名校中考冲剌数学压轴题等腰三角形函数平行四边行.docx
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名校中考冲剌数学压轴题等腰三角形函数平行四边行
(2009山东省泰安市)26(本小题满分10分)
如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD。
(1)求证:
BE=AD;
(2)求证:
AC是线段ED的垂直平分线;
(3)△DBC是等腰三角形吗?
并说明理由。
26、(本小题满分10分)
证明:
(1)∵∠ABC=90°,BD⊥EC,
∴∠1与∠3互余,∠2与∠3互余,
∴∠1=∠2…………………………………………………1分
∵∠ABC=∠DAB=90°,AB=AC
∴△BAD≌△CBE…………………………………………2分
∴AD=BE……………………………………………………3分
(2)∵E是AB中点,
∴EB=EA
由
(1)AD=BE得:
AE=AD……………………………5分
∵AD∥BC
∴∠7=∠ACB=45°
∵∠6=45°
∴∠6=∠7
由等腰三角形的性质,得:
EM=MD,AM⊥DE。
即,AC是线段ED的垂直平分线。
……………………7分
(3)△DBC是等腰三角(CD=BD)……………………8分
理由如下:
由
(2)得:
CD=CE
由
(1)得:
CE=BD
∴CD=BD
∴△DBC是等腰三角形。
……………………………10分
(威海市)25.(12分)
一次函数的图象分别与轴、轴交于点,与反比例函数的图象相交于点.过点分别作轴,轴,垂足分别为;过点分别作轴,轴,垂足分别为与交于点,连接.
(1)若点在反比例函数的图象的同一分支上,如图1,试证明:
①;
②.
(2)若点分别在反比例函数的图象的不同分支上,如图2,则与还相等吗?
试证明你的结论.
25.(本小题满分12分)
解:
(1)①轴,轴,
四边形为矩形.
轴,轴,
四边形为矩形.
轴,轴,
四边形均为矩形.1分
,
,
.
.
,
,
.2分
②由
(1)知.
.
.4分
,
.5分
.
.6分
轴,
四边形是平行四边形.
.7分
同理.
.8分
(2)与仍然相等.9分
,
,
又,
.10分
.
.
,
.
.
.11分
轴,
四边形是平行四边形.
.
同理.
.12分
(烟台市)26.(本题满分14分)
如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于C点,且经过点,对称轴是直线,顶点是.
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)经过两点作直线与轴交于点,在抛物线上是否存在这样的点,使以点为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设直线与y轴的交点是,在线段上任取一点(不与重合),经过三点的圆交直线于点,试判断的形状,并说明理由;
(4)当是直线上任意一点时,(3)中的结论是否成立?
(请直接写出结论).
26.(本题满分14分)
解:
(1)根据题意,得2分
解得
抛物线对应的函数表达式为.3分
(2)存在.
在中,令,得.
令,得,.
,,.
又,顶点.5分
容易求得直线的表达式是.
在中,令,得.
,.6分
在中,令,得.
.
,四边形为平行四边形,此时.8分
(3)是等腰直角三角形.
理由:
在中,令,得,令,得.
直线与坐标轴的交点是,.
,.9分
又点,..10分
由图知,.11分
,且.是等腰直角三角形.12分
(4)当点是直线上任意一点时,(3)中的结论成立.14分
(山东省日照)24.(本题满分10分)
已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:
EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问
(1)中的结论是否仍然成立?
通过观察你还能得出什么结论?
(均不要求证明)
24.(本题满分10分)
解:
(1)证明:
在Rt△FCD中,
∵G为DF的中点,
∴CG=FD.………………1分
同理,在Rt△DEF中,
EG=FD.………………2分
∴CG=EG.…………………3分
(2)
(1)中结论仍然成立,即EG=CG.…………………………4分
证法一:
连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.
在△DAG与△DCG中,
∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,
∴△DAG≌△DCG.
∴AG=CG.………………………5分
在△DMG与△FNG中,
∵∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,
∴△DMG≌△FNG.
∴MG=NG
在矩形AENM中,AM=EN.……………6分
在Rt△AMG与Rt△ENG中,
∵AM=EN,MG=NG,
∴△AMG≌△ENG.
∴AG=EG.
∴EG=CG.……………………………8分
证法二:
延长CG至M,使MG=CG,
连接MF,ME,EC,……………………4分
在△DCG与△FMG中,
∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,
∴△DCG≌△FMG.
∴MF=CD,∠FMG=∠DCG.
∴MF∥CD∥AB.………………………5分
∴.
在Rt△MFE与Rt△CBE中,
∵MF=CB,EF=BE,
∴△MFE≌△CBE.
∴.…………………………………………………6分
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°.…………7分
∴△MEC为直角三角形.
∵MG=CG,
∴EG=MC.
∴.………………………………8分
(3)
(1)中的结论仍然成立,
即EG=CG.其他的结论还有:
EG⊥CG.……10分
(潍坊市)24.(本小题满分12分)
如图,在平面直角坐标系中,半径为1的圆的圆心在坐标原点,且与两坐标轴分别交于四点.抛物线与轴交于点,与直线交于点,且分别与圆相切于点和点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴交轴于点,连结,并延长交圆于,求的长.
(3)过点作圆的切线交的延长线于点,判断点是否在抛物线上,说明理由.
24.(本小题满分12分)
解:
(1)圆心在坐标原点,圆的半径为1,
点的坐标分别为
抛物线与直线交于点,且分别与圆相切于点和点,
.2分
点在抛物线上,将的坐标代入
,得:
解之,得:
抛物线的解析式为:
.4分
(2)
抛物线的对称轴为,
.6分
连结,
,,
又,
,
.8分
(3)点在抛物线上.9分
设过点的直线为:
,
将点的坐标代入,得:
,
直线为:
.10分
过点作圆的切线与轴平行,点的纵坐标为,
将代入,得:
.
点的坐标为,11分
当时,,
所以,点在抛物线上.12分
说明:
解答题各小题中只给出了1种解法,其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数.
(山东临沂市)26.(本小题满分13分)
如图,抛物线经过三点.
(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过P作轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与相似?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得的面积最大,求出点D的坐标.
26.解:
(1)该抛物线过点,可设该抛物线的解析式为.
将,代入,
得解得
此抛物线的解析式为.(3分)
(2)存在.(4分)
如图,设点的横坐标为,
则点的纵坐标为,
当时,
,.
又,
①当时,
,
即.
解得(舍去),.(6分)
②当时,,即.
解得,(均不合题意,舍去)
当时,.(7分)
类似地可求出当时,.(8分)
当时,.
综上所述,符合条件的点为或或.(9分)
(3)如图,设点的横坐标为,则点的纵坐标为.
过作轴的平行线交于.
由题意可求得直线的解析式为.(10分)
点的坐标为.
.(11分)
.
当时,面积最大.
.(13分)
(山东省济宁市)26.(12分)
在平面直角坐标中,边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上,点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转,当点第一次落在直线上时停止旋转,旋转过程中,边交直线于点,边交轴于点(如图).
(1)求边在旋转过程中所扫过的面积;
(2)旋转过程中,当和平行时,求正方形
旋转的度数;
(3)设的周长为,在旋转正方形
的过程中,值是否有变化?
请证明你的结论.
26.
(1)解:
∵点第一次落在直线上时停止旋转,
∴旋转了.
∴在旋转过程中所扫过的面积为.……………4分
(2)解:
∵∥,
∴,.
∴.∴.
又∵,∴.
又∵,,∴.
∴.∴.
∴旋转过程中,当和平行时,正方形旋转的度数为
.……………………………………………8分
(3)答:
值无变化.
证明:
延长交轴于点,则,
,
∴.
又∵,.
∴.
∴.
又∵,,
∴.∴.
∴,
∴.
∴在旋转正方形的过程中,值无变化.……………12分
(四川遂宁市)25.如图,二次函数的图象经过点D(0,),且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.
⑴求二次函数的解析式;
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;
⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?
如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
25.⑴设二次函数的解析式为:
y=a(x-h)2+k
∵顶点C的横坐标为4,且过点(0,)
∴y=a(x-4)2+k………………①
又∵对称轴为直线x=4,图象在x轴上截得的线段长为6
∴A(1,0),B(7,0)
∴0=9a+k………………②
由①②解得a=,k=
∴二次函数的解析式为:
y=(x-4)2-
⑵∵点A、B关于直线x=4对称
∴PA=PB
∴PA+PD=PB+PD≥DB
∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值
∴DB与对称轴的交点即为所求点P
设直线x=4与x轴交于点M
∵PM∥OD,∴∠BPM=∠BDO,又∠PBM=∠DBO
∴△BPM∽△BDO
∴∴
∴点P的坐标为(4,)
⑶由⑴知点C(4,),
又∵AM=3,∴在Rt△AMC中,cot∠ACM=,
∴∠ACM=60o,∵AC=BC,∴∠ACB=120o
①当点Q在x轴上方时,过Q作QN⊥x轴于N
如果AB=BQ,由△ABC∽△ABQ有
BQ=6,∠ABQ=120o,则∠QBN=60o
∴QN=3,BN=3,ON=10,
此时点Q(10,),
如果AB=AQ,由对称性知Q(-2,)
②当点Q在x轴下方时,△QAB就是△ACB,
此时点Q的坐标是(4,),
经检验,点(10,)与(-2,)都在抛物线上
综上所述,存在这样的点Q,使△QAB∽△ABC
点Q的坐标为(10,)或(-2,)或(4,).
(四川南充市)21.如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点.
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式;
(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点,求的值和这个一次函数的解析式;
(3)第
(2)问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D,求过A、B、D三点的二次函数的解析式;
(4)在第(3)问的条件下,二次函数的图象上是否存在点E,使四边形OECD
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