全国名校高考数学优质学案汇编附详解第三节 函数的奇偶性与周期性.docx
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全国名校高考数学优质学案汇编附详解第三节函数的奇偶性与周期性
第三节 函数的奇偶性与周期性
[考纲传真] 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性. 3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.
知识点1 函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
知识点2 函数的周期性
1.周期函数
T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件:
(1)T≠0;
(2)f(x+T)=f(x)对定义域内的任意x都成立.
2.最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期.
3.周期不唯一
若T是函数y=f(x)的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).
1.必会结论
(1)函数奇偶性常用的结论
①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(x)有意义,那么一定有f(0)=0;
②如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|);
③在公共定义域内有:
奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇;
④奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性.偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性.
(2)函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
①若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0);
②若f(x+a)=
,则T=2a(a>0);
③若f(x+a)=-
,则T=2a(a>0).
(3)对称性的三个常用结论
①若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
②若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
③若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.
2.必知联系
偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.( )
(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.( )
(3)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的充分必要条件.( )
(4)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( )
【解析】
(1)错误.函数定义域不关于原点对称无奇偶性.
(2)错误.f(x)在x=0处不一定有意义.
(3)错误.函数的定义域关于原点对称并不一定具有奇偶性.
(4)错误.如f(x)=
.
【答案】
(1)×
(2)× (3)× (4)×
2.(教材改编)已知奇函数f(x)在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有( )
A.最大值M B.最大值-M
C.最小值MD.最小值-M
【解析】 根据奇函数的图象关于原点对称知,f(x)在[-b,-a]上有最小值-M,故选D.
【答案】 D
3.(优质试题·福建高考)下列函数为奇函数的是( )
A.y=
B.y=|sinx|
C.y=cosxD.y=ex-e-x
【解析】 对于D,f(x)=ex-e-x的定义域为R,f(-x)=e-x-ex=-f(x),故y=ex-e-x为奇函数.
而y=
的定义域为{x|x≥0},不具有对称性,故y=
为非奇非偶函数.y=|sinx|和y=cosx为偶函数.
【答案】 D
4.(优质试题·济南模拟)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1+x),则f
=________.
【解析】 因为f(x)是周期为2的奇函数,所以f
=-f
=-f
=-
.
【答案】 -
考向1函数奇偶性的判断
1.(优质试题·西安模拟)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则( )
A.f(x)与g(x)均为偶函数
B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数
C.f(x)与g(x)均为奇函数
D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数
【解析】 f(-x)=3-x+3x=f(x),所以f(x)为偶函数,
g(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x),
所以g(x)为奇函数.
【答案】 B
2.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=
+
;
(2)f(x)=
;
(3)f(x)=
【解】
(1)由
得x=±1,
∴f(x)的定义域为{-1,1},
又f
(1)+f(-1)=0,f
(1)-f(-1)=0,
即f(x)=±f(-x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由
得-2≤x≤2且x≠0,
∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],
∴f(x)=
=
=
,
∴f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
∵当x<0时,-x>0,
则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);
当x>0时,-x<0,
则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).
综上可知:
对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x)成立,∴函数f(x)为奇函数.
判断函数奇偶性的两个方法
1.定义法
2.图象法
考向2函数周期性及应用
(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x,则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(2015)等于( )
A.335 B.336
C.1678D.2012
(2)(优质试题·临沂模拟)已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,
①求证:
f(x)是周期函数;
②当x∈[1,2]时,求f(x)的解析式;
③计算f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2017)的值.
【解析】
(1)由f(x+6)=f(x)知f(x)为周期函数且周期为6.
由题意知f
(1)=1,f
(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)+…+f(2015)=335(f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6))+f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)+f(5)=335+1=336.
【答案】 B
(2)①证明:
函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),函数f(x)的图象关于x=1对称,则f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.
②当x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],
又f(x)的图象关于x=1对称,则f(x)=f(2-x)=22-x-1,x∈[1,2].
③∵f(0)=0,f
(1)=1,f
(2)=0,
f(3)=f(-1)=-f
(1)=-1,
又f(x)是以4为周期的周期函数.
∴f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2017)
=f(2016)+f(2017)=f(0)+f
(1)=1.
函数周期性的判定与应用
1.判定:
判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T.
2.应用:
根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论:
若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.
[变式训练]
1.(优质试题·宝鸡模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),则f(2013)+f(2015)的值为( )
A.-1B.1
C.0D.无法计算
【解析】 由题意,得g(-x)=f(-x-1),
又∵f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,∴g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x),
∴f(x-1)=-f(x+1),
∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4),
∴f(x)的周期为4,
∴f(2013)=f
(1),f(2015)=f(3)=f(-1),
又∵f
(1)=f(-1)=g(0)=0,
∴f(2013)+f(2015)=0.
【答案】 C
2.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:
f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
(3)计算f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2014).
【解】
(1)证明:
∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得
f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.
又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2,
∴f(x)=x2+2x.
又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],
∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).
又f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.
从而求得x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.
(3)f(0)=0,f
(1)=1,f
(2)=0,f(3)=-1.
又f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(0)+f
(1)+f
(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)
=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0.
∴f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2014)=f(2012)+f(2013)+f(2014)=f(0)+f
(1)+f
(2)=0+1+0=1.
考向3函数奇偶性的应用
●命题角度1 已知函数的奇偶性求函数的值
1.(优质试题·湖南高考)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f
(1)+g
(1)=( )
A.-3 B.-1
C.1D.3
【解析】 ∵f(x)-g(x)=x3+x2+1,
∴f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1.
∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).
∴f(x)+g(x)=-x3+x2+1.
∴f
(1)+g
(1)=-1+1+1=1.
【答案】 C
2.(优质试题·杭州模拟)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f
(1)=1,则f(8)+f(9)=( )
A.-2B.-1
C.0D.1
【解析】 因为f(x+2)为偶函数,f(x)是奇函数,
所以f(x+2)=f(-x+2)=-f(x-2),
由f(x+2)=-f(x-2),得f(x+4)=-f(x),
所以f(x+8)=f(x),
所以f(8)=f(0),f(9)=f
(1)=1,
所以f(8)+f(9)=0+1=1.
【答案】 D
●命题角度2 与函数奇、偶性相关的不等式问题
3.(优质试题·沈阳模拟)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1) 的x的取值范围是( ) A. B. C. D. 【解析】 因为f(x)是偶函数,所以其图象关于y轴对称,又f(x)在[0,+∞)上单调递增,f(2x-1) , 所以|2x-1|< ,所以 . 【答案】 A 4.已知偶函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f (2)=0,则不等式 >0的解集为________. 【解析】 由题意,不等式 >0等价于 >0,即 或 因为偶函数f(x)在(0,+∞)上为减函数, 且f (2)=0,所以f(x)在(-∞,0)上为增函数且f(-2)=0. 所以 或 所以不等式的解集为(-∞,-2)∪(0,2). 【答案】 (-∞,-2)∪(0,2) ●命题角度3 已知函数的奇偶性求参数 5.(优质试题·全国卷Ⅰ)若函数f(x)=xln(x+ )为偶函数,则a=________. 【解析】 ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)-f(x)=0恒成立, ∴-xln(-x+ )-xln(x+ )=0恒成立,∴xlna=0恒成立,∴lna=0,即a=1. 【答案】 1 6.(优质试题·北京模拟)函数f(x)=lg 为奇函数,则实数a=________. 【解析】 根据题意得,使得函数有意义的条件为 a+ >0且1+x≠0.由奇函数的性质可得f(0)=0.所以lg(a+2)=0即a=-1,a=-1满足函数的定义域. 【答案】 -1 课时强化练(六) 函数的奇偶性与周期性 (限时: 40分钟) A组 跨越本科线 1.(优质试题·北京高考)下列函数中为偶函数的是( ) A.y=x2sinxB.y=x2cosx C.y=|lnx|D.y=2-x 【解析】 因为y=x2是偶函数,y=sinx是奇函数,y=cosx是偶函数,所以A选项为奇函数,B选项为偶函数;C选项中函数图象是把对数函数y=lnx的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方,其余部分的图象保持不变,故为非奇非偶函数;D选项为指数函数y= x,是非奇非偶函数. 【答案】 B 2.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(-2,0)时,f(x)=2x2,则f(2017)等于( ) A.-2B.2 C.-98D.98 【解析】 由f(x+4)=f(x)知f(x)是周期为4的周期函数.f(2017)=f(504×4+1)=f (1), 又f(x)为奇函数,所以f (1)=-f(-1). 由-1∈(-2,0),所以f(-1)=2,所以f (1)=-2, 即f(2017)=-2. 【答案】 A 3.(优质试题·金华模拟)若函数f(x)= 为奇函数,则a=( )
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