河北省衡水中学高三第十次模拟考试数学理试题解析版.docx
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河北省衡水中学高三第十次模拟考试数学理试题解析版
河北省衡水中学高三第十次模拟考试
数学(理)试题
一、选择题(每小题5分,共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上)
1.设集合,,则()
A.B.C.D.
2.在复平面内,复数对应的点的坐标为,则在复平面内对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.已知中,,,则的值是()
A.B.C.D.
4.设,为的展开式的第一项(为自然对数的底数),,若任取,则满足的概率是()
A.B.C.D.
5.函数的图象大致是()
A.B.C.D.
6.已知一个简单几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为,则该几何体的表面积为()
A.B.C.D.
7.已知,,,则,,的大小关系为()
A.B.C.D.
8.执行如下程序框图,则输出结果为()
A.B.C.D.
9.如图,设椭圆:
的右顶点为,右焦点为,为椭圆在第二象限上的点,直线交椭圆于点,若直线平分线段于,则椭圆的离心率是()
A.B.C.D.
10.设函数为定义域为的奇函数,且,当时,,则函数在区间上的所有零点的和为()
A.B.C.D.
11.已知函数,其中为函数的导数,求()
A.B.C.D.
12.已知直线:
,若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于,则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程:
①;②;③;④.其中直线的“绝对曲线”的条数为()
A.B.C.D.
二、填空题:
(本大题共4小题,每题5分,共20分)
13.已知实数,满足,且,则实数的取值范围_______.
14.双曲线的左右焦点分别为、,是双曲线右支上一点,为的内心,交轴于点,若,且,则双曲线的离心率的值为__________.
15.若平面向量,满足,则在方向上投影的最大值是________.
16.观察下列各式:
;
;
;
;
……
若按上述规律展开后,发现等式右边含有“”这个数,则的值为__________.
三、解答题:
(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答)
17.已知等差数列中,公差,,且,,成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若为数列的前项和,且存在,使得成立,求实数的取值范围.
18.为了解学生寒假期间学习情况,学校对某班男、女学生学习时间进行调查,学习时间按整小时统计,调查结果绘成折线图如下:
(1)已知该校有名学生,试估计全校学生中,每天学习不足小时的人数.
(2)若从学习时间不少于小时的学生中选取人,设选到的男生人数为,求随机变量的分布列.
(3)试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小.(只需写出结论)
19.如图所示,四棱锥的底面为矩形,已知,,过底面对角线作与平行的平面交于.
(1)试判定点的位置,并加以证明;
(2)求二面角的余弦值.
20.在平面直角坐标平面中,的两个顶点为,,平面内两点、同时满足:
①;②;③.
(1)求顶点的轨迹的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线,,直线,与的轨迹相交弦分别为,,设弦,的中点分别为,.
①求四边形的面积的最小值;
②试问:
直线是否恒过一个定点?
若过定点,请求出该定点,若不过定点,请说明理由.
21.已知函数.
(1)当,求函数的图象在处的切线方程;
(2)若函数在上单调递增,求实数的取值范围;
(3)已知,,均为正实数,且,求证.
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程]
在极坐标系中,曲线的极坐标方程是,以极点为原点,极轴为轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系中,曲线的参数方程为:
(为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程;
(2)将曲线经过伸缩变换后得到曲线,若,分别是曲线和曲线上的动点,求的最小值.
23.[选修4-5:
不等式选讲]
已知.
(1)当时,解不等式.
(2)若不等式对恒成立,求实数的取值范围.
2018届河北省衡水中学高三第十次模拟考试
数学(理)试题(解析版)
一、选择题(每小题5分,共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上)
1.设集合,,则()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】A={x|y=log2(2﹣x)}={x|x<2},
B={x|x2﹣3x+2<0}={x|1<x<2},
则∁AB={x|x≤1},
故选:
B.
2.在复平面内,复数对应的点的坐标为,则在复平面内对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】D
【解析】设z=x+yi,
,
∴
∴在复平面内对应的点位于第四象限
故选:
D.
3.已知中,,,则的值是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】∵,
∴化为.可得:
B为锐角,C为钝角.
∴=-==≤=
,当且仅当tanB=时取等号.
∴tanA的最大值是
故选A
点睛:
本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质,属于综合题是三角和不等式的结合.
4.设,为的展开式的第一项(为自然对数的底数),,若任取,则满足的概率是()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由题意,s=,
∴m==e,则A={(x,y)|0<x<m,0<y<1}={(x,y)|0<x<e,0<y<1},画出A={(x,y)|0<x<e,0<y<1}表示的平面区域,
任取(a,b)∈A,则满足ab>1的平面区域为图中阴影部分,
如图所示:
计算阴影部分的面积为
S阴影==(x﹣lnx)=e﹣1﹣lne+ln1=e﹣2.
所求的概率为P=,
故选:
C.
5.函数的图象大致是()
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】函数y=是偶函数,排除B.
当x=10时,y=1000,对应点在x轴上方,排除A,
当x>0时,y=x3lgx,y′=3x2lgx+x2lge,可知x=是函数的一个极值点,排除C.
故选:
D.
6.已知一个简单几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为,则该几何体的表面积为()
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】该几何体是一个棱锥与四分之一的圆锥的组合体,其表面积为,,所以,故选D.
7.已知,,,则,,的大小关系为()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由题易知:
,∴
故选:
A
点睛:
利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式的异同,底数相同,考虑指数函数增减性,指数相同考虑幂函数的增减性,当都不相同时,考虑分析数或式子的大致范围,来进行比较大小,另一方面注意特殊值的应用,有时候要借助其“桥梁”作用,来比较大小.........................
8.执行如下程序框图,则输出结果为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由题意得:
则输出的S=
.
故选:
C
9.如图,设椭圆:
的右顶点为,右焦点为,为椭圆在第二象限上的点,直线交椭圆于点,若直线平分线段于,则椭圆的离心率是()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】如图,设AC中点为M,连接OM,
则OM为△ABC的中位线,
于是△OFM∽△AFB,且,
即=可得e==.
故答案为:
.
点睛:
解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式,再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式,建立关于a,b,c的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
10.设函数为定义域为的奇函数,且,当时,,则函数在区间上的所有零点的和为()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由题意,函数,,则,可得,即函数的周期为4,且的图象关于直线对称.在区间上的零点,即方程的零点,分别画与的函数图象,两个函数的图象都关于直线对称,方程的零点关于直线对称,由图象可知交点个数为6个,可得所有零点的和为6,故选A.
点睛:
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.
11.已知函数,其中为函数的导数,求()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由题意易得:
∴函数的图象关于点中心对称,
∴
由可得
∴为奇函数,
∴的导函数为偶函数,即为偶函数,其图象关于y轴对称,
∴
∴
故选:
A
12.已知直线:
,若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于,则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程:
①;②;③;④.
其中直线的“绝对曲线”的条数为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由y=ax+1﹣a=a(x﹣1)+1,可知直线l过点A(1,1).
对于①,y=﹣2|x﹣1|,图象是顶点为(1,0)的倒V型,而直线l过顶点A(1,1).所以直线l不会与曲线y=﹣2|x﹣1|有两个交点,不是直线l的“绝对曲线”;
对于②,(x﹣1)2+(y﹣1)2=1是以A为圆心,半径为1的圆,
所以直线l与圆总有两个交点,且距离为直径2,所以存在a=±2,使得圆(x﹣1)2+(y﹣1)2=1与直线l有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于|a|.
所以圆(x﹣1)2+(y﹣1)2=1是直线l的“绝对曲线”;
对于③,将y=ax+1﹣a代入x2+3y2=4,
得(3a2+1)x2+6a(1﹣a)x+3(1﹣a)2﹣4=0.
x1+x2=,x1x2=.
若直线l被椭圆截得的线段长度是|a|,
则
化简得.
令f(a)=.
f
(1),f(3).
所以函数f(a)在(1,3)上存在零点,即方程有根.
而直线过椭圆上的定点(1,1),当a∈(1,3)时满足直线与椭圆相交.
故曲线x2+3y2=4是直线的“绝对曲线”.
对于④将y=ax+1﹣a代入.
把直线y=ax+1-a代入y2=4x得a2x2+(2a-2a2-4)x+(1-a)2=0,
∴x1+x2=,x1x2=.
若直线l被椭圆截得的弦长是|a|,
则a2=(1+a2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+a2)
化为a6-16a2+16a-16=0,
令f(a)=a6-16a2+16a-16,而f
(1)=-15<0,f
(2)=16>0.
∴函数f(a)在区间(1,2)内有零点,即方程f(a)=0有实数根,当a∈(1,2)时,直线满足条件,即此函数的图象是“绝对曲线”.
综上可知:
能满足题意的曲线有②③④.
故
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