高等代数北大版第9章习题参考答案.docx
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高等代数北大版第9章习题参考答案
第九章欧氏空间
1.设aj是一个n阶正定矩阵,而
(x1,x2,,xn),
(y1,y2,
yn),
在Rn中定义内积(,)
1)证明在这个定义之下,只“成一欧氏空间;
2)求单位向量
1(1,0,,0)
2(0,1,,0),
J
(0,0,,1),
的度量矩阵;
3)具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
(1)
(2)
(3)
(4)
1)易见(
(k,)
(,)
由于
(,
)
(k
)(
i,j
是Rn上的一个二元实函数,且
k()k(,),
aijxiyj,
(,
)
),
(,),
A是正定矩阵,
因此
aijxiyj是正定而次型,i,j
从而
(,)
0,且仅当
0时有
)0。
。
2)设单位向量
1(1,0,
0)
2(0,1,,0)
(0,0,
1),
的度量矩阵为B
(bij)
bij(
i,j)
(QJ,
an
a12
a1n
a22
a22
a2n
an1
an2
ann
0)
1
(j)=aij,(i,j1,2,,n),
因此有
4)
由定义,
ajXiyj
i,j
ajXiXj
i,j
ajyyj
i,j
故柯西一布湿柯夫斯基不等式为
ajXyj
i,j
i,j
ajXiXj
a^yiyj
i,j
2.在R4中,求,
之间
(内积按通常定
1)
(2,1,3,2)
(1,2,
2,1)
2)
(1,2,2,3),
(3,1,
5,1),
3)
(1,1,1,2)
5
(3,2,
1,0)o
解1)
由定义,得
(,)2112
3
(1)
21
义),
设:
所以
0
2)
因为
18
18
36
cos
18
18.36
所以
(,)3
5
(,)17
(
5
)3cos
5
13
所以,
cos
J77。
3.d(,)
通常为,
的距离,证明;
d(,)d(
)d(,
)。
证由距离的定义及三角不等式可得
d(,)
1(
)(
)
3)同理可得
3
.77,
d(,)d(,)。
4在R4中求一单位向量与
1,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,3正交。
解设
X1,X2,X3,X4
与三个已知向量分别正交,得方程组
X1X2X3
X40
X1X2X3
X40,
2x1x2x3
3x40
因为方程组的系数矩阵A的秩为3,所以可令
x31捲4,x20,x43,即4,0,1,3。
再将其单位化,则
11
丄寺4,0,1,3,
a<26
即为所求。
5•设1,2,
n是欧氏空间V的一组基,证明:
1)如果V使
i0i1,2,,n,,那么
0
2)如果1,2
V使对任一
V有
1,2,,那么
12。
证1)因为1,
2,
n为欧氏空间
V的一组基,且对
V,有
i01,2,
n,
所以可设k1
1k22
knn
且有
,k11
k22
knn
匕,1k2
2
kn,
n
即证0。
2)由题设,对任一
V总有
11
2,,特别对基
i也有
11i2)i
,或者
1
2,i
0i1,2,,n,
再由1)可得1
20,
即证
12
。
6设1,2,3是三维欧氏空间中一组标准正交基,证明:
3
丄2
3
1
也是一组标准正交基。
证因为
3,21
同理可得
另一方面
21,21
4
(2)
22,
(2)
3>23
1,121223,21223
9
1
941>142>23,3
1-(441)1,
9
同理可得
2,23,31,
即证1,2,3也是三维欧氏空间中的一组标准正交基。
7.设1,2,3,4,5也是五维欧氏V空间中的一组标准正交基,ML2,2,3,其中
115,2124
求V1的一组标准正交基。
解首先证明1,2,3线性无关•事实上,由
(1,2,3)(1,2,3,
1
1
2
0
1
1
其中A0
0
1的秩为
0
1
0
1
0
0
将正交化,可得
1
1
2
0
1
1
4,5)0
0
1
0
1
0
1
0
0
3,所以1,
2,3
线性无关。
单位化,有
2(122245),
10
3㊁(1235),
则1,2,3为V的标准正交基。
8.求齐次线性方程组
2x1x2
x3x43x50
X1X2X3X5
的解空间(作为R5的子空间)的一组标准正交基。
x43x52x1x2x3
X5X1X2X3
可得基础解系为
3(0,0,1,4,1),
1(1,0,0,5,),2(0,1,0,4,1)
它就是所求解空间的一组基。
将其正交化,可得
再将
(1,0,0,5,
(2,1)
(1,1)
(3,1)
(1,1)
1),
](7,9,0,1,
9
2)
2)
3单位化,可得
2)
1
存7"5,1,2),
1
1(1,0,0,5,1),
3、3
1
(7,9,0,
3.15
1,2),
1
(7,6,15,1,2),
3^35
则1,
3就是所求解空间的一组标准正交基。
9.在R[X]4中定义内积为(f,g)=
1
1f(x)g(x)dx
求R[X]
4的一组标准正交基(由基
解取R[X]4的一组基为11,
x,3x2,4
x3,将其正交化,可得111,
(2,
1)
2
2
1
(1,
1)
X,其中(2,1)
1
ix?
1dx0,又因为
1
46
U10/c2
_2-,
3(3x1),
2
2x
4
4
土(5x3
4
3x),
(3,1)
(2,2)
11x2dx
2
3,
(1,1)
1
11?
1dx
2,
(3,
2)
11x2?
xdx0,
所以3
(3,
1)
(3,
2)
21
2x3,
3(1,
1
1)(2:
|2)
同理可得4
(4,1)
4(1,1)1
(4,2)
(4,3)
2(3,3)3
x3?
x
5
(2,2)
1
2
冉将1,2,3,
4单位化,即得
1匚1
V,
则1,2,3,4即为所求的一组标准正交基。
10.设V是一n维欧氏空间,0是V中一固定向量
1)证明:
V1{x|(x,a)0,xV}是V的一个子空间;
2)证明:
V1的维数等于n-1。
证1)由于00V因而V1非空•下面证明V1对两种运算封闭.事实上,任取x1,x2V1,
则有(
)(X2,)0,于是又有(冷
X2,)(为)
(X2
)0,
所以X1x2V1。
另一方面,也有(
kx1,
)kg)0,
即kx1
V1。
故
V1是V的
一个子空间。
2)因为
0是线性无关的,可将其扩充为
V的一组正交基
2丄
n,且(
i,)0
(i2,3,
n),iV』2,3,Ln)
。
下面只要证明:
对任意的
V1,
可以由
2,3,r
I线性表出,则V1的维数就是
n
1。
事实上,
对任意的y,都有
V,
于是有线性关系
k1
k22
knn,
(,)k,,)k2(2,)
所以k1(,)0,又因为0,故k10,从而有k22knn,
再由的任意性,即证。
11.1)证明:
欧氏空间中不同基的度量矩阵是合同的。
2)利用上述结果证明:
任一欧氏空间都存在标准正交基。
证:
1)设
12
n与1,2,,n是欧氏空间V的两组不同基,
它们对应的度量矩阵
分别是A(aij)和
(bij),另外,
1,2,,n到1,2,
n的过渡矩阵为
c11
c12
c1n
(cij),即
cn1
cn2
cnn
bij
(i,j)
(c1i
cni
n,c1j
cnjn)
n
cki(k,c1j1k1
cnjn)
k1
n
ckicsj(k,
s1
s)
k1
n
ckicsiks,
s1
另一方面,令
DC'A(dij),C'AC
DC(eij),
则D的元素为
n
disckiks,
k1
故C'AC的元素
n
eijdiscsj
s1
nn
(ckiks)csjbij(i,j1,2,n),s1n1
即证C'ACB。
再由
12
n12
皆为V的基,所以C非退化,从而B
与A合同。
2)在欧氏空间V中,任取一组基1,2
它的度量矩阵为A
(aij),其中
j(i,j),且度量矩阵A是正定的,又因为正定矩阵与单位矩阵合同,即EC'AC。
于是只要
(1,2,,n)(1,2,
n)C,
则由上面1)可知基
12
n的度量矩阵为
E,这就是说,
12
就是所求的
标准正交基。
12.设
1,
2
,n
是
n
维欧氏空间V中的一
组向量,而
(1,
1)
(
1,2)
L
(
1,m)
(2,
1)
(
2,2)
L
(
2,m)
M
M
O
M
(m,
1)
(
m,2)
L
(
m,m)
证明:
当且仅当
0时
1,2
m线性无关。
证设有线性关系
k11k22kmm0,
将其分别与i取内积,可得方程组
k1(i,1)k2(i,2)
km(i,m)0(i1,2,
m),
由于上述方程组仅有零解的充要条件是系数行列式不等于0,即证。
13.证明:
上三角的正交矩阵必为对角矩阵,且对角线上元素为+1或-1。
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