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数学运算秒杀技巧
数学运算秒杀技巧
【真题精析】
例1:
(2009.河南)1×2×3+2×3X4+3×4×5+…+28×29×30=( )
A.188690 B.188790 C.188890 D.188990
[答案]B
[秒杀]每一项都是三个连续自然数的乘积,则结果一定能被3整除。
分析选项,只有B符合。
【真题精析】
例l:
(2004.山东)某次测验有50道判断题,每做对一题得3分,不做或做错一题倒扣1分,某学生共得82分,问答对题数和答错题数(包括不做)相差多少?
A.33 B 39 C.17 D.16
[答案]D
[秒杀]根据题意,答对的题目数十答错的题目数一总题目数50(偶数),故二者之差也应是偶数。
分析选项,只有D符合。
[解析]设答对题数为x,答错题数(包括不做)为y,则有
,
所以答对题数和答错题数(包括不做)相差为16。
【真题精析】
例1:
(2006.国考)一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样的三位数共有:
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
[答案]A
[秒杀]周期为4,5,9的最小公倍数9×5×4=180。
由于1000÷180=5------100,而满足条件的最小三位数一定大于100,故共有5个数字。
[解析]运用中国剩余定理,计算出最小的符合题意的数字为187,而4,5,6的最小公倍数为180,则
187+180n<1000,有5个数字。
【真题精析】
例1:
(2005.湖南)一堆沙重480吨,用5辆载重相同的汽车运3次,完成了运输任务的25%,余下的沙由9辆同样的汽车来运,几次可以运完?
A.4次 B.5次 C.6次 D.7次
[答案]B
[秒杀]根据“用5辆载重相同的汽车运3次,完成了运输任务的25%”可知,剩下的1-25%=75%可由这5辆载重相同的汽车运9次,即相当于9辆相同的汽车运5次。
因此,选B。
[解析]5辆汽车3次运沙480×25%=120吨,即每辆车每次可以运沙8吨。
故9辆车每次可以运沙72吨,则剩下的360吨需要运输360÷72=5次。
【真题精析】
例1:
(2008.江西)A、B、C、D、E这5个小组开展扑克比赛,每两个小组之间都
要比赛一场,到现在为止,A组已经比赛了4场,B组已经比赛3场,C组已经比赛了
2场,D组已经比赛了1场。
问E组比了几场?
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案]C
[秒杀]将五位人的比赛关系用右图表示,因此,选C。
[解析]显然A组与B、C、D、E都比赛了一场,则D组只能和A组比赛了一场,B组只能和A、C、E各比赛一场,C组只能和A、B各比赛一场,因此D组只和A、B各比赛一场,答案为C。
【真题精析】
例1:
(873×477-198)÷(476×874+199)=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[答案]A
[秒杀]873×477-198与476×874+199数值相差不大,故二者之商一定小于2。
因此,选A。
[解析]原式=
【真题精析】
例1:
有甲、乙两个项目组,乙组任务临时加重时,从甲组抽调了四分之一的组员。
此后甲组任务也有所加重,于是又从乙组调回了重组后乙组人数的十分之一。
此时甲组与乙组人数相等。
由此可以得出结论:
A.甲组原有16人,乙组原有11人 B.甲、乙两组原组员人数之比为16:
11
C.甲组原有11人,乙组原有16人 D.甲、乙两组原组员人数比为11:
16
[答案]B
[秒杀]分析选项,B、D包含了A、C的情况,即如果B.D正确,则A、C正确,故可以排除A、C。
根据“乙组任务临时加重时,从甲组抽调了四分之一的组员。
此后甲组任务也有所加重,于是又从乙组调回了重组后乙组人数的十分之一。
此时甲组与乙组人数相等”可以判断出甲组人数多于乙组,排除D0因此,选B。
[解析]根据题意:
设甲组原有x人,乙组原有y人,则有,
解得 。
因此,选B。
数学运算常用解题思路
第一节 技巧性方法
【真题精析】
例1.(2008.广东)某人工作一年的报酬是18000元和一台全自动洗衣机.他干了7个月,得到9500元和一台全自动洗衣机,问这台洗衣机值多少元?
A.8500元 B.2400元 C.2000元 D.1700元
[答案]B
[秒杀技巧]解题关键是每个月所得报酬相同。
[解析]设这台洗衣机值x元,则 ,解得x=2400。
【真题精析】
例1.(2006.江苏B类)某体育训练中心,教练员中男占90%,运动员中男占80%,在教练员和运动员中男占82%,教练员与运动员人数之比是:
A.2:
5 B.1:
3 C.1:
4 D.1:
5
[答案]C
[解析]运用十字交叉法有:
所以男教练员与男运动员人数之比为2%:
8%=1:
4。
【真题精析】
例1.(2007.安徽)一个最简分数,分子和分母的和是50,如果分子、分母都减去5,得到的最简分数是2/3,这个分数原来是多少?
A.20/29 B.21/29 C.29/30 D.29/50
[答案]B
[解析]根据“分子和分母的和是50”,只有B项正确。
【真题精析】
例1.(2007.江西)设
A.10/9 B.11/9 C.7/9 D.5/7
[答案]B
[解析]根据
第二节 思路性方法
【真题精析】
例1.(2007.西藏)一种挥发性药水,原来有一整瓶,第二天挥发后变为原来的1/2;第三天变为第二天的2/3;第四天变为第三天的3/4,请问第几天时药水还剩下1/30瓶?
A.5天 B.12天 C.30天 D.100天
[答案]C
[解析]根据题意可知,第二天剩下的药水为整瓶的1/2,第三天剩下的药水为整瓶的1/2×2/3=1/3,第四天剩下的药水为整瓶的1/3×3/4=1/4,以此类推,第30天剩下的药水为整瓶的1/30。
【真题精析】
例1.(2008.吉林甲级)有个人发现图书馆的那本《大英百科全书》的第21、42、64、65、121、137、138、190页对他有用,便把这几页偷偷的撕下带走了,那他一共撕去了:
A.4张 B.6张 C.7张 D.8张
[答案]C
[秒杀技巧]不连续的数字肯定不能占据一张纸,连续数字存在占据同一张纸上的可能。
[解析]由题意可知,在所给出的页码中,有两组连续的页码,即64、65和137、138。
假设64和65是同一张纸,则137和138页必不在同一张纸上;反之亦然。
因此,他只可能撕去7张纸。
【真题精析】
例1.2007.浙江)某部队战士排成了一个6行、8列的长方阵。
现在要求各行从左至右1,2,1,2,1,2,1,2报数,再各列从前到后1,2,3,1,2,3报数。
问在两次报数中,所报数字不同的战士有:
A.18个 B.24个 C.32个 D.36个
[答案]C
[解析]根据题意可列表如下:
表格中用“★”标记的即为每次报数相同的战士,故每列中两次所报数字不同的战士数均为4,故共有4×8=32个战士两次所报数字不同。
因此,选C。
容斥原理问题——基础学习
一、解答题
2、两个集合容斥原理例1:
四年级一班有54人,定阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人,订阅《小学生优秀作文》的有45人每人至少订阅一种读物,订阅《数学大世界》的有多少人?
( )
A.13 B.22 C.33 D.41
【答案】B
【解题关键点】设A={定阅《小学生优秀作文》的人},B={订阅《数学大世界》的人},那么A∩B={同时订阅两本读物的人},A∪B={至少订阅一样的人},由容斥原则,B=A∪B+A∩B-A=54+13-45=22人。
【结束】
3、两个集合容斥原理例2:
五年级有122名同学参加语文、数学考试,每个至少有一门功课取得优秀成绩,其中语文成绩优秀的有65人,数学成绩优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人?
( )
A. 30 B.35 C.57 D.65
【答案】A
【解题关键点】此题是典型的两个集合的容斥问题,因此,可以直接有两个集合的容斥原理得到,语文和数学都优秀的学生有65+87-122=30人。
【结束】
4、两个集合容斥原理例3:
学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手提琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两样都会的有8人。
这个文艺组共有多少人?
( )
A.25 B.32 C.33 D.41
【答案】C
【解题关键点】设A={会拉手提琴的},B={会弹电子琴的},因此A∪B={文艺组的人},A∩B={两样都会的},由两个集合的容斥原理可得:
A∪B=A+B-A∩B=24+17-8=33。
【结束】
5、两个集合容斥原理例4:
某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的人有23人,两题都答对的有15人,问多少个同学两道题都没有答对?
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解题关键点】有两个集合的容斥原理得到,至少答对一道题的同学有25+23-15=33人,因此两道题都没有答对的同学有36-33=3人。
【结束】
7、三个集合容斥原理例1:
某大学有外语教师120名,其中教英语的有50名,教日语的有45名,教法语的有40名,有15名既教英语又教日语,有10名既教英语又教法语,有8名既日语又教法语,有4名教英语、日语和法语三门课,则不交三门课的外语教师有多少名?
( )
A.12 B.14 C.16 D.18
【答案】B
【解题关键点】此题是三个集合的容斥问题,根据容斥原理可以得到,至少教英、日、法三门课其中一门的外语教师有50+45+40-10-8-4=106,不做这三门课的外语教师人数为120-106=14名。
【结束】
8、三个集合容斥原理例2:
对厦门大学计算机系100名学生进行调查,结果发现他们喜欢看NBA和足球、赛车。
其中58人喜欢看NBA;38人喜欢看赛车,52人喜欢看足球,既喜欢看NBA又喜欢看赛车的有18人,既喜欢看足球又喜欢看赛车的有16人,三种都喜欢看的有12人,则只喜欢看足球的有( )。
A.22人 B. 28人 C.30人 D.36人
【答案】A
【解题关键点】求只喜欢看足球的,只要种人数减去喜欢看NBA和喜欢看赛车的,但多减去了既喜欢看NBA又喜欢看赛车的,再加回去即可,100-58-38+18=22人。
【结束】
9、三个集合容斥原理例3:
实验小学举办学术书法展,学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有28幅不是五年级的,有24幅不是六年级的,五、六年级参展作品共有20幅。
一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展的作品总数少4幅。
一、二年级参展的书法作品共有多少幅?
( )
A.6 B.10 C.16 D.20
【答案】A
【解题关键点】28幅不是五年级的,也就是六年级+其他年级=28幅;24幅不是六年级的,也就是五年级+其他年级=24幅;上述两个式子相加得,(五年级+六年级)+2×其他年级=28+24,因此其他年级的有(28+24-20)÷2=16幅,又因为一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展的作品总数少4幅,因此一、二年级参展的书法作品共有(16-2)÷2=6幅。
【结束】
10、三个集合容斥原理例4:
某工作组有12名外国人,其中6人会说英语,5人会说法语,5人会说西班牙语;有3人既会说英语又会说法语,有2人既会说法语又会说西班牙语,有2人既会说西班牙语又会说英语;有1人这三种语言都会说。
则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多()。
A.1人 B.2人 C.3人 D.5人
【答案】C。
【解题关键点】如图所示:
上图的含义为只懂英语、法语和西班牙语的人数分别人2、1和2,共5人,而一种语言都不会说的人数为12-(2+2+1+1+1+1+2)=2(人),5-2=3(人)。
【结束】
浓度问题——基础学习
一、 解答题
3、求混合之前的初始状态例1:
现有一种预防甲型H1N1流感的药物配制成的甲、乙两种浓度不同的消毒液。
若从甲中取2100克,乙中取700克混合而成的消毒溶液的浓度为3%,若从甲中取900克,乙中取2700克,则混合而成的消毒溶液的浓度为5%,则甲、乙两种消毒溶液的浓度分别为( )。
A.3%,6% B.3%,4% C.2%,6% D.4%,6%
【答案】C
【解题关键点】设甲、乙两种溶液溶液浓度分别是x,y,则2100x+700y=(2100+700)×3%,900x+2700y=(900+2700)×5%,解得x=2%,y=6%。
【结束】
4、求混合之前的初始状态例2:
取甲种硫酸300克和乙种硫酸250克,再加水200克,可混合成浓度为50%的硫酸;而取甲种硫酸200克和乙种硫酸150克,再加上纯硫酸200克,克混合成浓度为80%的硫酸。
那么甲、乙两种硫酸的浓度各是多少?
( )
A.75%,60% B.68%,63% C.71%,73% D.59%,65%
【答案】A
【解题关键点】设甲、乙硫酸浓度分别是x、y,则300x+250y=(300+250+200)×50%,200x+150y+200=(200+150+200)×80%,解得x=75%,y=60%。
【结束】
6、求混合后的最终状态例1:
130克含盐5%的盐水,含盐9%的盐水混合,配成含盐6.4%的盐水,这样配成的6.4%的盐水有多少克( )
A.120 B.180 C.200 D.300
【答案】C
【解题关键点】设配成的盐水有x克,则可列方程130×5%+(x-130)×9%=x×6.4%,解得x=200。
【结束】
8、增加溶剂(稀释问题)例1:
有浓度为60%的溶液若干,加了一定数量的水后,稀释成48%的溶液,如果再加入同样多的水,浓度是多少?
( )
A.40% B.45% C.50% D.55%
【答案】A
【解题关键点】设原有溶液a克,加入水x克,最后浓度为y,60%a=48%(a+x)=y(a+2x)。
解得y=40%。
【结束】
10、减少溶剂(蒸发问题)例1:
13000千克青菜,早晨测得它的含水率为97%,这些菜到了下午测得含水率为95%,那么这些菜的重量减少了( )千克。
A. 200 B.300 C.400 D.500
【答案】C
【解题关键点】青菜中除了水之外的其他成分质量不会变化,下午含水率为95%的菜重量为1000×(1—97%)÷(1-95%)=600千克,所以青菜重量减少了1000-600=400千克,选择C。
【结束】
11、减少溶剂(蒸发问题)例2:
有浓度为4%的盐水若干千克,蒸发了一些水分后浓度变成10%,再加入300克40%的盐水后,浓度变为6.4%的盐水,问最初的盐水多少克?
( )
A. 200 B.300 C.400 D.500
【答案】D
【解题关键点】首先,根据题意,可以用十字交叉法确定与300克4%的盐水混合得到浓度为6.4%盐水的10%浓度盐水的重量为200克。
再设最初盐水x克,则200×10%=x×4%,可得x=500克。
【结束】
12、推导法(按题意从初始状态逐步计算直至最终状态)例1:
一满杯水溶有10克糖,搅匀后喝去
;添入6克糖,加满水搅匀,再喝去
;添入6克糖,再加满水搅匀,又喝去
;再添入6克糖,加满水搅匀,仍喝去
。
问:
此时杯中所剩的糖水中有多少克糖?
( )
A.
B.
C.
D.5
【答案】A
【解题关键点】初始杯中含有10克糖,喝完第一次后剩
×10克糖,喝完第二次剩(
)
×10克糖,喝完第三次剩(
)
×10克糖,喝完第四次剩(
)
×10=
克。
第二次加入的6克糖,喝完第一次后剩
×6克糖,喝完第三次剩(
)
×6克糖,喝完第四次后剩(
)
×6=
克糖,第三次加入的6克糖,喝完第三次后还剩
×6克糖,喝完第四次后剩(
)
×6=
克糖。
第四次加入的6克糖,当喝完第四次后还剩
×6=2克糖。
综上分析,最后杯中含糖
+
+
+2=3
克糖。
【结束】
13、推导法(从最终状态逆推求出初始状态)例1:
有浓度为4%的盐水若干千克,蒸发了一些水分后浓度变成10%,再加入300克40%的盐水后,浓度变为6.4%的盐水,问最初的盐水多少克?
( )
A. 200 B.300 C.400 D.500
【答案】D
【解题关键点】首先,根据题意,可以用十字交叉法确定与300克4%的盐水混合得到浓度为6.4%盐水的10%浓度盐水的重量为200克。
再设最初盐水x克,则200×10%=x×4%,可得x=500克。
【结束】
15、方程法例1:
甲、乙两杯奶茶分别重300克和120克,甲中含奶茶粉120克,乙中含奶茶粉90克。
从两杯中应各取出多少克才能兑成浓度为50%的奶茶140克?
( )
A. 90,50 B.100,40 C.110,30 D.120,20
【答案】B
【解题关键点】可设取出甲x克,乙(140-x)克,那么,[x×
+
×(140-x)] ÷140=50%,解得x=100.所以取100克的甲,取140-100=40克的乙。
【结束】
16、方程法例2:
130克含盐5%的盐水,与含盐9%的盐水混合,配成含盐6.4%的盐水,这样配成的6.4%的盐水有多少克( )
A.120 B.180 C.200 D.300
【答案】C
【解题关键点】设配成的盐水有x克,则克列方程130×5%+(x-130)×9%=x×6.4%,解得x=200.
【结束】
18、十字交叉法例1:
在浓度为75%的酒精中加入10千克水,浓度变为35%,再加入L千克纯酒精,浓度变为60%,则L为多少千克?
( )
A.8 B.11.7 C.14.6 D.16.4
【答案】B
【解题关键点】十字交叉法。
第一次混合相当于浓度为75%与0%的溶液混合。
75%的酒精 75% 35%
\∕
35%
∕\
水 0% 40%
所以75%的酒精与水的比例为35:
40=7:
8。
水10千克,75%的酒精8.75千克,混合后共18.7千克。
第二次混合,相当于浓度为35%与100%的溶液混合。
35%的酒精 35% 40%
\∕
60%
∕\
纯酒精 100% 25%
所以35%的酒精与纯酒精的比例为40:
25=8:
5,即18.75:
L=8:
5,L≈11.7千克。
【结束】
19、十字交叉法例2:
把浓度为20%、40%和60%的某溶液混合在一起,得到浓度为36%的溶液50升。
已知浓度为40%的溶液用量是浓度为20%的溶液用量的3倍。
浓度为40%的溶液的用量是多少升?
( )
A. 36 B.38 C.44 D.46
【答案】A
【解题关键点】设20%的溶液为x升,则40%的溶液为3x升,相当于(20%×x+40%×3x)÷4x=35%的溶液4x升与60%的溶液y升混合。
用十字交叉法,则
所以4x:
y=24:
1,即x=6y。
带入方程35%×4x+60y=36%×50,解得x=12,所以浓度为40%的溶液用了3x=36升。
【结束】
20、分析猜答案法:
深刻理解混合的本质(公式的理解),分析题目才出答案;
21、分析猜答案法例1:
现有一种预防禽流感药物配置成的甲、乙两种不同浓度的消毒溶液,若从甲中取2100克,乙中取700克混合而成的消毒溶液的浓度为3%;若甲种取900克,乙中取2700克,则混合而成的消毒溶液的浓度为5%,则甲、乙两种消毒溶液的浓度分别为( )
A.3%,6% B.3%,4% C.2%,6% D.4%,6%
【答案】C
【解题关键点】首先可以根据溶质相等,构造方程。
方程法:
设甲、乙溶液的浓度分别为x、y,则
通过解方程可以得到答案,但是此种方法会用掉比较多的时间,所以我们应该寻找更为简便的做法。
分析猜提法:
题目中说一定量的甲溶液和一定量的乙溶液混合,得到3%溶液,则可以说明,甲、乙溶液浓度一种大于3%,一种小于3%。
同理可得,甲、乙溶液浓度一种大于5%,另一种小于5%,综合得出甲、乙溶液一种大于5%,一种小于3%从选项可以看出,答案为C.
【结束】
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