周益春材料固体力学习题解答习题三.docx
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周益春材料固体力学习题解答习题三
--第三章弹性本构关系和弹性问题的求解习题
习题1、试利用各向异性理想弹性体的广义虎克定律导出:
在什么条件下,理想弹性体中的主应力方向和主应变方向相重合?
解:
各向异性理想弹性体的广义虎克定律为:
(a)
当时,三个互相垂直的应力方向为主应力方向。
当时,三个互相垂直的应变方向为主应变方向。
在主应变方向上,剪应力分量为:
(b)
若使,则式中,,具有非零解的条件为
(c)
上式即为x,y,z轴同时为应力主轴和应变主轴的条件。
如果材料性能对称于一个平面,如Oxy平面,则,而且,此时(c)式恒等于零。
在此情况下,当存在以x,y,z轴为主方向的应变状态时,其对应的剪应力分量将成为
(d)
若应变分量之间满足,则此点的应变主方向和应力主方向重合。
如果材料性能对称于Oxy,Oyz,Ozx三个平面,则有,此时(d)式总是满足的。
由此可知,当x,y,z轴为应变的主方向时,也必定为应力的主方向。
但是,当应变主方向和正交轴不重合时,一般它与应力的主方向是不重合的。
对于各向同性弹性体,不需要任何补充条件,应力主方向和应变主方向总是重合的。
习题2、对于各向同性弹性体,试导出正应力之差和正应变之差的关系式。
且进一步证明:
当其主应力的大小顺序为时,其主应变的排列顺序为。
解:
各向同性条件下的广义虎克定律为
将上式中的
(1)-
(2),
(2)-(3),(3)-
(1)分别得:
即
证明:
当其主应力的大小顺序为时,其主应变的排列顺序为。
且,利用上述正应力之差和正应变之差的关系式有。
习题3、将某一小的物体放入高压容器内,在静水压力作用下,测得体积应变,若泊松比=0.3,试求该物体的弹性模量。
解:
设为第一应力不变量,而,
据各向同性条件下的广义虎克定律为有:
,其中体积应变,故有
。
习题4、在各向同性柱状弹性体的轴向施加均匀压力,且横向变形完全被限制住(如图所示)。
试求应力与应变的比值(称为名义杨氏模量,以表示)。
解:
设柱体的轴线z轴,。
因为横向变形被限制,所以。
据各向同性条件下的广义虎克定律
得:
,,将此两式相减得:
,而泊松比的理论取值范围为,故,将其代入广义虎克定律得:
从而
,得解。
习题5、在某点测得正应变的同时,也测得与它成60。
和90。
方向上的正应变,其值分别为,,,试求该点的主应变、最大剪应变和主应力(,)。
解:
设该点的x,y轴向的正应变分别为,,剪应变为。
任意方向(为与x轴正向的夹角)上的正应变为:
,
所以,,
,解由此三式组成的方程组得该点的,和分别为:
。
(1)计算该点的主应变:
由、、和得该点的主应变为:
,。
(2)该点的最大剪应变。
(3)计算该点的主应力:
现、、,据向同性条件下的广义虎克定律得,即,所以
将、、、及、代入上面三式得:
,。
习题6、根据弹性应变能理论的应变能公式,导出材料力学中杆件拉伸、弯曲及圆轴扭转的应变能公式分别为:
。
解:
(1)杆件拉伸的应变能公式推导:
设杆件横截面积为,弹性模量为,如图建立坐标系。
杆件为单向拉伸,只存在轴向的伸长或缩短,轴向纤维间无剪切变形,即。
同时轴向纤维间无相互作用力,即。
据弹性应变能理论的应变能公式(其余分量产生的应变能为零)。
现在杆件上x处取一微段dx,其体积为,其应变能
而
整个杆件的拉伸应变能为:
而,
故
整个杆件的拉伸应变能为:
(2)杆件弯曲的应变能公式的推导:
在材料力学中杆件在外力作用下发生纯弯曲,仅轴向纤维发生拉伸或压缩变形(其中中性层以内的纤维层受压缩,中兴层以外的纤维层伸长),而轴向纤维之间无相互作用的内力,即和。
在杆件上沿轴向去取一微段,在此微段的横截面上取一个微面,在上的应力可为相同的,而。
,。
故,其中只与x有关。
。
杆件弯曲的挠度为,挠度曲线的曲率为
(3)圆轴扭转的变形能公式推导:
设圆轴的轴向为z轴。
在材料力学中,圆轴扭转变形后,其横截面仍为平面,半径仍为直线,且沿z轴相邻两截面的距离不变,故有
,。
在圆轴轴向z处取一微段,在微段的横截面(圆截面)上的半径处取一微面积,上的应力可为相同的,那么。
据平衡方程有:
而,故,令。
,而,
故,只与z有关,
,
即。
习题7、试推导体积变形应变能密度及畸变应变能密度的公式分别为:
解:
应变张量可分为球形应变张量和应变偏量张量之和:
,即。
其中球形应变张量表示体积变形(体积的等向收缩或膨胀),不产生形状畸变,它由球形应力张量所引起,仅产生体积变形应变能;而应变偏量张量表示形状畸变,不产生体积变形,它由应力偏量张量所引起,仅产生畸变应变能。
应力张量可分为球形应力张量和应力偏量张量之和:
,即,
变形应变能密度分为体积变形应变能密度与畸变应变能密度之和,
即
其中,。
所以无论如何有:
,故
。
据虎克定律有:
,
。
据虎克定律有:
,
习题8、如图所示结构,梁AB在A处固支,长为l,截面积为F1,截面惯性矩为I。
杆BC在B处与梁铰接,截面积为F2,。
材料弹性模量为E,B点受载荷P的作用,设梁的压缩量为,挠度曲线为,和a均为待定的变形参数。
考虑杆BC的拉伸及梁AB的压缩与弯曲,用最小势能原理求B点的水平和垂直位移。
解:
梁AB被压缩,其变形能为。
杆BC被拉伸,其变形能为。
其中,。
梁AB的挠度曲线为,其弯曲变形能为
外力功为:
。
总势能为
据最小势能原理:
,,
其中可以取任何值,。
B点的垂直位移为,水平位移为。
习题9、如图所示,简支梁长为l,抗弯刚度为EI,中点受P力作用,支座之间有弹性介质支承,其弹性系数为k(即每单位长介质对挠度提供的支反力)。
设挠度曲线为,试分别用李兹法和迦辽金法求梁中点B的挠度。
解:
(1)用李兹法求梁中点B的挠度:
挠度曲线为,
,
,满足A,C两点的边界条件。
简支梁的变形能为:
。
中点B处弹性支承的反力,
弹性支承的变形能为:
总变形能为:
。
外力功为:
,
总势能为:
,
按李兹法有:
,,
。
(2)用迦辽金法求梁中点B的挠度:
将挠度曲线代入y向平衡方程得:
,将其代入迦辽金方法的积分式中得:
即
习题10、试用李兹法求如图所示的一端固定、一端自由的压杆临界载荷,设该压杆的长度为l,抗弯刚度为EI(常数),其挠度曲线为。
解:
挠度曲线为可以满足所要求的边界条件,压杆失稳后的弯曲应变能为
外力功,其中d为失稳后由弯曲引起压杆顶端处向下的竖直位移:
势能为:
。
应用李兹法有,
如果,此方程虽然是满足了,但是这表示该压杆保持直的,根本没有失稳,所以。
由此得:
,
此结果正好是精确解,这是因为所设的挠度曲线正好是失稳后的真实挠度曲线。
习题11、已知如图所示的半无限弹性体的界面上,承受垂直于界面的集中力P的作用,试用位移法求位移及应力分量。
解:
一、求位移函数
用位移法求解时,须求出满足边界条件及满足以位移分量表示的平衡方程组:
其中
,
。
可以找到满足平衡方程组的两组特解:
(a)
(b)
上述两组特解的线性组合可作为通解:
(c)
其中A1和A2由边界条件来确定,将其代入由位移表示的应力得:
(d)
在边界上(z=0面),除外力作用点外,,前一条件自然满足,而后一条件由上式的第四式可得:
(e)
另外假想过M点作一与边界面平行的面,将半无限弹性体的上部取出,根据被取部分Z向平衡条件得:
(f)
将(d)中的代入(f)得
,积分此式得:
(g)
由式(e)、(g)解得
(h)
将A1,A2代入(c)式得位移函数为:
(I)
二、求应力分量
将A1、A2代回(d),可得应力分量的计算公式:
(j)
三、讨论:
1)以上所得应力和位移,当R增大时应力、应变值迅速减小,即带有局部性质。
2)当时,各应力分量都趣于无限大,这是因为假设外力集中作用在一点的缘故,实际上载荷不可能加在一个几何点上,而是分布在一个小面积上,因此实际应力不会是无限大而是相当大甚至已进入塑性阶段。
根据圣维南原理,只要稍离集中力作用点,以上的应力与位移公式仍可认为是正确的。
3)由(j)式可见,当z=0时,在弹性半空间的边界面上有
(k)
这说明,边界面上各点受到纯剪切作用。
4)当r=0,R=z时,即在z轴上的各点,由(j)式可得(l)式。
这说明在z轴上各点受到两向拉伸、一向压缩,它的主应力为(m)式,以绝对值来比较,比径向及周向应力大得多。
以上结果是研究接触问题的基础。
(l)
(m)
习题12、试用应力函数求解第11题中半无限弹性体的界面上,承受垂直于界面的集中力P的作用时的位移及应力分量,并求水平边界面上任意一点的沉陷。
解:
半无限弹性体的界面上承受垂直于界面的集中力P的作用是一个空间轴对称问题,所有的物理分量都只是r和z的函数,与无关。
将上述应力函数代入如下求应力分量的公式:
(a)
其中(b)
得(c)
在边界上(z=0面),除外力作用点外,,前一条件自然满足,而后一条件由上式的第四式可得:
(d)
另外假想过M点作一与边界面平行的面,将半无限弹性体的上部取出,根据被取部分Z向平衡条件得:
(e)
将(c)中的代入(e)式并积分得
(f)
式(d)中r为任意值,故只有分子为零,即
(g)
由式(f)、(g)解得C2和C3,
将C2和C3代入式(d)得。
然后利用虎克定律求出,根据求出C1。
得应力分量为
(h)
将(h)式代入以应力分量表示的位移公式求出位移为
利用上述位移公式求出水平边界面上任意一点的沉陷为
。
习题13、如图所示,设有半空间无限大弹性体,单位体积的质量为,在水平边界面上受均布压力q的作用,试用位移法求位移分量和应力分量(并假设在z=h处w=0)。
解:
由于对称(任意铅直面都是对称面)试假设。
这样就得
,。
因为半空间无限大弹性体体力分量
所以上述假设在x,y向满足以位移表示的平衡微分方程:
而在z向的平衡微分方程为,简化后得
(a)
积分后得(b)
(c)
其中A和B为积分常数。
现据边界条件来确定A和B。
将以上的结果代入以位移分量表示应力的物理方程
(d)
得(e)
在边界面上(z=0面),即,代入(e)式得。
再回代(e)式得应力分量:
(f)
并由(c)式得z向位移(g)
为了确定常数B,必须利用位移边界条件。
由于在z=h处w=0,代入(g)式得。
再回代(g)式得位移分量:
,
至此位移分量和应力分量全部求出。
习题14、球形容器的内半径为a,外半径为b,内部作用着压力为Pi,外部压力为Pe,试用位移法求其应力分量(不计体力)。
解:
这是一个空间球对称问题,体力KR=0,由位移分量表示的球对称平衡微分方程得微分方程
解此微分方程得(其中A,B为积分常数)
(a)
将代入以位移分量表示应力的物理方程
得应力分量的表达式:
(b)
(c)
代入如下边界条件:
求解A和B得
(d)
将(d)式代入(a)式得径向位移
。
(e)
将(d)式代入(b)式和(c)式得径向正应力和切向正应力(和就是主应力):
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