………………………………………………………………………9
3.微分算子法………………………………………………………………………13
4.拉普拉斯变换法…………………………………………………………………18
参考文献……………………………………………………………………………21
致谢…………………………………………………………………………………21
几类特殊非齐次线性微分方程的特殊解法
周园园
数学与信息学院数学与应用数学专业2004级指导教师:
李中平
摘要:
本文主要阐述了求解常系数非齐次线性微分方程的四种方法:
常数变易法、待定系数法、微分算子法、拉普拉斯变换法。
常数变易法是求解微分方程的一种较为完善的方法,在其发展中起着重要的作用而其也被广泛的应用到了动力系统。
当«SkipRecordIf...»具有某些特殊形状,可用待定系数法和拉普拉斯变换法来求解。
它们的特点是不需要通过积分而用代数方法来可求得非齐次线性方程的特解,即将求解微分方程的问题转化为代数问题来处理,因而比较简便。
微分算子法实际上是一种直接灵活运用的公式法。
关键字:
线性;非齐次;通解;特解;微分算子;拉普拉斯变换
Specialsolutionofspecialcategoriesofnon-homogeneouslineardifferentialequations
ZhouYuanyuan
CollegeofMathematicsandInformation,MathematicsandAppliedMathematics,Grade2004,Instructor:
LiZhongping
Abstract:
Thisarticlemainlyfocusesonfourmethodsofsolvingnon-homogenouslineardifferentialequationwithconstantcoefficients:
methodofvariationofconstant;methodofundeterminedcoefficient;methodofLaplacetransformationandmethodofdifferentialoperator.Themethodofvariationofconstantismoreperfectmethodinsolvingdifferentialequation.Notonlyisitplaysthevitalroleinitsdevelopment,butalsowidelyappliedindynamicsystem.Whenf(t)havesomespecialshapes,wecanusethemethodofundeterminedcoefficientandthemethodofLaplacetransformationtosolveit.Theircharacteristicisthatitdoesnotneedtouseintegralbutusealgebraicmethodtoobtaintheparticularsolutionofnon-homogeneouslineardifferentialequation.Itcanconverttheproblemofsolvingdifferentialequationstotheproblemofsolvingalgebraequation,andthenbecomessimpler.Themethodofdifferentialoperatorisactuallyakindofformulamethoduseddirectlyandflexibly.
Keyword:
linear;non-homogenous;generalsolution;particularsolution;differentialoperator;Laplacetransform
第一章引言
微分方程已有悠久的历史,而且继续保持着进一步发展的活力,它是各种精确自然科学中表达基本定律和各种问题的根本工具之一。
换句话说,只要列出了相应的微分方程,并且有了解(数值得或定性地)这种方程的方法,人们就得以预见到在已知条件下这种或那种运动过程将怎样进行或者为了实现人们所希望的某种运动应该怎样设计必要的装置和条件等等,总之,微分方程成为数学联系实际的主要途径之一。
早在十七至十八世纪,牛顿采用数学方法研究二体问题,其中需要求解的运动方程是微分方程,他以非凡的积分技巧解决了它,从而在理论上证实了地球绕太阳地运动轨迹是椭圆,澄清了当时关于地球将坠毁太阳的一种悲观观点。
后来,许多著名的数学家,例如伯努里(家族)、欧拉、高斯、拉格朗日和拉普拉斯等都遵循历史传统,把数学研究结合于当时许多重大的实际力学问题,在这些问题中通常都离不开微分方程的求解。
其中由拉格朗日提出了常数变易法和拉普拉斯提出了拉普拉斯变换法在求解常系数非齐次线性微分方程发挥了很大的作用。
在海王星被实际观测之先,这颗行星的存在就被天文学家用微分方程的求法推算出来了。
十九世纪在天体力学上的主要成就归功于拉格朗日对线性常微分方程的工作。
现今不仅专业研究微分方程的数学工作者愈加愈多,而且力学、电子技术、自动控制、星际航行等各个学科或尖端技术领域的研究者也都以它为必要的工具了。
另外,现代的(最优)控制理论、微分对策论以及泛函微分方程的基本思想都源于微分方程。
既然微分方程在各个领域都用到,那对于怎样求解微分方程也是极其重要的。
关于线性微分方程的通解问题从理论上说可以认为已经解决,但是求方程通解的方法没有具体给出。
事实上,对于一般的线性方程是没有普遍解决的,但是对于常系数线性方程以及可以转化成这一类的方程的求解是能够彻底解决的。
对于某些特殊的非齐次线性方程也可以通过代数运算和微分运算来求解它的通解。
振动是日常生活和工作中常见的一种运动形式,例如钟摆的往复摆动,弹簧的振动,乐器中弦线的振动,机床主轴的振动,电路中的电磁振荡等等,振动问题的研究在一定条件下可以归结为常系数线性微分方程的问题来讨论,常系数非齐次线性微分方程也经常出现,因此讨论常系数非齐次线性微分方程的解法也是很有必要的。
本文主要讨论了求解常系数非齐次线性方程的四种解法:
常数变易法、待定系数法、微分算子法和拉普拉斯变换法。
早在十八世纪下半叶,拉格朗日就对求解线性微分方程做出了巨大贡献,提出了常数变易法。
当对应的齐次线性微分方程的通解已经求出时,可以把通解中的常数用函数代替,这样就可以求出非齐次线性微分方程的特解,进而求出非齐次线性微分方程的通解。
用待定系数法求常系数非齐次线性方程特解的步骤固定,而且求解过程中仅用到代数运算和微分分析运算而不需要通过积分分析运算,因而实际上是一种固定模式法,但因只适合于非齐次«SkipRecordIf...»是多项式、指数函数、正余函数这些基本初等函数及其乘积的线性组合的情况,因而有一定的局限性。
拉普拉斯变换法实质上是把常系数非齐次线性微分方程的初值问题通过对方程施行拉普拉斯变换转化为复变数的代数方程的求解问题,然后再利用拉氏变换或反变换求得相应方程得解。
但因并非任意函数«SkipRecordIf...»都有象函数,而知其也有一定得局限性。
用微分算子法求常系数非齐次线性微分方程特解的过程中除了用到了代数运算、微分积分分析外,还用到微分算子多项式,分式运算公式,因而实际上实一种直接灵活运用的公式法。
它在用待定系数法求解常系数非齐次线性微分方程特解的基础上扩大了求常系数非齐次线性微分方程特解的范围。
总之,不同类型的方程可用不同方法求解的,某些同一类型的方程也可用不同的方法求解,每种方法各有千秋。
现在简单介绍全文的内容:
第一部分讲解了一阶非齐次线性微分方程的解法,并提出了常数变易法的思想。
第二部分简单介绍了«SkipRecordIf...»阶常系数齐次线性微分方程基本解组的求法。
第三部分详细讲解了求解«SkipRecordIf...»阶常系数非齐次线性微分方程的四种解法:
常数变易法,待定系数法,微分算子法、拉普拉斯变换法。
第二章一阶非齐次线性微分方程
对于特殊的非齐次线性微分方程,我们首先从最简单的一阶非齐次线性方程讨论。
«SkipRecordIf...»(2.1)
«SkipRecordIf...»(2.2)
现在来讨论(2.1)通解的求法,不难看出(2.2)是(2.1)的特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解应该有一定的联系而又有差别。
对于(2.2)我们可以用变量分离法(见参考文献[1])求得它的通解为
«SkipRecordIf...»(2.3)
我们试图利用方程(2.2)的通解(2.3)的形式去求方程(2.1)的通解,显然如果(2.3)中«SkipRecordIf...»恒为常数,它必不可能是(2.1)的解,我们设想:
在(2.3)中将常数«SkipRecordIf...»变易为«SkipRecordIf...»的待定函数«SkipRecordIf...»,使它满足方程(2.1),从而求出«SkipRecordIf...»,为此,令
«SkipRecordIf...»(2.4)
微分之,得到
«SkipRecordIf...»(2.5)
以(2.4),(2.5)代入(2.1)中,得到
«SkipRecordIf...»
即«SkipRecordIf...»,积分后得到
«SkipRecordIf...»(2.6)
这里«SkipRecordIf...»是任意常数。
将(2.6)代入(2.3)中得到
«SkipRecordIf...»,(2.7)
这就是方程(2.1)的通解。
这种将常数变易为待定函数的方法,我们通常称为常数变易法,以后我们还要用到这种方法。
例1求方程«SkipRecordIf...»的通解,这里«SkipRecordIf...»为常数。
解«SkipRecordIf...»(2.8)
首先,求齐线性方程«SkipRecordIf...»的通解,从
«SkipRecordIf...»
得到齐线性方程的通解
«SkipRecordIf...»,
其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解。
为此,把«SkipRecordIf...»看成为«SkipRecordIf...»的待定函数«SkipRecordIf...»,即
«SkipRecordIf...»,(2.9)
微分之,得到
«SkipRecordIf...»。
(2.10)
以(2.9),(2.10)代入(2.8),得到
«SkipRecordIf...»,
积分之,求得
«SkipRecordIf...»。
因此,以所求的«SkipRecordIf...»代入(2.9),即得原方程的通解
«SkipRecordIf...»,
这里«SkipRecordIf...»是任意常数。
第三章«SkipRecordIf...»阶常系数齐次线性微分方程
对于«SkipRecordIf...»阶齐次线性微分方程的通解的结构问题,从理论上可以认为已经解决了,但是求方程的通解的方法还没有具体给出。
事实上,对于一般的线性方程是没有普遍的通解,但对于«SkipRecordIf...»阶常系数齐次线性方程通解的求法,我们是能够彻底解决的。
对于«SkipRecordIf...»阶常系数齐次线性方程的基本解组的求法,我们可以通过欧拉待定指数函数法(见参考文献[1])求得,这里就不推导只给出结论。
«SkipRecordIf...»(3.1)
其中«SkipRecordIf...»为常数。
(3.1)的特征方程为«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»(3.2)
(3.2)的根就称为特征根。
一、特征根是单根的情形
设«SkipRecordIf...»是特征方程(3.2)的«SkipRecordIf...»个彼此不相等的根,则相应的方程(3.1)有如下«SkipRecordIf...»个解:
«SkipRecordIf...»(3.3)
如果«SkipRecordIf...»(«SkipRecordIf...»)均为实数,则(3.3)是(3.1)的«SkipRecordIf...»个线性无关的实值解,而方程(3.1)的通解可以表示为«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»为任意数。
如果特征方程有复根,则方程(3.1)的两个实值解:
«SkipRecordIf...»
二、特征根有重根的情形
设特征方程(3.2)的根«SkipRecordIf...»的重数依次为«SkipRecordIf...»且«SkipRecordIf...»则方程(3.1)有对应的解:
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
…………………………………
«SkipRecordIf...»
第四章«SkipRecordIf...»阶常系数非齐次线性微分方程
知道了«SkipRecordIf...»阶常系数齐线性微分方程的通解,以此为基础就不难解决«SkipRecordIf...»阶非齐次线性微分方程通解的结构问题了。
«SkipRecordIf...»(4.1)一、常数变易法
易见方程(3.1)是(4.1)的特殊情形,我们指出两者之间解的性质和结构有着十分密切的联系,首先容易直接验证如下两个简单性质:
性质1如果«SkipRecordIf...»是方程(3.1)的解,而«SkipRecordIf...»是方程(3.1)的解,则«SkipRecordIf...»也是方程(4.1)的解。
性质2方程(4.1)的任意两个解只差必为方程(3.1)的解。
其次,我们有下面定理:
定理设«SkipRecordIf...»,为方程(3.1)的基本解组,而«SkipRecordIf...»是方程(4.1)的某一解,则方程(4.1)的通解可表为
«SkipRecordIf...»,(4.2)
其中«SkipRecordIf...»为任意常数,而且这个通解(4.2)包括了方程(4.1)的所有解。
定理告诉我们,要解非齐次线性方程,只需要知道它的一个解和对应的齐次线性方程的基本解组。
我们进一步指出,只要知道对应的齐次线性方程的基本解组就可以利用常数变易法求得非齐次方程的解,正如第一章所做的那样,不过这里稍微复杂一些而已,具体过程如下:
设«SkipRecordIf...»是方程(2.1)的基本解组,因而
«SkipRecordIf...»(4.3)
为(3.1)的通解,把其中的任意常数«SkipRecordIf...»看作«SkipRecordIf...»的待定函数«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...».这时(3.3)变成
«SkipRecordIf...»,(4.4)
将它代入方程(4.1)就得到«SkipRecordIf...»必须满足的一个方程,但待定函数有«SkipRecordIf...»个即«SkipRecordIf...»,为了确定它们,必须再找出«SkipRecordIf...»个限制条件,在理论上,这些另加的条件可以任意给出,其法无穷,当然以运算上简便为宜,为此,我们将按下面的方法来给出这个«SkipRecordIf...»条件。
对«SkipRecordIf...»微分等式(4.4)得
«SkipRecordIf...»
+«SkipRecordIf...»,
令
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
得到
«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»
对«SkipRecordIf...»微分«SkipRecordIf...»并像上面一样做法,令含有函数«SkipRecordIf...»的部分等于零,我们有得到一个条件
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
和表达式
«SkipRecordIf...»。
«SkipRecordIf...»
继续上面做法,在最后一次得到第«SkipRecordIf...»个条件:
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
和表达式
«SkipRecordIf...»。
«SkipRecordIf...»
最后,对«SkipRecordIf...»微分«SkipRecordIf...»得到
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»。
«SkipRecordIf...»
现将(4.4),«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,…,«SkipRecordIf...»代入(4.1),并注意到«SkipRecordIf...»是(3.1)的解,得
«SkipRecordIf...»。
«SkipRecordIf...»
这样,我们得到了含«SkipRecordIf...»个未知数函数«SkipRecordIf...»的«SkipRecordIf...»个方程«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,...,«SkipRecordIf...»它们组成一个线性代数方程组,其系数行列式就是«SkipRecordIf...»,它不等于零,因而方程组的解就可唯一确定,设求得
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
积分得
«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»
这里«SkipRecordIf...»是任意常数,将所得«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»的表达式代入(4.4)即得方程(4.1)的解
«SkipRecordIf...»
显然,它并且是方程(4.1)的通解,为了得到方程的一个解,只需给常数«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»以确定的值。
例2求方程«SkipRecordIf...»的通解,已知它的对应齐线性方程的基本解«SkipRecordIf...»。
解应用常数变易法,令
«SkipRecordIf...»
将它代入方程.则可得决定«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»的两个方程:
«SkipRecordIf...»
«SkipRecordIf...»
解得«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»。
由此«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»。
于是原方程的通解为
«SkipRecordIf...»,
其中«SkipRecordIf...»为任意常数.。
二、待定系数法
本来,有了前面讨论的结果,这一问题已经可以解决了,因为可以求出对应齐线性方程(3.1)的基本解组,再用常数变易法,求得方程(4.1)的一个特解,这样根据定理即可写出方程(4.1)的通解表达式在利用初值条件确定通解中的任意常数,就可得到方程的满足初识条件的解。
但是正如大家所看到的,通过上述步骤求解往往是比较繁琐的,而且必须经过积分运算。
下面介绍«SkipRecordIf...»具有某些特殊形状时所适用的一些方法。
比如待定系数法,它的特点是不需要通过积分而用代数方法即可求得非齐次线性方程的特解,即将求解微分方程的问题转化为代数问题来处理,因而比较简便。
(一)设«SkipRecordIf...»,其中«SkipRecordIf...»及«SkipRecordIf...»为实常数,那么方程(4.1)有形如
«SkipRecordIf...»(4.7)
的特解,其中«SkipRecordIf...»为特征方程«SkipRecordIf...»的根«SkipRecordIf...»的重数(单根相当于«SkipRecordIf...»;当«SkipRecordIf...»不是特征根时,取«SkipRecordIf...»),而«SkipRecordIf...»是待定常数,可以通过比较系数来确定。
1.如果«SkipRecordIf...»,则此时«SkipRecordIf...»。
现在再分两种情形讨论.:
(1)在«SkipRecordIf...»不是特征根的情形,即«SkipRecordIf...»因而«SkipRecordIf...»,这时,取«SkipRecordIf...»以«SkipRecordIf...»代入方程(4.1),并比较«SkipRecordIf...»的同次幂的系数,得到常数«SkipRecordIf...»必须满足的方程:
«SkipRecordIf...»(4.8)注意到«SkipRecordIf...»,这些待定常数«SkipRecordIf...»可以从方程组(4.8)唯一地逐个确定出来。
(2)在«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»重特征根的情形,即«SkipRecordIf...»而«SkipRecordIf...»,也就是«SkipRecordIf...»这时相应地,方程(4.1)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 最新 特殊 非齐次 线性 微分方程 44