一个数(0除外)乘等于1的数,积等于这个数。
a×b=c,当b=1时,c=a
(三)分数乘加、乘减混合运算及简算
1、分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序相同。
2、整数乘法的运算定律对于分数乘法也同样适用。
3、合理地应用运算定律,可以使一些分数计算变得简便。
(四)求一个数的几分之几是多少的问题
解决问题(已知单位“1”的量(用乘法),求单位“1”的几分之几是多少)
1、画线段图:
(1)两个量的关系:
画两条线段图;
(2)部分和整体的关系:
画一条线段图。
2、找单位“1”:
在分率句中分率的前面;或“占”、“是”、“比”的后面
3、求一个数的几倍:
一个数×几倍;求一个数的几分之几是多少:
一个数×。
4、写数量关系式技巧:
(1)“的”相当于“×”“占”、“是”、“比”相当于“=”
(2)分率前是“的”:
单位“1”的量×分率=分率对应量
(3)分率前是“多或少”的意思:
单位“1”的量×(1分率)=分率对应量
二.分数除法
(一)倒数的认识
1、乘积是1的两个数互为倒数。
强调:
互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在。
(要说清谁是谁的倒数)。
2、求一个数(0除外)的倒数的方法:
(1)、求分数的倒数:
交换分子分母的位置。
(2)、求整数的倒数:
把整数看做分母是1的分数,再交换分子分母的位置。
(3)、求带分数的倒数:
把带分数化为假分数,再求倒数。
(4)、求小数的倒数:
把小数化为分数,再求倒数。
3、1的倒数是1;0没有倒数。
因为1×1=1;0乘任何数都得0,(分母不能为0)
4、对于任意数,它的倒数为;非零整数的倒数为;分数的倒数是;
5、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。
(二)分数除法
1、意义:
与整数除法的意义相同,都是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
2、计算方法:
甲数除以乙数(0除外)等于甲数乘乙数的倒数。
(三)已知一个数的几分之几是多少,求这个数的问题的解法
1、除法:
多少÷一个数
2、方程解法:
设这个数为x,几分之几×x=多少
(四)已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少,求这个数的问题的解法
1、组合除法:
多少÷(1±几分之几)
2、方程解法:
设这个数为x,x±几分之几×x=多少
三.比
(一)比的意义
1、比的意义:
两个数相除又叫两个数的比。
2、比与分数、除法的关系:
3、区分比和比值
比:
表示两个数的关系,可以写成比的形式,也可以用分数表示。
比值:
相当于商,是一个数,可以是整数,分数,也可以是小数。
4、根据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分数形式。
5、比和除法、分数的联系:
比
前项
比号“:
”
后项
比值
除法
被除数
除号“÷”
除数
商
分数
分子
分数线“—”
分母
分数值
6、比和除法、分数的区别:
除法是一种运算,分数是一个数,比表示两个数的关系。
7、根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为0。
体育比赛中出现两队的分是2:
0等,这只是一种记分的形式,不表示两个数相除的关系。
(二)比的基本性质
1,比的基本性质:
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
2,化简比:
把两个数的比化成最简单的整数比。
依据
比的
基本
性质:
(1)按化简整数比的方法来化简。
①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
②两个分数的比:
用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再
③两个小数的比:
向右移动小数点的位置,先化成整数比再化简。
(2)用求比值的方法。
注意:
最后结果要写成比的形式。
如:
15∶10=15÷10==3∶2
(三)比的应用
按比例分配问题的解题方法:
先求出总份数,再求各部分量占总量的几分之几,最后求出各部分量。
四.百分数
(一)百分数的意义
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分数。
百分数也叫百分率或百分比。
(二)百分数与小数的互化
“添右去左”
(三)百分数与分数的互化
1.百分数化成分数的方法:
先把百分数改写成分母是100的分数,再化成最简分数。
2.分数化成百分数的方法:
一般是先把分数化成小数,再把小数化成百分数,除不尽的小数要保留三位小数,百分数的分子保留一位小数。
有的分数,当分母是100的因数或倍数时,可把分数先改写成分母是100的分数,再改写成百分数。
(四)百分数解决问题
1.例1,课本p84,求命中率等常见的百分率
方法:
命中率=×100%,成活率=×100%,
发芽率=×100%,出勤率=×100%
合格率=×100%,及格率=×100%
2.例2,课本p85,求一个数的百分之几是多少(此类型对分数同样适用)
单位“1”:
一个数。
方法:
一个数×百分之几
3.例3,课本p89,求一个数比另一个数多(或少)百分之几,即求增减幅度。
(此类型对分数同样适用)
单位“1”:
另一个数。
方法:
差量÷单位“1”
4.例4,课本p90,求比一个数多(或少)百分之几的数是多少。
(此类型对分数同样适用)
单位“1”:
一个数。
方法:
一个数±一个数×百分之几
一个数×(1±百分之几)
5.例5,课本p90,求一个数连续两次增减变化。
单位“1”:
有两个。
方法:
有设数法和设1法。
即:
一个数×(1±百分之几)×(1±百分之几)
6.补充例1,已知一个数的百分之几是多少,求这个数?
(此类型对分数同样适用)
单位“1”:
一个数。
方法(简单除法):
多少÷百分之几
7.补充例2,已知两个数,求一个数是(或占或相当于)另一个数的百分之几?
(此类型对分数同样适用)
单位“1”:
另一个数。
方法:
一个数÷另一个数。
8.补充例3,已知比一个数多(或少)百分之几的数是多少,求这个数?
(此类型对分数同样适用)
单位“1”:
一个数。
方法(组合除法):
多少÷(1±百分之几)
方程解法:
设这个数为x,x±百分之几×x=多少
领域二图形与几何
一位置与方向
(一)在平面图上标出物体位置的方法
1、面对地图,上北下南,左西右东。
2、在平面图上标出物体位置的方法,先用量角器确定方向,再以选定的单位长度为基准用直尺来确定图上距离,最后找出物体的具体位置,标上名称。
(二)描述简单的行走路线
每走一步,都要说清从哪里走(观测点),向哪个方向走多远的距离。
(三)绘制简单的路线图
1、确定方向标和单位长度。
2、以起点为观测点,从起点出发,根据描述确定所走的方向和距离。
每走一段路,都要重新确定新的观测点。
二圆
(一)圆的各部分名称
1、圆心:
圆中心的一点叫做圆心,一般用字母O表示。
2、半径:
连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径,一般用字母r表示。
3、直径:
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径,一般用字母d表示。
(二)圆的特征
1、圆具有对称性,圆是轴对称图形,圆有无数条对称轴。
2、在同圆或等圆中,半径的长度都相等,直径的长度都相等,直径的长度是半径长度的2倍。
d=2r,或r=。
(三)用圆规画圆的方法
1、先把圆规的两脚分开,定好两脚间的距离;
2、再把带有针尖的一只脚固定在一点上;
3、然后把装有铅笔的一只脚旋转一周,就画出一个圆。
(四)圆的周长
1、圆的周长:
围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
一般用字母C表示。
2、圆周率:
圆的周长和它的直径的比值叫做圆周率。
一般用字母π表示。
(1)一个圆的周长总是它直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。
圆周率π是一个无限不循环小数。
在计算时,一般取π≈3.14。
(2)在判断时,圆周长与它直径的比值是π倍,而不是3.14倍。
(3)世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
3、圆的周长计算公式:
C=πd,或C=2πr。
4、区分周长的一半和半圆的周长:
(1)周长的一半:
等于圆的周长÷2
计算方法:
2πr÷2即πr
(2)半圆的周长:
等于圆的周长的一半加直径。
计算方法:
πr+2r即5.14r
(五)圆的面积
1、圆的面积:
圆所占平面的大小叫做圆的面积,一般用字母S表示。
2、圆的面积计算公式:
S=πr2
3、圆的面积公式的推导:
把一个圆切成若干偶数等分,拼成一个长方形。
拼成的长方形的长等于圆周长的一半,宽等于圆的半径。
4、半圆的面积=2πr÷2
(六)圆环的面积
1、圆环的面积公式:
S环=πR2-πr2或S环=π(R2-r2)
2、外接圆和内切圆的面积
(七)圆的半径、直径、周长、面积的变化
1、一个圆的半径扩大或缩小多少倍,它的直径、周长也扩大或缩小多少倍,而它的面积扩大或缩小平方倍。
2、两个圆的半径之比=直径之比=周长之比,面积之比=半径之比的平方倍。
(九)求图形阴影部分的面积的方法
加法、减法、切割法、平移法。
常用各π值结果:
π=3.142π=6.283π=9