随机过程习题答案.doc
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随机过程习题解答
(一)
第一讲作业:
1、设随机向量的两个分量相互独立,且均服从标准正态分布。
(a)分别写出随机变量和的分布密度
(b)试问:
与是否独立?
说明理由。
解:
(a)
(b)由于:
因此是服从正态分布的二维随机向量,其协方差矩阵为:
因此与独立。
2、设和为独立的随机变量,期望和方差分别为和。
(a)试求和的相关系数;
(b)与能否不相关?
能否有严格线性函数关系?
若能,试分别写出条件。
解:
(a)利用的独立性,由计算有:
(b)当的时候,和线性相关,即
3、设是一个实的均值为零,二阶矩存在的随机过程,其相关函数为,且是一个周期为T的函数,即,试求方差函数。
解:
由定义,有:
4、考察两个谐波随机信号和,其中:
式中和为正的常数;是内均匀分布的随机变量,是标准正态分布的随机变量。
(a)求的均值、方差和相关函数;
(b)若与独立,求与Y的互相关函数。
解:
(a)
(b)
第二讲作业:
P33/2.解:
其中为整数,为脉宽
从而有一维分布密度:
P33/3.解:
由周期性及三角关系,有:
反函数,因此有一维分布:
P35/4.解:
(1)其中
由题意可知,的联合概率密度为:
利用变换:
,及雅克比行列式:
我们有的联合分布密度为:
因此有:
且V和相互独立独立。
(2)典型样本函数是一条正弦曲线。
(3)给定一时刻,由于独立、服从正态分布,因此也服从正态分布,且
所以。
(4)由于:
所以因此
当时,
当时,
由
(1)中的结论,有:
P36/7.证明:
(1)
(2)由协方差函数的定义,有:
(2)
P37/10.解:
(1)
当i=j时;否则
令,则有
第三讲作业:
P111/7.解:
(1)是齐次马氏链。
经过次交换后,甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关,和之前的状态和交换次数无关。
(2)由题意,我们有一步转移矩阵:
P111/8.解:
(1)由马氏链的马氏性,我们有:
(2)由齐次马氏链的性质,有:
,
因此:
P112/9.解:
(1)
(2)由
(1)的结论,当为偶数时,递推可得:
;
计算有:
,递推得到,因此有:
P112/11.解:
矩阵的特征多项式为:
由此可得特征值为:
,及特征向量:
令矩阵
,
则有:
因此有:
P112/12.解:
设一次观察今天及前两天的天气状况,将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态,则此问题就是一个马氏链,它有8个状态。
记每天天晴为0,下雨为1,则此链的状态可以由三位二进制数表示。
如三天晴为000,为状态0;第一天晴,第二天晴,第三天雨为001,为状态1;第一天晴,第二天雨,第三天晴为010,为状态2;第一天晴,后两天阴为011,为状态3,等等。
根据题目条件,得到一步转移矩阵如下:
第四讲作业:
P113/13.解:
画出状态转移图,有:
P113/14.解:
画出状态转移图,有:
P113/16.解:
画出状态转移图,有:
(1)由于三个状态都是相通的,所以三个状态都是常返态。
(3)状态3、4无法和其他状态相通,组成一个闭集,且,所以状态3、4为常返态;另外状态0、2相通组成一个闭集,且,故状态0、2是常返态;因为,故,所以状态1为非常返态。
(4)0、1相通作成一闭集,且,故0、1为常返态;又,因此,故2为常返态;,故3、4为非常返态。
第六讲作业:
P115/17.解:
(1)一步转移矩阵为:
(2)当时,由计算可得,因此可由以下方程组计算极限分布:
解得极限分布即可。
P115/18.解:
由第七题的结果,计算可得:
,
因此可计算极限分布如下:
解以上方程,得极限分布:
P115/19.解:
见课上讲稿。
P116/21.解:
记,则有:
(1)因为:
(A)
当时,有:
由(A)可得:
当且时,有:
由(A)可得:
当且时,有:
由(A)可得:
另外:
下列等式是明显的
因此我们有:
即{是一齐次马氏链。
一步转移矩阵为:
(2)画出转移矩阵图,可得:
由:
及,并且取,由递归可得:
(3)由于:
因此,零状态是正常返的,由相通性,故所有状态都是正常返的,即此马氏链是不可约的。
(4)由马氏链的无后效性,可知此时的T就是零状态到零状态的首达时间。
因此我们有:
随机过程习题解答
(二)
P228/1。
证明:
由于,有
其中
所以
证毕。
P229/3.解:
(1)因为是一Poission过程,由母函数的定义,有:
(2)有上面
(1)的结果,可得:
(3)当充分小时,由于:
因此,当时,有:
由
(2)的结果,我们有:
P229/4.解:
(1)由上面3题的结果(3),我们有:
(2)由于是随机过程的母函数,且,将函数关于展开成级数形式,我们可得:
由母函数与分布函数的唯一性定理,可得:
P230/8.解:
由特征函数的定义,我们有:
令,则有:
(*)
若的概率分布为:
则
(**)
将(**)代入(*),我们有:
P230/7.解:
先求的特征函数:
由上面8题的结果,根据特征函数与分布函数的唯一性定理,可知是复合Poission过程。
P231/10.解:
由于
因为的母函数为:
,
由独立性,可知的母函数为:
,
所以是参数为的泊松过程,即
因此我们有:
P231/12.解:
(1)由
令,有
解得
(2)由
(1)知,服从参数为的泊松分布。
P232/15.解:
(1)以表示时刻系统中不正常工作的信道数,则是一马氏过程,其状态空间为:
,矩阵为:
(2)令:
则前进方程为:
(3)令:
写出福克-普朗克方程:
即有:
做Laplace变换,令:
则有:
由上解得:
其中:
因此求
即可。
(4)
P233/16.解:
(1)令表示时刻系统中正在用电的焊工数,则是一马氏过程,其状态空间为:
。
(2)矩阵为:
(3)令:
写出福克-普朗克方程:
(4)画出状态转移率图,可得时的平衡方程:
由此可得:
即有:
由此可以求得:
由,即可确定,最终得到所要的结果。
P233/17.解:
(1)由于:
可以得到此过程的矩阵:
令:
写出福克-普朗克方程:
初始条件:
。
(2)由数学期望的定义:
由此,我们有:
即可得到描写的微分方程:
(3)解上面的微分方程,我们有:
P233/19.解
(1)根据题意得到矩阵为
由福克-普朗克方程得:
(2)
而
因此
左边=
右边=
左边=右边,证毕。
(3)将代入左边。
(4)由,有
即
进而有
所以
(5)令,由(4)的结论
其中对应的系数为
所以
(6)
(7)由(5)的结论,知
P236/24解:
(1)根据题意得矩阵
由平衡方程,有
因此有,进而
因为
所以,当时系统平稳。
(2)
(3)前次以概率重新排队,第次以概率离开,所以即为所求。
(4)
26.解
(1)设系统状态为不工作机器的数量,则,得矩阵
列出平衡方程
其中:
解得
所以
(2)
P237/28.解:
(1)设泊松分布第个事件发生与第个事件发生的时间间隔的特征函数为:
,则有:
由于是独立同分布的,根据以及特征函数的性质可知:
因此可知是服从参数为的泊松分布,即:
(2)由:
可知:
附:
一阶拟线性(线性)偏微分方程的解法:
一阶拟线性方程的一般形式:
一阶线性方程的一般形式:
称:
或:
为一阶拟线性方程的特征方程。
由此方程确定的曲线为特征曲线。
一阶拟线性方程的特征方程的解为积分曲面。
有以下定理:
定理:
若特征曲线上一点位于积分曲面上,则整个位于上。
初值问题:
给定初始曲线:
,为参数。
则一阶拟线性方程的初值问题的提法是:
求方程的解,使满足。
我们有以下定理。
定理:
设曲线光滑,且,在点处行列式
又设在附近光滑,则初始问题:
在参数的一邻域内存在唯一解。
例:
已知初始曲线,求初值问题:
解:
由于:
解常微分方程的初值问题:
得:
由后两式解出,并代入第一式,解得:
P233/9.解初值问题:
由于:
解常微分方程的初值问题:
解得:
在上面式子中消去参数,得初值问题的解:
P311/1.解:
(1)给定时,有
(2)任取我们有:
所以Poission过程不是平稳过程。
P311/2.解:
(1)由Poission过程的性质,任取假定事件:
则有:
,
因此有:
(2)由,且仅与有关,可知是平稳过程。
P312/3.解:
(1)由均值的定义,我们有:
(2)由相关函数的定义,任取,我们可得:
P312/4.解:
为了解此题,先看下面的引理:
引理:
设是服从正态分布的二维随机变量,其概率密度为:
则和Y取不同符号的概率为:
引理的证明:
令:
则有:
以上式子用了变换:
由:
因此只要求:
因此有:
由于此时:
我们即可得到结论。
P313/5.证明:
由于:
故是宽平稳过程。
分别取,则,,因为具有不同分布,所以不满足一级严平稳条件。
P314/10.解:
样本函数不连续。
令:
,下面求相关函数:
因为:
因此该过程是均方连续的随机过程。
P314/11.证明:
令:
,则有
由车比雪夫不等式:
P315/13.证明:
(1)令:
,由上题的结果可知:
因此有
(2)由相关函数的定义及
(1)的结果,有
P316/17.解:
(1)由均值函数和相关函数的定义,我们有:
由,可得
(2)有上面的结果知是一宽平稳过程。
令:
,,,,不具有相同的分布,所以不是一级严平稳
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