第2讲 二次函数的综合应用 教师版.docx
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第2讲二次函数的综合应用教师版
第2讲 二次函数的综合应用
一、二次函数结合方程,不等式的应用:
(1)二次函数与其他函数联立求交点问题
(2)已知函数值的取值范围求自变量的取值范围
(3)函数比较大小
二、二次函数中三角形的面积最值问题:
借助面积公式
三、根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意,建立二次函数的数学模型来解决问题.需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定.
①描点猜想问题需要动手操作,这类问题需要真正的去描点,观察图象后再判断是二次函数还是其他函数,再利用待定系数法求解相关的问题.
②函数与几何知识的综合问题,有些是以函数知识为背景考查几何相关知识,关键是掌握数与形的转化;有些题目是以几何知识为背景,从几何图形中建立函数关系,关键是运用几何知识建立量与量的等式.
四、二次函数的应用
1.利用二次函数解决利润问题:
在商品经营活动中,经常会遇到求最大利润,最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意,确定出二次函数的解析式,然后确定其最大值,实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义,因此在求二次函数的最值时,一定要注意自变量x的取值范围.
2.几何图形中的最值问题:
几何图形中的二次函数问题常见的有:
几何图形中面积的最值,用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论.
3.构建二次函数模型解决实际问题:
利用二次函数解决抛物线形的隧道.大桥和拱门等实际问题时,要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上,从而确定抛物线的解析式,通过解析式可解决一些测量问题或其他问题.
注:
二次函数的取值范围:
一般情况下,二次函数中自变量的取值范围是全体实数,对实际问题,自变量的取值范围还需使实际问题有意义.
考点一、二次函数与方程、不等式的综合
【例1】(☆☆)点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)是关于x的函数y=mx2﹣(2m+1)x+m+1(m为实数)图象上两个不同的点.对于下列说法:
①不论m为何实数,关于x的方程mx2﹣(2m+1)x+m+1=0必有一个根为x=1;
②当m=0时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0成立;
③当x1+x2=0时,若y1+y2=0,则m=﹣1;
④当m≠0时,抛物线顶点在直线y=﹣x+1上.
其中正确的是( A )
A.①②B.①②③C.③④D.①②④
【解答】解:
当x=1时,y=mx2﹣(2m+1)x+m+1=m﹣2m﹣1+m+1=0,则方程mx2﹣(2m+1)x+m+1=0必有一个根为x=1,所以①正确;
当m=0时,y=﹣x+1,则y1=﹣x1+1,y2=﹣x2+1,所以(x1﹣x2)(y1﹣y2)=(x1﹣x2)(﹣x1+x2)=﹣(x1﹣x2)2,而点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)是两个不同的点,则(x1﹣x2)(y1﹣y2)=﹣(x1﹣x2)2<0,所以②正确;
当m=﹣1时,y=﹣x2+x,则y1=﹣x12+x1,y2=﹣x22+x2,所以y1+y2=﹣x12+x1﹣x22+x2=﹣(x1+x2)2+2x1x2+(x1+x2)=2x1x2≠0,所以③错误;
当m≠0时,顶点的横坐标为,纵坐标为=,当x=时,y=﹣x+1=﹣•+1=,所以抛物线的顶点不在直线y=﹣x+1上,所以④错误.
故选:
A.
【例2】(☆☆)已知Y1,Y2,Y3分别表示二次函数、反比例函数和一次函数的三个函数值,它们的交点分别是A(﹣1,﹣2)、B(2,1)和C(,3),规定M={Y1,Y2,Y3中最小的函数值},则下列结论错误的是( C )
A.当x<﹣1时,M=Y1
B.当﹣1<x<0时,Y2<Y3<Y1
C.当0≤x≤2时,M的最大值是1,无最小值
D.当x≥2时,M最大值是1,无最小值
【解答】解:
A、由图象可知,当x<﹣1时,对于每一个x的值,二次函数的图象都落在反比例函数和一次函数图象的下方,所以此时M=Y1,本选项正确,不符合题意;
B、由图象可知,当﹣1<x<0时,Y2<Y3<Y1,本选项正确,不符合题意;
C、由图象可知,当0≤x≤2时,M=Y3,最大值是1,最小值是﹣1,本选项错误,符合题意;
D、由图象可知,当x≥2时,M=Y1,最大值是1,无最小值,本选项正确,不符合题意;
故选:
C.
【例3】(☆☆☆)二次函数y=(x﹣a)(x﹣b)﹣2,(a<b)的图象与x轴交点的横坐标为m,n,且m<n,则a,b,m,n的大小关系是( A )
A.m<a<b<nB.a<m<b<nC.a<m<n<bD.m<a<n<b
【解答】解:
二次函数y=(x﹣a)(x﹣b)与x轴交点的横坐标为a、b,将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y=(x﹣a)(x﹣b)﹣2的图象,如图所示.
观察图象,可知:
m<a<b<n.
故选:
A.
【例4】(☆☆☆)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象于x轴的交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1<x2,图象上有一点M(x0,y0)在x轴下方,对于以下说法:
①b2﹣4ac>0;
②x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解;
③x1<x0<x2
④a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0;
⑤x0<x1或x0>x2,
其中正确的有( )
A.①②B.①②④C.①②⑤D.①②④⑤
【解答】解:
①∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象于x轴的交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1<x2,
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,
∴△=b2﹣4ac>0,①正确;
②∵图象上有一点M(x0,y0),
∴a+bx0+c=y0,
∴x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解,②正确;
③当a>0时,∵M(x0,y0)在x轴下方,
∴x1<x0<x2;
当a<0时,∵M(x0,y0)在x轴下方,
∴x0<x1或x0>x2,③错误;
④∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象于x轴的交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),
∴y=ax2+bx+c=a(x﹣x1)(x﹣x2),
∵图象上有一点M(x0,y0)在x轴下方,
∴y0=a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0,④正确;
⑤根据③即可得出⑤错误.
综上可知正确的结论有①②④.
故选:
B.
举一反三
1.(☆☆)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解为( A )
A.﹣1,3B.﹣2,3C.1,3D.3,4
2.(☆☆)已知二次函数y1=ax2+bx+c(a>0)与一次函数y2=kx+m的图象相交于A(﹣1,4)、B(4,2)两点,则能使关于x的不等式ax2+(b﹣k)x+c﹣m>0成立的x的取值范围是( C )
A.2<x<4B.﹣1<x<4C.x<﹣1或x>4D.x>4
【解答】解:
如图,
∵当ax2+bx+c>kx+m时,
∴ax2+(b﹣k)x+c﹣m>0,
即y1>y2时,由二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于A(﹣1,4)、B(4,2)两点,
则由图象可得出:
x<﹣1或x>4.
故选:
C.
3.(☆☆☆)已知关于x的方程2+(x﹣m)(x﹣n)=0,存在a,b是方程2+(x﹣m)(x﹣n)=0的两个根,则实数m,n,a,b的大小关系可能是( A )
A.m<a<b<nB.m<a<n<bC.a<m<b<nD.a<m<n<b
【解答】解:
令函数y=2+(x﹣m)(x﹣n)=x2﹣(m+n)x+mn+2,
∴抛物线开口向上,
令y=0,根据题意得到方程(x﹣m)(x﹣n)=﹣2的两个根为a,b,
∵当x=m或n时,y=2>0,
∴实数m,n,a,b的大小关系为m<a<b<n.
故选:
A.
4.(☆☆☆)若二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点分别为(x1,0),(x2,0),且x1<x2,图象上有一点M(x0,y0),且在x轴下方,对于以下说法:
①b2﹣4ac>0②方程ax2+bx+c=y0的解是x=x0③当x0=时,y0的值最小④(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0,其中正确的序号是 ①③④ .
【解答】解:
∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点分别为(x1,0),(x2,0),
∴△=b2﹣4ac>0,所以①正确;
∵点M(x0,y0)在二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象上,
∴x=x0为方程ax2+bx+c=y0的解,所以②错误;
∵x0=
∴抛物线的对称轴为直线x=x0,
∴点M(x0,y0)为抛物线的顶点,
∴y0的值最小,所以③正确;
∵x1<x2,点M(x0,y0)在x轴下方,
∴x1<x0,x0<x2,
∴(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0,所以④正确.
故答案为①③④.
5.(☆☆)关于x的不等式组无解,则二次函数图象y=ax2﹣2x﹣1与x轴的交点( A )
A.没有交点B.一个交点C.两个交点D.不能确定
【解答】解:
∵不等式组(x为未知数)无解,
∴由﹣2x+4≥0,
解得:
x≤2,
则x>a时,即x>2时此不等式组无解,
∴a=2,
∵y=ax2﹣2x+1中,
b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4a=4﹣4×2=﹣4<0,
∴二次函数的图象y=ax2﹣2x+1与x轴的没有交点.
故选:
A.
考点二、二次函数与几何图形的综合
【例1】(☆☆)如图,OABC是边长为1的正方形,OC与x轴正半轴的夹角为15°,点B在抛物线y=ax2(a<0)的图象上,则a的值为( B )
A.B.C.﹣2D.
【解答】解:
如图,连接OB,过B作BD⊥x轴于D;
则∠BOC=45°,∠BOD=30°;
已知正方形的边长为1,则OB=;
Rt△OBD中,OB=,∠BOD=30°,则:
BD=OB=,OD=OB=;
故B(,﹣),
代入抛物线的解析式中,得:
()2a=﹣,
解得a=﹣;
故选:
B.
【例2】(☆☆☆)如图,已知点A(4,0),O为坐标原点,P是线段OA上任意一点(不含端点O,A),过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下,它们的顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=3时,这两个二次函数的最大值之和等于( A )
A.B.C.3D.4
【解答】解:
过B作BF⊥OA于F,过D作DE⊥OA于E,过C作CM⊥OA于M,
∵BF⊥OA,DE⊥OA,CM⊥OA,
∴BF∥DE∥CM,
∵OD=AD=3,DE⊥OA,
∴OE=EA=OA=2,
由勾股定理得:
DE=,
设P(2x,0),根据二次函数的对称性得出OF=PF=x,
∵BF∥DE∥CM,
∴△OBF∽△ODE,△ACM∽△ADE,
∴=,=,
∵AM=PM=(OA﹣OP)=(4﹣2x)=2﹣x,
即=,=,
解得:
BF=x,CM=﹣x,
∴BF+CM=.
故选:
A.
举一反三
1.(☆☆)如图,正方形OABC的边长为2,OA与x轴负半轴的夹角为15°,点B在抛物线y=ax2(a<0)的图象上,则a的值为( B )
A.B.C.﹣2D.
【解答】解:
如图,连接OB,过B作BD⊥x轴于D;
则∠BOA=45°,∠BOD=30°;
已知正方形的边长为2,则OB=2;
Rt△OBD中,OB=2,∠BOD=30°,则:
BD=OB=,OD=OB=;
故B(﹣,﹣),
代入抛物线的解析式中,得:
(﹣)2a=﹣,
解得a=﹣;
故选:
B.
2.(☆☆)二次函数y=ax2+bx+c(a
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