等差数列教学案例实践.docx
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等差数列教学案例实践
等差数列
1.理解等差数列的概念,明确“同一个常数”的含义.
2.掌握等差数列的通项公式及其应用.
3.会判定或证明等差数列;了解等差数列与一次函数的关系.
1.等差数列
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于__________,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的______,通常用字母d表示.
(1)定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有两个:
其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻.
(2)公差d∈R,当d=0时,数列为常数列;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列.
【做一做】 等差数列4,7,10,13,16的公差等于__________.
2.通项公式
等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则通项公式是an=________.
(1)如果数列{an}的通项公式是an=pn+q(p,q是常数),那么数列{an}是等差数列.
(2)如果数列{an}满足2an=an-1+an+1(n>1,n∈N*),那么数列{an}是等差数列.
【做一做】已知等差数列{an}中,首项a1=4,公差d=-2,则通项公式an等于( )
A.4-2n B.2n-4
C.6-2n D.2n-6
3.等差中项
如果三个数a,A,b成等差数列,那么____叫做______的等差中项.
等差中项的性质:
①A是a与b的等差中项,则
A=或2A=a+b,即两个数的等差中项有且只有一个.
②当2A=a+b时,A是a与b的等差中项.
【做一做3】 13与-11的等差中项m=__________.
1.对等差数列定义的理解
剖析:
(1)等差数列定义中的关键词是:
“从第2项起”与“同一个常数”.
①如果一个数列,不是从第2项起,而是从第3项或第4项起,每一项与前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列.
②如果一个数列,从第2项起,每一项与前一项的差,尽管是常数,但这个数列也不一定是等差数列.这是因为这些常数可能不相同,必须是同一个常数,才是等差数列.
(2)也可以用数学符号语言叙述等差数列的定义:
在数列{an}中,如果an+1-an=d(常数)对任意n∈N*都成立,则称数列{an}为等差数列,常数d称为等差数列的公差.
(3)公差是数列中的某一项(除第一项外)与其前一项的差,不可颠倒,即d=an+1-an=an-an-1=…=a3-a2=a2-a1.
(4)切忌只通过计算数列中特殊几项的差后,发现它们是同一个常数,就断言此数列为等差数列.
2.对等差数列通项公式的理解
剖析:
(1)从函数的角度看等差数列的通项公式.
由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果设p=d,q=a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是常数.当p≠0时,an是关于n的一次函数,即(n,an)在一次函数y=px+q的图象上,因此从图象上看,表示等差数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上.
所以公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点.
当p=0时,an=q,等差数列为常数列,此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀分布的一群孤立的点.
(2)由两点确定一条直线的性质可以得出,已知等差数列的任意两项可以确定这个等差数列.若已知等差数列的通项公式,可以写出数列中的任意一项.
(3)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个变数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”.
题型一 求等差数列的通项公式
1.求等差数列8,5,2,….的第20项;
2.-401是不是等差数列-5,-9,-13,…,的项?
如果是,是第几项?
3. 若{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求an.
分析:
先求出a1,d,然后求an.
反思:
一般地,可由am=a,an=b,得求出a1和d,从而确定通项公式.
题型二实际应用问题
1.某市出租车的计价标准为1.2元/公里,起步价为10元,即最初的4公里(不含4千米)计费10元。
如果某人乘坐该市的出租车去往14公里处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付多少车费?
2. 梯子的最高一级宽33 cm,最低一级宽110 cm,中间还有10级,各级宽度依次成等差数列,计算中间各级的宽度.
分析:
要求梯子中间各级的宽度,必须知道各级宽度组成的等差数列的公差.又梯子的级数是12,因此,该问题相当于已知等差数列的首项、末项及项数求公差.
反思:
解决实际应用问题的关键是建立数学模型,本题中的数学模型是已知等差数列的首项和末项及项数,求各项.
题型三 等差数列的判定与证明
1.已知数列{an}的通项公式为an=pn+q,其中p.q为常数,那么这个数列一定是等差数列吗?
2. 已知数列{an}的通项公式为an=4-2n,求证:
数列{an}是等差数列.
分析:
只需证明an+1-an=常数或an-an-1=常数(n≥2).
反思:
已知数列{an}的通项公式an=f(n),用定义判断或证明{an}是等差数列的步骤:
(1)利用通项公式an=f(n)写出an+1=f(n+1)(或an-1=f(n-1));
(2)作差an+1-an(或an-an-1),将差变形;
(3)当差an+1-an(或an-an-1)是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当差an+1-an(或an-an-1)不是常数,是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.
1在等差数列{an}中,a1·a3=8,a2=3,则公差d=( )
A.1 B.-1 C.±1 D.±2
2等差数列-3,1,5,…的第15项为( )
A.40 B.53 C.63 D.76
3等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是( )
A.92 B.47 C.46 D.45
4已知数列{an}的通项公式是an=7n+2,求证:
数列{lg an}是等差数列.
5有一正四棱台形楼顶,其中一个侧面中最上面一行铺瓦30块,总共需要铺瓦15行,并且下一行比其上一行多铺3块瓦,求该侧面最下面一行需铺瓦多少块?
答案:
【例题1】 解:
由题意,知解得
故an=a1+(n-1)d=+(n-1)×=n+4.
【例题2】 解:
设梯子的第n级的宽为an cm,其中最高一级宽为a1 cm,则数列{an}是等差数列.
由题意,得a1=33,a12=110,n=12,
则a12=a1+11d.
所以110=33+11d,解得d=7.
所以a2=33+7=40,a3=40+7=47,…,a11=96+7=103,
即梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.
【例题3】 证明:
∵an=4-2n,∴an+1=4-2(n+1)=2-2n.
∴an+1-an=(2-2n)-(4-2n)=-2.
∴{an}是等差数列.
答案:
1.C 由题意解得d=±1.
2.B a1=-3,d=1-(-3)=4,
故a15=a1+(15-1)d=-3+14×4=53.
3.C a1=1,d=(-1)-1=-2,
故an=a1+(n-1)d=3-2n,
令-89=3-2n,解得n=46.
4.分析:
转化为证明lg an+1-lg an是一个与n无关的常数.
证明:
设bn=lg an=lg 7n+2=(n+2)lg 7,
则bn+1=[(n+1)+2]lg 7=(n+3)lg 7,
则bn+1-bn=(n+3)lg 7-(n+2)lg 7=lg 7=常数.
所以数列{bn}是等差数列,
即数列{lg an}是等差数列.
5.分析:
转化为求等差数列的第15项.
解:
设从上面开始第n行铺瓦an块,则数列{an}是首项为30,公差为3的等差数列.
则a15=a1+14d=30+14×3=72,
即该侧面最下面一行应铺瓦72块.
答案:
1.
(1)同一个常数 公差
【做一做1】 3
2.a1+(n-1)d
【做一做2】 C
3.A a与b
【做一做3】 1
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