湖南省益阳市届高三调研考试 数学理试题.docx
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湖南省益阳市届高三调研考试数学理试题
湖南省益阳市2015届高三4月调研考试数学(理)试题
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页.时量120分钟.满分150分.
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数(为虚数单位)在复平面内对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知向量a=(1,-2),b=(3,0),若(2a+b)∥(ma-b),则m的值为
A.B.C.D.
3.已知函数的零点为,则所在的区间是
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
4.设,则二项式展开式中含项的系数是
A.80B.640C.-160D.-40
5.执行如图所示的程序框图,若输出s的值为70,则判断框内可填入的条件是
A.i5B.i<5
C.i>5D.i5
6.已知实数、满足不等式组,则的最小值是
A.B.C.5D.9
7.给出下列两个命题:
命题:
当时,;命题:
函数是偶函数.则下列命题是真命题的是
A.B.C.D.
8.十字路口车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,小张上班经过的某十字路口某时间段内车流量变化近似符合函数(的单位是辆/分,的单位是分),则下列时间段内车流量增加的是
A.B.C.D.
9.已知直线:
与双曲线:
有交点,则实数的取值范围是
A.(-,-)∪(,+)B.(-,)
C.[-,]∪[,]D.[-,]
10.已知函数的图象为曲线C,给出以下四个命题:
①若点M在曲线C上,过点M作曲线C的切线可作一条且只能作一条;
②对于曲线C上任意一点,在曲线C上总可以找到一点,使和的等差中项是同一个常数;
③设函数,则的最小值是0;
④若在区间上恒成立,则a的最大值是1.其中真命题的个数是
A.1B.2C.3D.4
二、填空题:
本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
(一)选做题(请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)
11.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆C的极坐标方程为,若直线l平分圆C的周长,则= .
12.已知R,,,则M的最大值是 .
13.如图,已知PA是圆的切线,切点为A,PO交圆于点B,圆的半径为2,,则PA的长为 .
(二)必做题(14~16题)
14.如图是某几何体的三视图,正视图和侧视图都是等腰直角三角形,俯视图是边长
为3的正方形,则此几何体的体积等于 .
15.设二次函数的导函数为,对任意R,不等式恒成立,则的最大值为 .
16.已知为合数,且,当的各数位上的数字之和为质数时,称此质数为的“衍生质数”.
⑴若的“衍生质数”为2,则 ;
⑵设集合,,则集合中元素的个数是 .
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
在△ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,且.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若a=3,,求△ABC的面积.
18.(本小题满分12分)
某校举行中学生“珍爱地球·保护家园”的环保知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分,初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行;每位选手最多有5次答题机会,选手累计答对3题或答错3题即终止比赛,答对3题者直接进入复赛,答
错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为,且相互间没有影响.
(Ⅰ)求选手甲进入复赛的概率;
(Ⅱ)设选手甲在初赛中答题的个数为,试求的分布列和数学期望.
19.(本小题满分12分)
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2AD=2,E为AB的中点,F为D1E上的一点,D1F=2FE.
(Ⅰ)证明:
平面DFC平面D1EC;
(Ⅱ)求二面角A-DF-C的平面角的余弦值.
20.(本小题满分13分)
已知数列的首项,其前和为,且满足:
(N*).
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)对任意的N*,,求实数a的取值范围.
21.(本小题满分13分)
已知M(,0),N(2,0),曲线C上的任意一点P满足.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设曲线C与x轴的交点分别为A、B,过N的任意直线(直线与x轴不重合)与曲线C交于R、Q两点,直线AR与BQ交于点S.问点S是否在同一直线上?
若是,请求出这条直线的方程;若不是,请说明理由.
22.(本小题满分13分)
已知函数(其中为常数).
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,对于任意大于1的实数,恒有成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)当时,设函数的3个极值点为,且.
求证:
.
数学(理科)参考答案
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.B2.A3.C4.A5.A
6.B7.B8.C9.D10.C
二、填空题:
本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
(一)选做题(请考生在第11、12、13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)
11.-312.13.
(二)必做题(14~16题)
14.915.416.20,30
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)由得
得,所以……4分
,
所以,所以A=.……6分
(Ⅱ)因为b=2c.所以cosA===,解得c=,∴b=2.
……10分
所以S△ABC=bcsinA=×2××=.
……12分
18.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)设“选手甲进入复赛”为事件,则选手甲答了3题都对进入复赛概率为:
;
或选手甲答了4个题,前3个2对1错,第4次对进入复赛,或选手甲答了5个题,前4个2对2错,第5次对进入复赛,,
选手甲进入复赛的概率.……6分
(Ⅱ)的可能取值为3,4,5,对应的每个取值,选手甲被淘汰或进入复赛的概率
……9分
的分布列为:
X
3
4
5
P
……12分
19.(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)以D为原点,分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2).
∵E为AB的中点,∴E点坐标为E(1,1,0),
∵D1F=2FE,∴,
∴……3分
设是平面DFC的法向量,则,
∴,
取x=1得平面FDC的一个法向量……5分
设是平面ED1C的法向量,则,
∴,取y=1得平面D1EC的一个法向量,
∵
∴平面DFC平面D1EC.……8分
(Ⅱ)设是平面ADF的法向量,则,
∴,取y=1得平面ADF的一个法向量,……10分
设二面角A-DF-C的平面角为,由题中条件可知,
则cos=-||=,
∴二面角A-DF-C的平面角的余弦值为-.……12分
20.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)由条件,
两式相减得,……2分
故,
两式再相减得,
构成以为首项,公差为4的等差数列;
构成以为首项,公差为4的等差数列;………5分
又,
所以;由条件得,得,
从而,………8分
(Ⅱ)对任意的N*,,
当时,由,有得………①;
当时,由,有,
即
若为偶数,则得………②;
若为奇数,则得………③.
由①、②、③得:
.……13分
21.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)设点,得。
代入,化简得。
所以曲线C的方程为……4分
(Ⅱ)
(1)当直线的斜率存在时,设直线方程为,将直线方程代入曲线中,化简得。
设点,利用根与系数的关系得。
……6分
在曲线C的方程中令y=0得,不妨设,则,则直线。
同理直线。
……8分
由直线方程,消去,
得
所以点S是在直线上。
……12分
(2)当直线的斜率不存在时,则直线方程为。
可得点的横坐标为。
综合
(1)
(2)得,点S是在同一条直线上。
……13分
22.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ),令可得,
易得单调减区间为,增区间为.………3分
(Ⅱ)当时,由,可得恒成立,
令,则,
,。
(ⅰ)当时,恒成立,所以在上是增函数,
所以当时,满足题意,则。
(ⅱ)当时,令解得。
当时,在上是减函数
当时,,不合题意,舍去。
综上可得实数的取值范围。
………7分
(Ⅲ)由已知,对于函数,有,所以函数在上递减,在上递增。
因为有3个极值点。
从而所以。
当时,,,
∴函数的递增区间有和,递减区间有,,,
此时,函数有3个极值点,且;
∴当时,是函数的两个零点,
即有,消去有。
令,
则有零点,且。
所以函数在上递减,在递增。
要证明:
,
又因为,所以即证,
构造函数,因为,只需证明单调递减即可。
而,又。
所以在上单调递增,所以,
∴当时,。
…………13分
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