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立体几何解答题精选
立体几何解答题
1.(2014天津理17)如图,在四棱锥中,底面,,,,,点为棱的中点.
(1)证明:
;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.
2.(2014浙江理20)如图,在四棱锥中,平面平面,,.
(1)证明:
平面;求二面角的大小.
3.(2015山东理17)如图所示,三棱台中,,分别为的中点.
(1)求证:
∥平面;
(2)若平面,,,
,求平面与平面所成的角(锐角)的大小.
4.(2015浙江理17)如图所示,在三棱柱中,,,,在底面的射影为的中点,为的中点.
(1)证明:
平面;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
5.(2015重庆理19)如图所示,在三棱锥中,平面,,.,分别为线段,上的点,且,.
(1)证明:
平面;
(2)求二面角的余弦值.
6.(2016北京理17)如图所示,在四棱锥中,平面平面,,,,,,.
(1)求证:
平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)在棱上是否存在点,使得平面?
若存在,求的值;若不存在,说明理由.
7.(2017全国3卷理科19)如图所示,四面体中,是正三角形,是直角三角形,,.
(1)求证:
平面平面;
(2)过的平面交于点,若平面把四面体分成体积相等的两部分,求二面角的余弦值.
8.(2017天津理17)如图所示,在三棱锥中,底面,.点分别为棱,,的中点,是线段的中点,,.
(1)求证:
平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)已知点在棱上,且直线与直线所成角的余弦值为,求线段的长.
答案
29.(2014天津理17)(本小题满分13分)
如图,在四棱锥中,底面,,,,,点为棱的中点.
(1)证明:
;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)若为棱上一点,满足,
求二面角的余弦值.
31.(2014浙江理20)(本题满分15分)
如图,在四棱锥中,平面平面,,
.
(2)证明:
平面;
(3)求二面角的大小.
38.(2015山东理17)如图所示,三棱台中,,分别为
的中点.
(1)求证:
∥平面;
(2)若平面,,,
,求平面与平面所成的角(锐角)的大小.
38.解析
(1)证法一:
连接,,设,连接.
在三棱台中,,为的中点,
可得,,
所以四边形为平行四边形,
则为的中点.
又为的中点,所以.
又平面,平面,
所以平面.
证法二:
在三棱台中,由,为的中点,
可得,,所以四边形为平行四边形,可得.
在中,为的中点,为的中点,所以.又,
所以平面平面.因为平面,所以平面.
(2)解法一:
设,则.在三棱台中,为的中点,
由,可得四边形为平行四边形,因此.
又平面,所以平面.
在中,由,,是中点,
所以,,因此,,两两垂直.
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
所以,,,,
可得,,
故,.
设是平面的一个法向量,
则由,可得,
解得平面的一个法向量.
因为是平面的一个法向量,
,所以.
所以平面与平面所成(锐角)的大小为.
解法二:
作于点,作于点,连接.
由平面,得.
又,所以平面,
因此,所以即为所求的角.
在中,,,
由,可得,
从而.由平面,平面,
得,因此,所以,
所以平面与平面所成(锐角)的大小为.
40.(2015浙江理17)如图所示,在三棱柱中,,,,在底面的射影为的中点,为的中点.
(1)证明:
平面;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
40.解析
(1)设的中点为,连接,则平面,所以.
又,所以.又,所以.而
所以.又,所以平面.
(2)解法一:
作,垂足为,连接,如图
(1)所示
则,..
所以,所以.
由,得,因此即为二面角的平面角.
又,所以,所以.
在中,由余弦定理得,.
解法二(向量法):
以的中点为原点,分别以射线为轴的正半轴,
建立空间直角坐标系,如图
(2)所示.由题意知各点坐标如下:
,,,.
因此,,.
设平面的法向量为,平面的法向量为.
由即,可取.
由即,可取.
于是.由题意可知,所求二面角的平面角是钝角,
故二面角的平面角的余弦值为.
图
(1)图
(2)
41.(2015重庆理19)如图所示,在三棱锥中,平面,,
.,分别为线段,上的点,且,.
(1)证明:
平面;
(2)求二面角的余弦值.
41.解析
(1)证明:
因为平面,平面,所以.
由得为等腰直角三角形,故.
又,且平面,故平面.
(2)由
(1)知,为等腰直角三角形,,如图所示,
过点作垂直于,易知,
又,故.由,得,,
故.以点为坐标原点,
分别以,,的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系
,,,,
,,.
设平面的法向量为,
则,,
即,令,
则,故可取.
由
(1)可知平面,
故平面的法向量可取为,即.
则,又二面角为锐二面角,
所以二面角的余弦值为.
49.(2016北京理17)如图所示,在四棱锥中,平面平面,,,,,,.
(1)求证:
平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)在棱上是否存在点,使得平面?
若存在,求的值;若不存在,说明理由.
49.解析
(1)如题中的图所示,平面平面,平面平面,平面,得平面,所以.
又因为平面,平面,,
所以平面.
(2)如图所示,设棱AD的中点是O,由题设可得直线两两互相垂直,所以可建立如图所示的空间直角坐标系.
可得,
所以,.
设平面的一个法向量是,得,所以可得.
设直线与平面所成角的大小为,
可得,
即直线与平面所成角的正弦值是.
(3)设棱上存在点,使得平面,并设,得,
即,即.得.
由平面,平面的一个法向量是,
得,解得.又平面,所以平面.即在棱上存在点使得平面,且.
58.(2017全国3卷理科19)如图所示,四面体中,是正三角形,是直角三角形,
,.
(1)求证:
平面平面;
(2)过的平面交于点,若平面把四面体分成体积相等的两部分,求二面角的余弦值.
58.解析如图所示,取的中点为,联结,.
因为为等边三角形,所以,.
由,得,所以,即为等腰直角三角形,
从而为直角.又为底边中点,所以.
令,则,易得,,
所以,从而由勾股定理的逆定理可得,即.
由,所以平面.
又因为平面,由面面垂直的判定定理可得平面平面.
由题意可知,即,到平面的距离相等,即点为的中点.
以为坐标原点,为轴正方向,为轴正方向,为轴正方向,设,建立空间直角坐标系,则,,,,,
易得,,.
设平面的法向量为,平面的法向量为,
则,取;,取.
设二面角为,易知为锐角,则.
11.(2017天津理17)如图所示,在三棱锥中,底面,.点分别为棱,,的中点,是线段的中点,,.
(1)求证:
平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)已知点在棱上,且直线与直线所成角的余弦值为,求线段的长.
11.解析如图所示,以为坐标原点,为基底,建立如图所示的空间直角坐标系,依题意可得,,,,,,,.
(1)证明:
,.设为平面的一个法向量,
则,即,不妨设,可得.
又,可得,因为平面,所以平面.
(2)易知为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量,则,因为,,所以.
不妨设,可得.
因此有,于是.
所以二面角的正弦值为.
(3)依题意,设,则H(0,0,h),进而可得,.由已知得,整理得,
解得或.所以线段AH的长为或.
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