离散数学 第二章 谓词演算及其形式系统.docx
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离散数学第二章谓词演算及其形式系统
第二章 谓词演算及其形式系统
2.1个体、谓词和量词
内容提要
谓词演算中把一切讨论对象都称为个体,它们可以是客观世界中的具体客体,也可以是抽象的客体,诸如数字、符号等。
确定的个体常用a,b,c等到小写字母或字母串表示。
a,b,c等称为常元(constants)。
不确定的个体常用字母x,y,z,u,v,w等来表示。
它们被称为变元(variables)。
谓词演算中把讨论对象——个体的全体称为个体域(domainofindividuals)),常用字母D表示,并约定任何D都至少含有一个成员。
当讨论对象遍及一切客体时,个体域特称为全总域(universe),用字母U表示。
例如,当初中学生说“所有数的平方非负”时,实数集是个体域;而达尔文在写《物种起源》时,则以全体生物为个体域;也许哲学家更偏爱全总域。
讨论常常会涉及多种类型个体,这时使用全总域也是比较方便的。
当给定个体域时,常元表示该域中的一个确定的成员,而变元则可以取该域中的任何一个成员为其值。
表示D上个体间运算的运算符与常元、变元组成所谓个体项(terms)。
例如,x+y,x2等。
我们把语句中表示个体性质和关系的语言成分(通常是谓语)称为谓词(predicate)。
谓词携有可以放置个体的空位,当空位上填入个体后便产生一个关于这些个体的语句,它断言个体具有谓词所表示的性质和关系。
通常把谓词所携空位的数目称为谓词的元数。
谓词演算中的量词(quantifiers)指数量词“所有”和“有”,分别用符号(All的第一个字母A的倒写)和(Exist的第一个字母E的反写)来表示。
为了用量词和分别表示个体域中所有个体和有些个体满足一元谓词P,需引入一个变元,同时用作量词的指导变元(放在量词后)和谓词P的命名式变元:
xP(x)读作“所有(任意,每一个)x满足P(x)”。
表示个体域中所有的个体满足谓词P(x)。
xP(x)读作“有(存在,至少有一个)x满足P(x)”。
表示个体域中至少有一个体满足P(x)。
当量词用于一谓词或复合的谓词表达式式,该谓词或复合的谓词表达式称为量词的辖域(domainsofquantifiers)。
因此,量词的辖域或者是紧邻其右侧的那个谓词;或者是其右侧第一对括号内的表达式。
当然,量词辖域内与该量词指导变元同一的变元都是约束变元。
例如
x(A(x)→B(x))∨C(x)
中x的辖域是A(x)→B(x),其中的x是约束变元;但C(x)不在辖域内,其中的x则是自由变元;xA(x)∧B(x)中x的辖域是A(x),其中x是约束变元,而B(x)中x为自由变元。
定义2.1以下条款规定的符号串称为谓词公式(predicateforrmula),简称公式。
(1)谓词填式是公式,命题常元是公式(看作零元谓词)。
(2)如果A,B是公式,x为任一变元,那么(┐A),(A→B),(xA),(xA)(当使用五个联结词时还有(A∧B),(A∨B),(AB))都是公式。
(3)只有有限步使用
(1),
(2)条款所形成的符号串是公式。
括号省略原则同前,并约定,(xA),(xA)中最外层括号也可省略。
习题解答
练习2.1
1、指出下列谓词公式中的量词及其辖域,指出各自由变元和约束变元,并回答它们是否是命题:
(1)x(P(x)∨Q(x))∧R(R为命题常元)
(2)x(P(x)∧Q(x))∧xS(x)→T(x)
(3)x(P(x)→y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))
(4)P(x)→(yx(P(x)∧B(x,y))→P(x))
解
(1)全称量词,辖域P(x)∨Q(x),其中x为约束变元,x(P(x)∨Q(x))∧R是命题。
(2)全称量词,辖域P(x)∨Q(x),其中x为约束变元。
存在量词,辖域S(x),其中x为约束变元。
T(x)中x为自由变元。
x(P(x)∧Q(x))∧xS(x)→T(x)不是命题。
(3)全称量词,辖域P(x)→y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y),其中x为约束变元,T(y)中y为自由变元。
存在量词,辖域B(x,y)∧Q(y),其中y为约束变元。
x(P(x)→y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))是命题。
(4)全称量词,辖域x(P(x)∧B(x,y)),其中y为约束变元。
存在量词,辖域P(x)∧B(x,y),其中x为约束变元。
不在量词辖域中的P(x)中的x为自由变元。
P(x)→(yx(P(x)∧B(x,y))→P(x))不是命题。
2、对个体域{0,1}判定下列公式的真值,E(x)表示“x是偶数”:
(1)x(E(x)→┐x=1)
(2)x(E(x)∧┐x=1)
(3)x(E(x)∧x=1)
(4)x(E(x)→x=1)
再将它们的量词消去,表示成合取或析取命题公式,鉴别你所确定的真值是否正确。
解
(1)x(E(x)→┐x=1)真
x(E(x)→┐x=1)可表示成命题公式(E(0)→┐0=1)∧(E
(1)→┐1=1)
其中E(0)→┐0=1真,E
(1)→┐1=1也真,故(E(0)→┐0=1)∧(E
(1)→┐1=1)真。
(2)x(E(x)∧┐x=1)假
x(E(x)∧┐x=1)可表示成命题公式(E(0)∧┐0=1)∧(E
(1)∧┐1=1)
其中E(0)∧┐0=1真,但E
(1)∧┐1=1假,故(E(0)∧┐0=1)∧(E
(1)∧┐1=1)假。
(3)x(E(x)∧x=1)假
x(E(x)∧x=1)可表示成命题公式(E(0)∧0=1)∨(E
(1)∧1=1)
其中E(0)∧0=1假,E
(1)∧1=1也假,故(E(0)∧0=1)∨(E
(1)∧1=1)假。
(4)x(E(x)→x=1)真
x(E(x)→x=1)可表示成命题公式(E(0)→0=1)∨(E
(1)→1=1)
其中E(0)→0=1假,但E
(1)→1=1真,故(E(0)→0=1)∨(E
(1)→1=1)真。
3、设整数集为个体域,判定下列公式的真值(表示数乘运算):
(1)xy(xy=x)
(2)xy(xy=1)
(3)xy(x+y=1)
(4)yx(xy=x)
(5)yx(x+y=0)
(6)xy(x+y=0)
解
(1)xy(xy=x)真
(2)xy(xy=1)假
(3)xy(x+y=1)真
(4)yx(xy=x)真
(5)yx(x+y=0)假
(6)xy(x+y=0)真
4、量词!
表示“有且仅有”,!
xP(x)表示有且仅有一个个体满足谓词P(x)。
试用量词,,,等号“=”及谓词P(x),表示!
P(x),即写出一个通常的谓词公式使之与!
xP(x)具有相同的意义。
解!
xP(x)可用以下具有相同的意义的谓词公式表示
x(P(x)∧y(P(y)→y=x))
5、设个体域为整数集,试确定两个谓词P(x,y),分别使得下列两个蕴涵式假:
(1)x!
yP(x,y)→!
yxP(x,y)
(2)!
yxP(x,y)→x!
yP(x,y)
解
(1)当P(x,y)表示x+y=0时x!
yP(x,y)→!
yxP(x,y)为假。
(2)当P(x,y)表示xy=0时!
yxP(x,y)→x!
yP(x,y)为假(表示数乘运算)。
因为只有数0对一切整数x,有x0=0,从而前件真;但对数0,可有众多y,使0y=0,从而后件假。
6、指定整数集的一个尽可能大的子集(如果存在)为个体域,使得下列公式为真:
(1)x(x>0)
(2)x(x=5∨x=6)
(3)xy(x+y=3)
(4)yx(x+y<0)
解
(1)对正整数集个体域,x(x>0)为真
(2)对5,6,x(x=5∨x=6)为真
(3)对整数集,xy(x+y=3)为真
(4)使得yx(x+y<0)为真的整数集的尽可能大的子集不存在。
7、以实数集为个体域,用谓词公式将下列语句形式化:
(1)如果两实数的平方和为零,那么这两个实数均为零。
(2)f(x)为一实函数当且仅当对每一实数x都有且只有一个实数y满足y=f(x)(不得使用量词!
。
“f(x)为实函数”可译为RF(f))。
解
(1)xy(x2+y2=0→x=0y=0)。
(2)RF(f)xy(y=f(x)∧┐z(z≠y∧z=f(x)))
8、用谓词公式将下列语句形式化:
(1)高斯是数学家,但不是文学家。
(2)没有一个奇数是偶数。
(3)一个数既是偶数又是质数,当且仅当该数为2。
(4)有的猫不捉耗子,会捉耗子的猫便是好猫。
(5)发亮的东西不都是金子。
(6)不是所有的男人都至少比一个女人高,但至少有一个男人比所有的女人高。
(7)一个人如果不相信所有其他人,那么他也就不可能得到其他人的信任。
(8)如果别的星球上有人,天文学家是不会感到惊讶的。
(9)党指向哪里,我们就奔向那里。
(10)谁要是游戏人生,他就一事无成;谁不能主宰自己,他就是一个奴隶。
(歌德)
解
(1)M(x)表示“x是数学家”,A(x)表示“x是天文学家”,g表示“高斯”,原句可表示为
M(g)∧┐A(g)
(2)O(x)表示“x是奇数”,E(x)表示“x是偶数”,原句可表示为
┐x(O(x)∧E(x))
(3)O(x)表示“x是奇数”,E(x)表示“x是偶数”,原句可表示为
x(O(x)∧E(x)x=2)
(4)C(x)表示“x是猫”,M(x)表示“x是老鼠”,G(x)表示“x是好的”,K(x,y)表示“x会捉y”,原句可表示为
x(C(x)∧y(M(y)→┐K(x,y))∧x(C(x)∧y(M(y)→K(x,y))→G(x))
(5)G(x)表示“x是金子”,L(x)表示“x是发亮的”,原句可表示为
┐x(L(x)→G(x))
(6)M(x)表示“x是男人”,F(x)表示“x是女人”,H(x,y)表示“x比y高”,原句可表示为
┐x(M(x)→y(F(y)∧H(x,y)))∧x(M(x)∧y(F(y)→H(x,y)))
(7)M(x)表示“x是人”,B(x,y)表示“x相信y”,原句可表示为
x(M(x)∧┐y(M(y)∧x≠y∧B(x,y))→┐y(M(y)∧x≠y∧B(y,x)))
(8)C(x)表示“x是星球”,M(x)表示“x是人”,A(x)表示“x是天文学家”,e表示“地球”,H(x,y)表示“x有y”,S(x)表示“x惊讶”,原句可表示为
x(C(x)∧x≠e∧y(M(y)∧H(x,y)))→x(A(x)→┐S(x))
(9)Q(x,y)表示“x指向y”,J(x,y)表示“x奔向y”,party表示“党”,we表示“我们”,原句可表示为
x(Q(party,x)→J(we,x))
(10)M(x)表示“x是人”,K(x)表示“x游戏人生”,L(x)表示“x一事无成”,H(x,y)表示“x主宰y”,N(x)表示“x是奴隶”,原句可表示为
x(M(x)∧K(x)→L(x))∧x(┐H(x,x)→N(x))
2.2谓词演算永真式
内容提要
定义2.2给定个体域D及公式A中各谓词符号的解释I,如果A中个体变元x1,…,xn分别取值u1,…,un时A真,则称A在u1,…,un处真;当x1,…,xn无论取D中怎样的个体u1,…,un,A在u1,…,un处均真,则称A在解释I下真。
定义2.3给定个体域D,若公式A在每一解释I下均真,那么称A在D上永真。
若公式A对任何个体域D均有D上永真,则称A为永真式,或称A永真(valid)。
A永真仍记为┝A。
沿用命题演算中引入的一些符号和称呼:
A┝B表示“A→B”永真,称A逻辑蕴涵B。
A┝B当且仅当对任意个体域和解释,一切使A真的变元取值状况均使B亦真。
┝A同前,可作类似的定义。
A┝┥B表示“AB”永真,称A逻辑等价B。
A┝┥B当且仅当对一切域、解释和变元取值状况,A与B都具有相同的真值。
定义2.4公式A称为可满足的,如果对某一个体域、某一解释和变元的某一取值状况,A在此处取值真。
公式A不可满足时也称A为永假式。
谓词演算永真式
(1)所有重言式。
首先,由于谓词演算中允许使用命题常元,因而谓词公式中仍包含命题公式,其中的重言式显然在谓词演算中仍然是永真式。
(2)当A不含自由变元x时,
xA┝┥A,xA┝┥A
(3)xA(x)┝A(x)
A(x)┝xA(x)
xA(x)┝xA(x)
(4)┐x┐A(x)┝┥xA(x)
┐x┐A(x)┝┥xA(x)
┐xA(x)┝┥x┐A(x)
┐xA(x)┝┥x┐A(x)
(5)当公式B中不含自由变元x时,
xA(x)∨B┝┥x(A(x)∨B)
xA(x)∧B┝┥x(A(x)∧B)
xA(x)∨B┝┥x(A(x)∨B)
xA(x)∧B┝┥x(A(x)∧B)
(6)上一组永真式中的公式B若含自由变元x,情况就要复杂一些。
x(A(x)∧B(x))┝┥xA(x)∧xB(x)
xA(x)∨xB(x)┝x(A(x)∨B(x))
x(A(x)∧B(x))┝xA(x)∧xB(x)
x(A(x)∨B(x))┝┥xA(x)∨xB(x)
(7)xyA(x,y)┝┥yxA(x,y)
xyA(x,y)┝yxA(x,y)
yxA(x,y)┝xyA(x,y)
xyA(x,y)┝yxA(x,y)
xyA(x,y)┝┥yxA(x,y)
(8)当C中无自由变元x时,
x(C→A(x))┝┥C→xA(x)
x(C→A(x))┝┥C→xA(x)
x(A(x)→B(x))┝xA(x)→xB(x)
定义2.5设谓词公式A中含自由变元x,设t为一个体项,且t中无自由变元为A中的约束变元,那么称t是在A中对x可代入的,其代入实例记为A(t/x)(代入的意义同前)。
定理2.1(代入原理)若A是永真式,那么对A中变元可代入的代入实例都是永真式。
由于A永真,因此它的取值与A中变元的取值无关,故其代入实例仍为永真式。
定理2.2(替换原理)设A,D为谓词公式,C为A的子公式,且C┝┥D。
若B为将A中子公式C的某些出现(未必全部)替换为D后所得的公式,那么A┝┥B。
△定义2.6设A为仅含联结词┐,∨,∧的谓词公式,A*为将A中符号∨,∧,t,f,,分别换为∧,∨,f,t,,后所得的公式,那么称A*为A的对偶式。
注意,第一章中关于对偶式的一切讨论,现在对于谓词演算都仍然成立。
定理2.3(改名原理)若公式A中无自由变元y,那么,
xA(x)┝┥yA(y),xA(x)┝┥yA(y)
习题解答
练习2.2
1、1、 利用量词意义或利用已经证明了的永真式及几个基本原理,证明2.2.2节第
(2)—(8)组永真式中尚未证明的各式。
解证(3)之bA(x)┝xA(x)
设U,I,s分别是使A(x)真的个体域、解释和指派,s(x)=dU,那么A(d)真,因此对个体域U、解释I,xA(x)也真。
证(3)之cxA(x)┝xA(x)
由xA(x)┝A(x)和xA(x)┝xA(x)立即可得。
证(4)之b┐x┐A(x)┝┥xA(x)
设U,I是使┐x┐A(x)真的个体域和解释,那么并非U中的所有个体都使得解释I下的谓词A(x)假,,因此U中有个体使得解释I下的谓词A(x)真,故个体域U和解释I下xA(x)真。
上述证明是可逆的,所以┐x┐A(x)┝┥xA(x)得证。
证(4)之cx┐A(x)┝┥┐xA(x)
在(4)之a中取A(x)为┐A(x)即可得本式。
证(4)之d┐xA(x)┝┥x┐A(x)
在(4)之b中取A(x)为┐A(x)即可得本式。
证(5)之axA(x)∨B┝┥x(A(x)∨B)
设U,I是使xA(x)∨B真的个体域和解释,那么
1)U,I使B真。
于是U,I使A(x)∨B对一切x均真,因此U,I使x(A(x)∨B)。
2)U,I使xA(x)真。
于是U,I使A(x)对一切x均真,从而对一切x,A(x)∨B真,因此U,I使x(A(x)∨B)。
故xA(x)∨B┝x(A(x)∨B)。
上述证明是可逆的,所以xA(x)∨B┝┥x(A(x)∨B)得证。
证(5)之bxA(x)∧B┝┥x(A(x)∧B)
仿(5)之a可证。
证(5)之dxA(x)∧B┝┥x(A(x)∧B)
xA(x)∧B┝┥┐(┐(xA(x)∧B))
┝┥┐(┐xA(x)∨┐B)
┝┥┐(x┐A(x)∨┐B)(据(4)之c)
┝┥┐x(┐A(x)∨┐B)(据(5)之a)
┝┥x┐(┐A(x)∨┐B))(据(4)之d)
┝┥x(A(x)∧B)
证(6)之ax(A(x)∧B(x))┝┥xA(x)∧xB(x)
设U,I是使x(A(x)∧B(x))真的个体域和解释,那么对任意dU,A(d)∧B(d)真。
因此,对任意dU,A(d)真,对任意dU,B(d)真。
故U,I是使xA(x)∧xB(x))真。
x(A(x)∧B(x))┝xA(x)∧xB(x)得证。
上述证明是可逆的,所以x(A(x)∧B(x))┝┥xA(x)∧xB(x)得证。
证(6)之bx(A(x)∨B(x))┝┥xA(x)∨xB(x)
x(A(x)∨B(x))┝┥┐(┐x(A(x)∨B(x)))
┝┥┐(x(┐A(x)∧┐B(x)))(据(4)之c)
┝┥┐(x┐A(x)∧x┐B(x))(据(6)之a)
┝┥┐(┐xA(x)∧┐xB(x))(据(4)之d)
┝┥xA(x)∨xB(x))
证(7)之axyA(x,y)┝┥yxA(x,y)
个体域和解释U,I使xyA(x,y)真的意义,与个体域和解释U,I使yxA(x,y)真的意义相同,因此xyA(x,y)┝┥yxA(x,y)。
证(7)之bxyA(x,y)┝yxA(x,y)
由xyA(x,y)┝┥yxA(x,y)和yxA(x,y)┝yxA(x,y)立即可得。
证(7)之cyxA(x,y)┝xyA(x,y)
设U,I是使yxA(x,y)真的个体域和解释,那么有cU,使得对任意dU,A(c,d)真。
因此,对任以dU,总可取cU,使得A(c,d)真。
故U,I也使xyA(x,y)真。
yxA(x,y)┝xyA(x,y)得证。
证(7)之dxyA(x,y)┝yxA(x,y)
由xyA(x,y)┝xyA(x,y)和xyA(x,y)┝┥yxA(x,y)((7)之e,下面给出证明)立即可得。
证(7)之exyA(x,y)┝┥yxA(x,y)
xyA(x,y)┝┥┐(┐xyA(x,y))
┝┥┐(xy┐A(x,y))(据(4)之c)
┝┥┐(yx┐A(x,y))(据(7)之a)
┝┥yxA(x,y)(据(4)之b)
证(8)之ax(C→A(x))┝┥C→xA(x)(C中无自由变元x)
设U,I是使x(C→A(x))真的个体域和解释,那么对任意dU,C→A(d)真。
此时
1)C假,则C→xA(x)真。
2)C真,那么对任意dU,A(d)真,即xA(x)真,因此C→xA(x)真。
故个体域和解释U,I使C→xA(x)真,x(C→A(x))┝ C→xA(x)得证。
上述证明是可逆的,所以x(C→A(x))┝┥C→xA(x)得证。
证(8)之bx(C→A(x))┝┥C→xA(x)(C中无自由变元x)
仿(8)之a可证。
2、证明下列逻辑蕴涵式及逻辑等价式(方法不限):
(1)xP(x)→xQ(x)┝x(P(x)→Q(x))
证xP(x)→xQ(x)┝┐xP(x)∨xQ(x)
┝x┐P(x)∨xQ(x)
┝x(┐P(x)∨Q(x))
┝x(P(x)→Q(x))
(2)P(x)∧xQ(x)┝x(P(x)∧Q(x))
证P(x)∧xQ(x)┝P(x)∧Q(x)
┝x(P(x)∧Q(x))
(3)xy(P(x)∨Q(y))┝┥xP(x)∨yQ(y)
证xy(P(x)∨Q(y))┝┥x(P(x)∨yQ(y))
┝┥xP(x)∨yQ(y)
(4)xy(P(x)∧Q(y))┝┥xP(x)∧yQ(y)
证xy(P(x)∧Q(y))┝┥x(P(x)∧yQ(y))
┝┥xP(x)∧yQ(y)
(5)xy(P(x)→Q(y))┝┥xP(x)→yQ(y)
证xy(P(x)→Q(y))┝┥xy(┐P(x)∨Q(y))
┝┥x(┐P(x)∨yQ(y))
┝┥x┐P(x)∨yQ(y)
┝┥┐xP(x)∨yQ(y)
┝┥xP(x)→yQ(y)
(6)xy(P(x)→Q(y))┝┥xP(x)→yQ(y)
证xy(P(x)→Q(y))┝┥xy(┐P(x)∨Q(y))
┝┥x(┐P(x)∨yQ(y))
┝┥x┐P(x)∨yQ(y)
┝┥┐xP(x)∨yQ(y)
┝┥xP(x)→yQ(y)
3、试举出一个个体域及两种解释,分别证明第2题之
(1)
(2)的逆不能成立。
解第2题之
(1)。
取个体域为自然数集合,P(x)表示:
x为不等于2的质数,Q(x)表示:
x为奇数,那么x(P(x)→Q(x))真,xP(x)→xQ(x)假(xP(x)假,而xQ(x)真)。
故x(P(x)→Q(x))┝xP(x)→xQ(x)不能成立。
第2题之
(2)
取个体域为自然数集合,P(x)表示:
x等于2,Q(x)表示:
x为偶数,指派P(x)中自由变元x=3,那么x(P(x)∧Q(x))真,P(x)∧xQ(x)假。
x(P(x)∧Q(x))┝P(x)∧xQ(x)不能成立。
4、设个体域D=d1,…,dn,试用消去量词的方法证明下列基本逻辑等价式:
(1)┐xA(x)┝┥x┐A(x)
解┐xA(x)┝┥┐(A(d1)∧…∧A(dn))
┝┥┐A(d1)∨…∨┐A(dn)
┝┥x┐A(x)
(2)xA(x)∧P┝┥x(A(x)∧P)(P为命题常元)
解xA(x)∧P┝┥(A(d1)∧…∧A(dn))∧P
┝┥(A(d1)∧P)∧…∧(A(dn)∧P)
┝┥x(A(x)∧P)
(3)xA(x)∨xB(x)┝x(A(x)∨B(x))
解xA(x)∨xB(x)┝┥(A(d1)∧…∧A(dn))∨(B(d1)∧…∧B(dn))
┝(A(d1)∨(B(d1))∧…∧(A(dn))∨(B(dn))
┝x(A(x)∨B(x))
(4)xA(x)∨xB(x)┝┥x(
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- 离散数学 第二章 谓词演算及其形式系统 第二 谓词演算 及其 形式 系统