七年级上册北师大版数学部分考点总结.docx
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七年级上册北师大版数学部分考点总结
考点名称:
方程的定义
方程:
含有未知数的等式,即:
1、方程中必须含有未知;
2、方程式是等式,但等式不一定是方程。
未知数:
通常设x、y、z为未知数,也可以设别的字母,全部字母都可以。
一道题中设两个方程未知数不能一样!
方程是表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式,通常在两者之间有一等号“=”。
方程不用按逆向思维思考,可直接列出等式并含有未知数。
它具有多种形式,如一元一次方程、二元一次方程等。
广泛应用于数学、物理等理科应用题的运算。
方程是表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式,通常在两者之间有一等号“=”。
方程不用按逆向思维思考,可直接列出等式并含有未知数。
它具有多种形式,如一元一次方程、二元一次方程等。
,广泛应用于数学、物理等理科应用题的运算。
考点名称:
一元一次方程的定义
定义:
在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,这样的整式方程叫一元一次方程。
注:
主要用于判断一个等式是不是一元一次方程。
一元一次方程标准形式:
只含有一个未知数(即“元”),并且未知数的最高次数为1(即“次”)的整式方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的标准形式(即所有一元一次方程经整理都能得到的形式)是ax+b=0(a,b为常数,x为未知数,且a≠0)。
其中a是未知数的系数,b是常数,x是未知数。
未知数一般设为x,y,z。
分类:
1、总量等于各分量之和。
将未知数放在等号左边,常数放在右边。
如:
x+2x+3x=6
2、等式两边都含未知数。
如:
302x+400=400x,40x+20=60x.
方程特点:
(1)该方程为整式方程。
(2)该方程有且只含有一个未知数。
(3)该方程中未知数的最高次数是1。
一元一次方程判断方法:
通过化简,只含有一个未知数,且含有未知数的最高次项的次数是一的等式,叫一元一次方程。
要判断一个方程是否为一元一次方程,先看它是否为整式方程。
若是,再对它进行整理。
如果能整理为ax+b=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元一次方程。
里面要有等号,且分母里不含未知数。
一元一次方程必须同时满足4个条件:
⑴它是等式;
⑵分母中不含有未知数;
⑶未知数最高次项为1;
⑷含未知数的项的系数不为0。
学习实践:
在小学会学习较浅的一元一次方程,到了初中开始深入的了解一元一次方程的解法和利用一元一次方程解较难的应用题。
一元一次方程牵涉到许多的实际问题,例如工程问题、植树问题、比赛比分问题、行程问题、行船问题、相向问题分段收费问题、盈亏、利润问题。
列方程时,要先设字母表示未知数,然后根据问题中的相等关系,写出含有未知数的等式——方程。
⒈4x=24
⒉1700+150x=2450
⒊0.52x-(1-0.52)x=80
分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法.
考点名称:
方程的解
方程的解:
是指所有未知数的总称,方程的根是指一元方程的解,两者通常可以通用。
1、方程的解:
使方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解。
2、解方程:
求方程解的过程。
3、方程的解与解方程不同:
方程的解是未知数的值,而解方程指的是一个过程,两者是不同的。
考点名称:
等式的定义
等式的定义:
用“=”表示相等关系的式子叫做等式。
形式:
把相等的两个数(或字母表示的数)用等号连接起来。
考点名称:
等式的性质
等式:
含有等号的式子叫做等式(数学术语)。
形式:
把相等的两个数(或字母表示的数)用“=”连接起来。
等式可分为矛盾等式和条件等式。
矛盾等式就是左右两边不相等的"等式"。
也就是不成立的等式,比如5+2=8,实际上5+2=7,所以5+2=8是一个矛盾等式.有些式子无法判断是不是矛盾等式,比如x-9=2,只有x=11时这个等式才成立(这样的等式叫做条件等式),x≠11时,这个等式就是矛盾等式。
等式的性质:
1.等式两边同加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式。
即若a=b,则a±m=b±m。
2.等式两边同乘以(或除以)同一个数(除数不能为零),所得结果仍是等式。
即若a=b,则am=bm,(m≠0)。
3.等式具有传递性。
若a1=a2,a2=a3,a3=a4,……an=an,那么a1=a2=a3=a4=……=an
4.等式两边同时乘方(或开方),两边依然相等若a=b那么有a^c=b^c或(c次根号a)=(c次根号b)
5.等式的对称性(若a=b,则b=a)。
等式的性质是解方程的基础,很多解方程的方法都要运用到等式的性质。
如移项,运用了等式的性质1;去分母,运用了等式的性质2。
运用等式的性质,涉及除法时,要注意转换后,除数不能为0,否则无意义。
拓展
1:
等式两边同时被一个数或式子减,结果仍相等。
如果a=b,那么c-a=c-b
2:
等式两边取相反数,结果仍相等。
如果a=b,那么-a=-b
3:
等式两边不等于0时,被同一个数或式子除,结果仍相等。
如果a=b≠0,那么c/a=c/b
4:
等式两边不等于0时,两边取倒数,结果仍相等。
如果a=b≠0,那么1/a=1/b
考点名称:
一元一次方程的解法
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解一元一次方程的注意事项:
1、分母是小数时,根据分数的基本性质,把分母转化为整数;
2、去分母时,方程两边各项都乘各分母的最小公倍数,此时不含分母的项切勿漏乘,分数线相当于括号,去分母后分子各项应加括号;
3、去括号时,不要漏乘括号内的项,不要弄错符号;
4、移项时,切记要变号,不要丢项,有时先合并再移项,以免丢项;
5、系数化为1时,方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数,不要弄错符号;
6、不要生搬硬套解方程的步骤,具体问题具体分析,找到最佳解法;
7、分、小数运算时不能嫌麻烦;
8、不要跳步,一步步仔细算。
解一元一次方程的步骤:
一般解法:
⒈去分母:
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(不含分母的项也要乘);
依据:
等式的性质2
⒉去括号:
一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号,可根据乘法分配律(记住如括号外有减号或除号的话一定要变号)
依据:
乘法分配律
⒊移项:
把方程中含有未知数的项都移到方程的一边(一般是含有未知数的项移到方程左边,而把常数项移到右边)
依据:
等式的性质1
⒋合并同类项:
把方程化成ax=b(a≠0)的形式;
依据:
乘法分配律(逆用乘法分配律)
⒌系数化为1:
在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解
依据:
等式的性质2
方程的同解原理 :
如果两个方程的解相同,那么这两个方程叫做同解方程。
⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。
⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。
做一元一次方程应用题的重要方法:
⒈认真审题(审题)
⒉分析已知和未知量
⒊找一个合适的等量关系
⒋设一个恰当的未知数
⒌列出合理的方程(列式)
⒍解出方程(解题)
⒎检验
⒏写出答案(作答)
例:
ax=b(a、b为常数)?
解:
当a≠0,b=0时,
ax=0
x=0(此种情况与下一种一样)
当a≠0时,x=b/a。
当a=0,b=0时,方程有无数个解(注意:
这种情况不属于一元一次方程,而属于恒等方程)
当a=0,b≠0时,方程无解(此种情况也不属于一元一次方程)
例:
(3x+1)/2-2=(3x-2)/10-(2x+3)/5
去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)得:
5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3)
去括号得:
15x+5-20=3x-2-4x-6
移项得:
15x-3x+4x=-2-6-5+20
合并同类项得:
16x=7
系数化为1得:
x=7/16。
注:
字母公式(等式的性质)
a=ba+c=b+ca-c=b-c(等式的性质1)
a=bac=bc
a=bc(c≠0)=a÷c=b÷c(等式的性质2)
检验算出后需检验的。
求根公式
由于一元一次方程是基本方程,教科书上的解法只有上述的方法。
但对于标准形式下的一元一次方程ax+b=0
可得出求根公式x=-(b/a)
考点名称:
一元一次方程中的待定系数
二元一次方程组还可以用来求一个公式中的系数,这种方法叫作待定系数法。
这类问题主要是已知方程的解的情况,求方程的未知系数。
例如:
二次函数经过某一点,还知道它的对称轴,和最高点,要我们求这个函数的解析式,我们在求这个解析式时设为y=ax2+bx+c,然后把点坐标和对称轴方程,最高点的表达式代入设的方程,进行求解,这就叫待定系数法。
考点名称:
一元一次方程的应用
许多实际问题都归结为解一种方程或方程组,所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际,解决实际问题的一个重要方面;
同时通过列方程解应用题,可以培养我们分析问题,解决问题的能力。
列一元一次方程解应用题的一般步骤:
列方程(组)解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。
其具体步骤是:
⑴审题:
理解题意。
弄清问题中已知量是什么,未知量是什么,问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元(未知数):
找出等量关系:
找出能够表示本题含义的相等关系;
①直接未知数:
设出未知数,列出方程:
设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出的等量关系列出方程;
②间接未知数(往往二者兼用)。
一般来说,未知数越多,方程越易列,但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系(有的由题目给出,有的由该问题所涉及的等量关系给出),列方程。
一般地,未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答题。
综上所述,列方程(组)解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题(设元、列方程),在由数学问题的解决而导致实际问题的解决(列方程、写出答案)。
在这个过程中,列方程起着承前启后的作用。
因此,列方程是解应用题的关键。
一元一次方程应用题型及技巧:
列方程解应用题的几种常见类型及解题技巧:
(1)和差倍分问题:
①倍数关系:
通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率……”来体现。
②多少关系:
通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
③基本数量关系:
增长量=原有量×增长率,现在量=原有量+增长量。
(2)行程问题:
基本数量关系:
路程=速度×时间,时间=路程÷速度,速度=路程÷时间,
路程=速度×时间。
①相遇问题:
快行距+慢行距=原距;
②追及问题:
快行距-慢行距=原距;
③航行问题:
顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度,
逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度
例:
甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙站开出,每小时行140公里。
慢车先开出1小时,快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇?
两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里?
两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里?
两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车?
慢车开出1小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车?
(此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程。
)
例:
一艘船在两个码头之间航行,水流速度是3千米每小时,顺水航行需要2小时,逆水航行需要3小时,求两码头的之间的距离?
(3)劳力分配问题:
抓住劳力调配后,从甲处人数与乙处人数之间的关系来考虑。
这类问题要搞清人数的变化。
例.某厂一车间有64人,二车间有56人。
现因工作需要,要求第一车间人数是第二车间人数的一半。
问需从第一车间调多少人到第二车间?
(4)工程问题:
三个基本量:
工作量、工作时间、工作效率;
其基本关系为:
工作量=工作效率×工作时间;相关关系:
各部分工作量之和为1。
例:
一件工程,甲独做需15天完成,乙独做需12天完成,现先由甲、乙合作3天后,甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成,问乙还要几天才能完成全部工程?
(5)利润问题:
基本关系:
①商品利润=商品售价-商品进价;
②商品利润率=商品利润/商品进价×100%;
③商品销售额=商品销售价×商品销售量;
④商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量。
⑤商品售价=商品标价×折扣率例.
例:
一家商店将某种服装按进价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的进价是多少?
(6)数字问题:
一般可设个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c,十位数可表示为10b+a,百位数可表示为100c+10b+a,然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。
数字问题中一些表示:
两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;
偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示;奇数用2n+1或2n—1表示。
例:
有一个三位数,个位数字为百位数字的2倍,十位数字比百位数字大1,若将此数个位与百位顺序对调(个位变百位)所得的新数比原数的2倍少49,求原数。
(7)盈亏问题:
“盈”表示分配中的多余情况;“亏”表示不足或缺少部分。
(8)储蓄问题:
其数量关系是:
利息=本金×利率×存期;:
(注意:
利息税)。
本息=本金+利息,利息税=利息×利息税率。
注意利率有日利率、月利率和年利率,年利率=月利率×12=日利率×365。
(9)溶液配制问题:
其基本数量关系是:
溶液质量=溶质质量+溶剂质量;
溶质质量=溶液中所含溶质的质量分数。
这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系,分析时可采用列表的方法来帮助理解题意。
(10)比例分配问题:
这类问题的一般思路为:
设其中一份为x,利用已知的比,写出相应的代数式。
常用等量关系:
各部分之和=总量。
还有劳力调配问题、配套问题、年龄问题、比赛积分问题、增长率问题等都会有涉及。
考点名称:
全面调查和抽样调查
全面调查:
就是对需要调查的对象进行逐个调查。
这种方法所得资料较为全面可靠,但调查花费的人力、物力、财力较多,且调查时间较长,不适合一般企业的要求。
全面调查只在产品销售范围很窄或用户很少的情况下可以采用。
对品种多、产量大、销售范围广的产品,就不适用全面调查,而可以采用抽样调查。
抽样调查:
是从需要调查对象的总体中,抽取若干个个体即样本进行调查,并根据调查的情况推断总体的特征的一种调查方法。
抽样调查可以把调查对象集中在少数样本上,并获得与全面调查相近的结果。
这是一种较经济的调查方法,因而被广泛采用。
抽样调查是从研究对象的总体中抽取一部分个体作为样本进行调查,据此推断有关总体的数字特征。
调查好处与特点:
1.全面调查:
对需要调查的对象进行逐个调查。
好处:
所得资料较为全面可靠。
特点:
调查花费的人力、物力、财力较多,且调查时间较长,全面调查只在样本很少的情况下适合采用。
2.抽样调查:
是一种非全面调查,它是从全部调查研究对象中,抽选一部分单位进行调查,并据以对全部调查研究对象作出估计和推断的一种调查方法。
好处:
耗费的人力,物力,财力少,大量节约调查时间。
特点:
1、按随机原则抽选样本。
2、总体中每一个单位都有一定的概率被抽中。
3、可以用一定的概率来保证将误差控制在规定的范围之内。
4、适合样本数量较多的情况下采用。
全面调查和抽样调查关系:
全面调查和抽样调查是按调查对象范围不同划分的调查方式。
全面调查是对调查对象中的所有单位全部加以调查,通过基层单位按照一定的报表填报要求进行逐一登记、逐级上报、层层汇总,最后取得调查结果的一种调查方式,如人口普查、经济普查等。
抽样调查是一种非全面调查,它是从研究的总体中按随机原则抽取部分样本单位进行调查,并根据样本单位的调查结果来推断总体,以达到认识总体的一种统计调查方式。
抽样调查用样本指标代表总体指标不可避免会产生误差,抽样推断虽然会有抽样误差(不包括登记误差和系统性误差),但只要严格遵守随机原则,所选的样本结构与总体结构相同,或者两者分布一致,就可以运用数学公式计算抽样误差。
随机抽样产生的误差,只要确定其具体的数量界限,可以通过抽样程序设计加以控制。
因此抽样调查的结果是有可靠的科学依据的。
抽样调查与全面调查有着相辅相成的关系。
在实际运用中,没有必要进行全面调查和不可能进行全面调查时宜采用抽样调查。
抽样调查的优点:
一是由于只从总体中抽取一部分样本进行调查,工作量小,所以比全面调查节省人力、物力、财力,比较经济;
二是可以及时取得调查资料,提高数据的时效性;
三是数据质量有保证,由于抽样调查一般是自上而下组织调查,直接派员深入实际抽取样本并推断总体,可以减少人为因素干扰,只要取样、推断方法科学,均有利于提高数据的质量;
第四,调查方法灵活,如实际工作中使用较多的问卷调查、入户调查、电话调查等,适应面广,特别适于对点多面广的总体作调查。
考点名称:
扇形图
定义:
用圆的面积代表事物总体,以扇形的面积和圆的面积的比值表示个项目占总体的百分数的统计图,叫做扇形统计图。
特点:
(1)用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比;
(2)易于显示每组数据相对于总数的大小。
作用:
能清楚地了解各部分数与总数之间的关系与比例。
扇形面积与其对应的圆心角的关系是:
扇形面积越大,圆心角的度数越大。
扇形面积越小,圆心角的度数越小。
扇形所对圆心角的度数与百分比的关系是:
圆心角的度数=百分比×360度
扇形统计图还可以画成圆柱形的。
制作扇形统计图的步骤:
(1)根据统计资料,整理数据,并计算出部分占整体的百分数;
(2)根据各部分占总体的百分数,计算出各部分扇形圆心角的度数;
(3)取适当半径作圆,按圆心角将圆分成几个扇形;
(4)对应标上各部分名称及占总体的百分数。
考点名称:
条形图
条形图定义:
用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少画成长短不同的条形,条形的宽度必须保持一致,然后把这些条形排列起来,这样的统计图叫做条形统计图。
它可以表示出每个项目的具体数量。
条形图特点:
(1)能够显示每组中的具体数据;
(2)易于比较数据之间的差别。
描绘条形图的3要素:
组数、组宽度、组限。
1.组数
把数据分成几组,指导性的经验是将数据分成5~10组。
2.组宽度
通常来说,每组的宽度是一致的。
组数和组宽度的选择就不是独立决定的,一个经验标准是:
近似组宽度=(最大值-最小值)/组数
然后根据四舍五入确定初步的近似组宽度,之后根据数据的状况进行调整。
3.组限
分为组下限(进入该组的最小可能数据)和组上限(进入该组的最大可能数据),并且一个数据只能在一个组限内。
绘画条形图时,不同组之间是有空隙的;而绘画直方图时,不同组之间是没有空隙的。
使用条形图的情况:
轴标签过长;
显示的数值是持续型的。
条形图具有下列图表子类型:
簇状条形图和三维簇状条形图 簇状条形图比较各个类别的值。
在簇状条形图中,通常沿垂直轴组织类别,而沿水平轴组织数值。
三维簇状条形图以三维格式显示水平矩形,而不以三维格式显示数据。
堆积条形图和三维堆积条形图 堆积条形图显示单个项目与整体之间的关系。
三维堆积条形图以三维格式显示水平矩形,而不以三维格式显示数据。
百分比堆积条形图和三维百分比堆积条形图 此类型的图表比较各个类别的每一数值所占总数值的百分比大小。
三维百分比堆积条形图表以三维格式显示水平矩形,而不以三维格式显示数据。
水平圆柱图、圆锥图和棱锥图 水平圆柱图、圆锥图和棱锥图可以使用为矩形条形图提供的簇状图、堆积图和百分比堆积图,并且它们以完全相同的方式显示和比较数据。
唯一的区别是这些图表类型显示圆柱、圆锥和棱锥形状而不是水平矩形。
制作条形图的步骤:
(1)根据统计资料整理数据,一般整理成表格形式;
(2)画出横轴、纵轴,确定它们所表示的项目,选定标尺,按一定比例作为长度单位,长短要适中,根据数据的大小对应标出;
(3)画直条,条形的高与数据的大小成比例。
条形的宽度、间隔要一致;
(4)写上统计总标题、制图日期及数量单位。
考点名称:
频数与频率
频数:
一般我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。
频率:
频数与数据总数的比值为频率。
频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量。
频数:
在一组依大小顺序排列的测量值中,当按一定的组距将其分组时出现在各组内的测量值的数目。
如有一组测量数据,数据的总个数N=148最小的测量值xmin=0.03,最大的测量值xmax=31.67,按组距为△x=3.000将148个数据分为11组,其中分布在15.05~18.05范围内的数据有26个,则称该数据组的频数为26。
频率:
如在314159265358979324中,‘9’出现的频数是3,出现的频率是3/18=16.7%
频数也称“次数”,对总数据按某种标准进行分组,统计出各个组内含个体的个数。
而频率则每个小组的频数与数据总数的比值。
在变量分配数列中,频数(频率)表明对应组标志值的作用程度。
频数(频率)数值越大表明该组标志值对于总体水平所起的作用也越大,反之,频数(频率)数值越小,表明该组标志值对于总体水平所起的作用越小。
考点名称:
直方图
频数分布直方图的定义:
在统计数据时,按照频数分布表,在平面直角坐标系中,横轴标出每个组的端点,纵轴表示频数,每个矩形的高代表对应的频数,称这样的统计图为频数分布直方图。
相关概念:
组数:
在统计数据时,我们把数据按照不同的范围分成几个组,分成的组的个数称为组数。
组距:
每一组两个端点的差。
频数分布直方图的特点:
①能够显示各组频数分布的情况;
②易于显示各组之间频数的差别。
作直方图的目的有:
作直方图的目的就是通过观察图的形状,判断生产过程是否稳定,预测生产过程的质量。
1判断一批已加工完毕的产品;
搜集有关数据。
直方图将数据根据差异进行分类,特点是明察秋毫地掌握差异。
2在公路工程质量管理中,作直方图的目的有:
①估算可能出现的不合格率;
②考察工序能力估算法
③判断质量分布状态;
④判断施工能力;
直方图绘制注意事项:
a.抽取的样本数量过小,将会产生较大误差,可信度低,也就失去了统计的意义。
因此,样本数不应少于50个。
b.组数k选用不当,k偏大或偏小,都会造成对分布状态的判断有误。
c.直方图一般适用于计量值数据,但在某些情况下也适用于计数值数据,这要看绘制直方图的目的而定。
d.图形不完整,标注不齐全,直方图上应标注:
公差范围线、平均值的位置(点画线表示)不能与公差中心M相混淆;图的右上角标出:
N、S、Cp或CPK.
制作频数分布直方图的方法:
①集中和记录数据,求出其最大值和最小值。
数据的数量应在100个以上,在数量不多的情况下,至少也应在50个以上。
我们把分成组的个数称为组数,每一个组的两个端点的差称为组距。
②将数据分成若干组,并做好记号。
分组的数量在5-12之间较为适宜。
③计算组距的宽度。
用最大值和最小值之差去除组数,求出组距的宽度。
④计算各组的界限位。
各组的界限位可以从第一组开始
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- 年级 上册 北师大 数学 部分 考点 总结