有限单元法课后习题答案.docx
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有限单元法课后习题答案
有限单元法课后习题答案
【篇一:
高等有限元课后题答案】
较密网格,而在其他地方采用较稀疏网格?
答:
在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大,若网格划分较稀疏,则在应力突变处没有设置结点,而使得所求解的误差很大,若网格划分较密时,则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点,从而使得所求解的精度更高一些。
2.2因为应力边界条件就是边界上的平衡方程,所以引用虚功原理必然满足应力边界条件,对吗?
答:
对。
2.3为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题?
弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗?
为什么?
答:
有限元法是一种位移解法,故只能求解位移边值问题和混合边值问题。
而应力边值问题没有确定的位移约束,不能用位移法求解,所以也不能用有限元法求解。
2.4矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗?
答:
能。
矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求,是一个协调元。
矩形的插值函数只与坐标差有关,旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变,所以插值函数保持不变。
因此矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。
2.5总体刚度矩阵呈带状分布,与哪些因素有关?
如何计算半带宽?
答:
因素:
总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点
八、、
号的差有关。
计算:
设半带宽为b,每个结点的自由度为n,各单元中结点整体码的最大差值为d,贝Ub=n(d+1),在平面问题中n=2。
2.6为什么单元尺寸不要相差太大,如果这样,会导致什么结果?
答:
由于实际工程是一个二维或三维的连续体,将其分为具有简单而规贝的几何单元,这样便于网格计算,还可以通过增加结点数提高单元精度。
在几何形状上等于或近似与原来形状,减小由于形状差异过大带来的误差。
若形状相差过大,使结构应力分析困难加大,误差同时也加大。
2.7剖分网格时,在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界,试说明理由。
答:
有限元处于弹性力学问题的方法是离散法。
它将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体,单元之间只在结点上相互联系,即只有结点才能传递力。
所以在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点和单元边界。
2.8为什么说三角形三结点单元是常应变单元,如果在每边中点增加一个结点,那么单元内应力如何分布?
答:
(1)应变矩阵[b]中的参数bi、bj、bm、ci、cj、cm由坐标变量x、y之差确定。
当单元的坐标差确定之后,这些参数与坐标变量x、
y无关,因此[b]为常量阵。
当单元的结点位移{a}确定后,由[b]转换求得的单元应变都是常量,也就是说在荷载作用下单元中各点具有统一的?
x?
y?
xy值。
因此三结点三角形单元称为常应变单元。
、、
(2)如果在每边中点增加一个结点,单元内的应力为线性分布。
3.1什么是面积坐标?
如何计算三角形内某点的面积坐标?
答:
(1)如(a)图所示,三角形内任一点p(x,y),将p与三角
形三个顶点i,j,m连成3个三角形。
令ai为i点所对应三角形pjm的面积,aj为j点所对应的三角形pmi的面积,am为m点所对应的三角形pij的面积,面积坐标定义为:
lr=ar/a(i,j,m),其中a为三角形ijm的面积,点p(x,y)用面积坐标可以写为p
(li,lj,lm),且li+lj+lm=1。
(2)求某点面积坐标除用定义外,还可用如图(b)所示的方法,即三角形内某点的面积坐标可通过同底三角形的高度比来计算。
如图(b)中的li=hi/hi。
(a)(b)
图3.3面积坐标
3.2什么是划线法?
如何用划线法形成单元的插值函数?
答:
(1)划线法是根据形函数的0-1特性,将需要等于零的各结点用直线连接起来(划线);
(2
)在该直线上为零,则在该直线上的各结点的值也为零,为此形函数一定包含了该直线方程的因子,将需要等于零的各个因子乗起来即得到该单元的行函数。
3.3下列平面单元的位移具有连续性吗?
(1)平面三角形二次单元;连续
(2)平面三角形三次单元;连续
(3)8结点矩形单元;连续
(4)8结点任意四边形单元。
连续
3.4下列单元满足收敛的充分必要条件刀ni=1吗?
(1)平面三角形三次单元;满足
(2)变结点单元;满足
(3)长方体20结点单元。
满足
3.5对于非协调的薄板单元如何进行分片检验?
答:
当赋予单元片各个结点以与常应变状态相应的位移值和载ee(ka?
pi)?
0是否满足,如能满足则认为通过分荷值时,校验?
ijje?
1m
片检验。
3.6在平面壳单元中如何判别共面点?
可用什么方法进行处理?
答:
(1)在平面壳体单元中,如果某一点的各个单元面法向不同,经局部坐标转化到整体坐标后,该点的总体位移有6个,若方向相同,常称此点为共面点。
(2)处理方法有两种:
i、在局部坐标系内建立结点平衡方程,并删去?
zi方向的平衡方程,
于是剩下的方程满足唯一解的条件。
ii、在此结点上,给一任意的的刚度系数k?
z,这时在局部坐标系中,
此结点在?
zi方向的平衡方程
k?
z?
zi?
0经变换后,总体坐标中的系统方程满足唯一条件,它不影响单元应力。
4.1
4.9为什么?
j?
的行列式必须大于零?
几何形状上应该如何?
答:
参数变换是一个对有限元网格的数学变换过程,只要数学上成立即可。
从数学只是可知,两个直角坐标之间一一变换成立的充要条件是j?
0,因此等参变换也必须服从此条件。
如果j?
0j,则?
?
不
存?
1在,产生导数和微元转换都不存在,变换不成立。
欲使j?
0,应该保证单元形状是外凸的,不能出现内凹的现象。
?
一
般说来,j?
0会导致刚度矩阵奇异,要求单元的内角小于135。
5.1固体力学中有哪几类非线性问题?
各有什么特点?
答:
一类是不依赖于时间的弹塑性问题,其特点是当荷载作用后,材料立即发生变形,并且不再随时间而变化。
第二类是依赖于时间的粘弹塑性问题,其特点是当荷载作用后,材料不仅立即发生变形,而且变形随时间而继续变化。
5.2什么是非线性弹性?
什么是塑性?
什么是蠕变?
他们之间的共同点和不同点是什么?
答:
非线性弹性:
材料的应力应变关系是非线性的,但卸载后所有的变形和位移都能恢复到原状态。
塑性:
材料的应力应变关系是非线性的,他们之间也不再是单值对应
【篇二:
有限元第二章课后题答案】
txt>思考题
2.1有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格,而在其他地方采用较稀疏网格?
答:
在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大,若网格划分较稀疏,则在应力突变处没有设置结点,而使得所求解的误差很大,若网格划分较密时,则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点,从而使得所求解的精度更高一些。
2.2因为应力边界条件就是边界上的平衡方程,所以引用虚功原理必然满足应力边界条件,对吗?
答:
对。
2.3为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题?
弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗?
为什么?
答:
有限元法是一种位移解法,故只能求解位移边值问题和混合边值问题。
而应力边值问题没有确定的位移约束,不能用位移法求解,所以也不能用有限元法求解。
2.4矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗?
答:
能。
矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求,是一个协调元。
矩形的插值函数只与坐标差有关,旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变,所以插值函数保持不变。
因此矩形单
元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。
2.5总体刚度矩阵呈带状分布,与哪些因素有关?
如何计算半带宽?
答:
因素:
总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。
计算:
设半带宽为b,每个结点的自由度为n,各单元中结点整体码的最大差值为d,贝Ub=n(d+1),在平面问题中n=2。
2.6为什么单元尺寸不要相差太大,如果这样,会导致什么结果?
答:
由于实际工程是一个二维或三维的连续体,将其分为具有简单而规贝的几何单元,这样便于网格计算,还可以通过增加结点数提高单元精度。
在几何形状上等于或近似与原来形状,减小由于形状差异过大带来
的误差。
若形状相差过大,使结构应力分析困难加大,误差同时也
加大。
2.7剖分网格时,在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界,试说明理由。
答:
有限元处于弹性力学问题的方法是离散法。
它将一个受外力作
用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体,单元之间
只在结点上相互联系,即只有结点才能传递力。
所以在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点和单元边界。
2.8为什么说三角形三结点单元是常应变单元,如果在每边中点增加一个结点,那么单元内应力如何分布?
答:
(1)应变矩阵[b]中的参数bi、bj、bm、ci、cj、cm由坐标变量
x、y之差确定。
当单元的坐标差确定之后,这些参数与坐标变量x、
y无关,
因此[b]为常量阵。
当单元的结点位移{a}确定后,由[b]转换求得的单元应变都是常量,也就是说在荷载作用下单元中各点具有统一的?
x?
y?
xy值。
因此三结点三角形单元称为常应变单元。
(2)如果在每边中点增加一个结点,单元内的应力为线性分布。
习题
2.1试证明x、y与面积坐标的关系证明:
设p点坐标为(x,y)apij?
1
2xx
i
yyyj
i
xj
1
?
?
xiyj?
yix?
xjy?
xiy?
xjyi?
xyj?
21
?
?
?
xiyj?
xjyi?
?
?
yi?
yj?
x?
?
xj?
xi?
y?
2
1
?
?
am?
bmx?
cmy?
2
同理可求得:
apjm
1
?
xj2xm1?
xm2xixx1yj?
?
ai?
bix?
ciy?
2由面积坐标定ymyyymyi义得:
apmi
1apjm?
?
aj?
bjx?
cjy?
1?
ai?
bix?
ciy?
li?
?
2aijm2aapmi1?
aj?
bjx?
cjy?
lj?
?
aijm2alm?
apijaijm
1?
am?
bmx?
cmy?
?
2a由此推出坐标x、y与面积坐标的函数关系:
?
2a?
cjli?
cilj?
?
ajci?
aicj?
x?
bicj?
bjci?
?
2a?
bmlj?
bjlm?
?
ambj?
bmaj?
?
y?
bmcj?
bjcm?
面积:
式(2.1)2a?
ai?
aj?
am?
bicj?
bjci?
bjcm?
bmcj?
bmci?
bicm代入式(2.1)有:
x?
cjli?
cilj?
ajci?
aicjbicj?
bjciambj?
ajbmbmcj?
bjcmy?
bjlm?
bmlj?
其中形状参数由下式确定:
ai?
xjxmyjymyjymxj
?
xjym?
xmyj?
yj?
ym
bi?
?
ci?
代入上式(2.1)可转化为:
xm
?
?
xj?
xmx?
xili?
xjlj?
xmlmy?
yili?
yjlj?
ymlm再加上1?
li
?
lj?
lm所以用面积坐标表示直角坐标矩阵形式如下:
?
1?
?
1?
?
?
?
x?
?
?
xi?
y?
?
?
?
?
yi
1xjyj
1?
?
li?
?
?
?
xm?
?
lj?
?
?
ym?
?
?
lm?
2.2试证明两相似三角形的单元刚度矩阵相同。
a1
?
h,h为一常数。
证明:
由于两个三角形相似,故设a2三角形:
a1?
1
?
bi1cji?
bj1ci1?
2
bi1?
yj1?
ym1ci1?
?
xj1?
xm1bj1?
ym1?
yi1
cj1?
?
xm1?
xi1
参数bi、bj、ci、cj?
,只与坐标差有关,所以
【篇三:
有限元复习题及答案(2013)】
.对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元。
10.等参元是指单元坐标变换和函数插值采用相同的结点和相同的插
值函数。
V11有限元位移模式中,广义坐标的个数应与单元结点自由度数相等V
12.为了保证有限单元法解答的收敛性,位移函数应具备的条件是位移函数必须能反映单元的刚体位移和常量应变以及尽可能反映单元间的位移连续性。
V
13.在平面三结点三角形单元中,位移、应变和应力具有位移呈线形变化,应力和应变为常量特征。
V
1.梁单元和杆单元的区别?
(自己分析:
自由度不同)杆单元只能承受拉压荷载,梁单元则可以承受拉压弯扭荷载。
具体的说,杆单元其实就是理论力学常说的二力杆,它只能在结点受载荷,且只有结点上的荷载合力通过其轴线时,杆件才有可能平衡,像均布荷载、中部集中荷载等是无法承担的,通常用于网架、桁架的分析;而梁单元则基本上适用于各种情况(除了楼板之类),且经过适当的处理(如释放自由度、耦合等),梁单元也可以当作杆单元使用。
2.有限单元法结构刚度矩阵的特点?
对称性,奇异性,主对角元恒
正,稀疏性,非零元素呈带状分布。
3.有限单元法的收敛性准则?
完备性要求,协调性要求。
位移模式要满足以下三个条件包含单元的刚体位移。
当结点位移由体位移引起时,弹性体内不会产生应变。
包含单元的常应变。
与位置坐标无关的应变。
位移模式在单元内要连续,在相邻单元之间的位移必须协调。
当选择多项式来构成位移模式时,单元的连续性总得到满足,单元的协调性就是要求单元之间既不会出现开裂也不会出现重叠的现象。
。
4.任何一个有限元分析问题都是空间问题,什么情况下可以简化为平面问题?
轴对称问题?
空间梁问题?
为什么?
当物体具有特殊形状,受特殊的外力特殊的位移约束时,空间问题就可以简化成平面问题,此时,问题的几何和力学量仅仅是二维坐标的函数,所求未知力学量只是二维空间内的分量,因为平面问题模型下所得到的结果能满足工程上的精度要求,而分析计算工作量大大减少,如卷土墙、重力坝。
如果弹性体的几何形状、约束状态以及外载荷都对称于某一根轴(过该轴的任意平面都是对称平面),那么弹性体的所有应力分量、应变分量和位移分量也就对称于这根轴,这样的问题就可以转换为轴对称问题,因为轴对称问题是平面图形绕面内一轴旋转所产生的空间物体,如烟囱、储液灌等受恒载作用。
当构件的长度远大于其横截面尺寸,主要承受弯曲变形时,如传动轴、梁杆等,这样的问题就可以转换为空间梁问题。
5、什么是等参元?
等参元有哪些优点?
6.阐述有限元的基本思想。
试从有限元程序开发和采用成熟软件进行有限元分析两方面阐述(自己总结)!
!
!
!
!
!
。
有限元的基本思想是将结构离散化,用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象,单元之间通过有限个结点相互连接,然后根据变形协调条件综合求解。
由于单元的数目是有限的,结点的数目也是有限的,所以称为有限单元法。
有限元程序开发:
有限元程序分为前处理,有限元分析本体以及后处理三个部分。
本体部分集中了原理和数值方法,根据离散模型的数据文件进行分析。
离散模型的数据文件主要包括模型的结点数、结点坐标、单元编码、材料和载荷信息等。
实际工程问题的离散模型数据文件十分庞大,有限元程序必须有前处理程序自动地或半自动地生成离散模型的数据文件并绘制结构计算简图和网格图。
有限元分析程序的计算结果是由离散模型而得到的,输出的数据量大不易整理,因此它还应具有较强的后处理功能,使其能够提供应力云图等图形,以及列表显示或打印结果。
成熟软件:
有限元分析可分成三个阶段,前置处理、计算求解和后置处理。
前处理器定义单元类型,定义实常数,定义材料属性,创建实体几何模型,划分网络;求解器定义分析类型,施加载荷和位移约束条件,求解;后处理器提供结果输出。
7.有了本门课程的有限元分析技术基础,如果以后涉足机械方面的有限元分析,你觉得应从哪些方面深化学习和开展工作,具体采用哪些方式?
有限元分析技术是解决工程实际问题的一种有力的数值计算工具,在许多科学领域得到了广泛的应用。
针对以后所涉及的机械结构有限元分析问题,我觉得应从以下几个方面深化学习:
①熟练掌握有限元的相关理论和知识,对理论力学、材料力学以及结构力学有一定的了解,能够将工程实际问题简化为合理的力学模型。
2有限元最终是通过程序实现的,有限元的理论研究与编程密不可分。
应用有限元程序演算力学问题,是深化学习有限元的必要手段。
3将有限元分析技术更多的运用到工程实际问题中,通过实践来获得处理工程问题的经验,加深有限元的学习。
措施:
阅读书籍,掌握有限元相关的理论知识;在网络论坛与大家分享学习的经验;具体实例操作;争取参加相关项目,通过团队实践合作了解相关知识.深化学习.开展工作(经过这个学习及两个这段时间的学习.我了解到从事有限元分析一种是使用有限元软件分析工程问题,另一种是对软件进行补丁升级,当然在使用的过程中发现问题,从而进一步开发升级软件也是一种方式.从目前来看,以后主要从事的是软件开发升级工作.这就要求不仅是软件的使用,还有掌握一定计算机软件开发语言,例如c,c++,bcb.对于自己的研究方向有认识,多和团队成员讨论请教,加快
融入项目组.1)掌握理论,包括专业的理论力学,材料力学,结构力学等,还有开发相关书籍,c,c++,bcb等.
2)了解相关软件的思想,例如本门课程了解的就是ansys的基本思想利用网络资源收集相关资料.3)运用所开发的软件到实际,发现问题,解决问题.
1、对于图示划分为三角形单元平面结构,写出整体刚度矩阵的表达式。
(即只组集总体刚
度矩阵,不计算单元刚度矩阵)解:
对各单元节点编号,各单元刚度矩阵为:
11
?
k33k32
11
?
k?
1?
?
kk?
2322
11?
k13k12?
12
?
?
k22k31
?
221?
?
k?
?
k32k21
?
?
1?
2?
k42k11?
?
22
?
k23k24
22?
k33k34
?
22?
k43k44
?
2
1
?
k?
k?
3?
?
?
k
?
k?
355345335
kkk
354344334
?
kk?
?
?
4
k?
?
k?
?
?
k
?
kk?
?
?
3
53343333444454464
kkk
445455465
k?
?
k?
k?
?
446456466
组集各单元刚度矩阵,得到总体刚度矩阵:
1?
k11?
1?
k21
1?
k31
?
k?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k?
?
?
k?
对称?
?
?
?
?
k?
?
?
k?
?
k?
?
?
k?
?
?
k?
?
?
k?
?
k?
?
?
k?
?
k?
?
?
k?
?
?
k?
?
?
k?
?
k?
?
?
k?
?
k?
?
?
k?
?
?
?
k?
?
k?
?
k?
?
?
122132
222232
133
233
333
242
243
343
244
344444353
354454
354454
464
465
466
2、试利用形函数的性质求出图示四节点矩形单元的形函数分量n1(?
?
)。
解:
根据形函数性质:
(-11)
4(11)3?
1i?
jni(xi,xj)?
?
?
0i?
j
对于结点1而言,n1(?
?
)在结点2、3、4处的值为0。
而通过结点
2、3的直线方程和通过结点3、4的直线方程分别为:
?
2(1-1)
1(-1-1)
1?
?
?
0,1?
?
?
0故设:
n1(?
?
)?
?
?
1?
?
?
?
1?
?
?
■■I■■■■I■■■
而结点1的形函数n1(?
?
)在结点1处的值为1,故将结点1的坐标代入上式,得
n1(?
1,?
1)?
?
?
1?
1?
?
1?
1?
?
1解得?
?
1/4
因而n
1(?
?
)?
1?
1?
?
?
?
1?
?
?
4
■!
■■■■!
■■■I
3、如图桁架单元,结点坐标如图所示,已知面积a?
10cm,材料
e?
2.0gpa,整体坐
2
1.51.0标下的位移为?
?
?
?
?
e2.04.0?
?
10?
2cm。
试确定两结点的轴向位移?
?
?
和杆e的应力。
解:
I
?
x2?
x12?
y2?
y12
?
50?
102?
40?
102?
50(cm)cos?
?
x2?
x150?
10?
?
0.8
I50y2?
y140?
10
?
?
0.6
l50sin?
?
2)求结点位移
由式(13-16),注意到vi?
vj?
0,得?
ui?
?
cos?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
uj?
?
0esin?
00cos?
?
ui?
?
?
0?
?
vi?
?
u?
?
sin?
?
?
j?
?
vj?
?
?
?
1.5?
?
0?
?
?
0.80.60?
1.8?
?
1.0?
?
2?
2
?
?
?
?
?
10?
?
?
?
10(cm)?
00.80.6?
?
2.0?
?
0?
4.0?
?
?
4.0?
?
3)求解杆应力由式(13-24)?
?
e
?
?
cos?
l
?
sin?
cos?
sin?
?
?
?
?
e
?
1.5?
?
1.0?
2?
109?
?
?
262?
?
0.8?
0.60.80.6?
?
?
?
10?
8.8?
10n/cm?
50?
2.0?
?
?
4.0?
?
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