高考数学一轮复习 第三章 第1课时任意角弧度制及任意角的三角函数课时作业 理 新人教版.docx
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第三章三角函数、解三角形
第1课时 任意角、弧度制及任意角的三角函数
考纲索引
1.任意角的概念.
2.弧度与角度的互化.
3.任意角的三角函数.
课标要求
1.了解任意角的概念.
2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
知识梳理
1.任意角
(1)角的概念的推广
①按旋转方向不同分为 、 、 .
②按终边位置不同分为 和 .
(2)终边相同的角
终边与角α相同的角可写成
2.弧度与角度的互化
(1)1弧度的角
长度等于 长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号rad表示.
(2)角α的弧度数
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是|α|=.
(3)角度与弧度的换算
①1°= rad;②1rad=
.
(4)扇形的弧长、面积公式
设扇形的弧长为l,圆心角大小为α(rad),半径为r,则l=rα,扇形的面积为S= = .
3.任意角的三角函数
(1)定义:
设角α的终边与单位圆交于P(x,y),则sinα= ,cosα= ,tanα= (x≠0).
(2)几何表示:
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.
三
角
函
数
线
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
(Ⅳ)
有向线段 为正弦线;有向线段 为余弦线;
有向线段 为正切线
基础自测
1.(教材改编)下列与
的终边相同的角的关系式中正确的是( ).
2.(教材改编)若sinα<0且tanα>0,则α是( ).
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.已知角α的终边上一点A(2,2),则α的大小为( ).
4.(教材改编)已知角α的终边经过点P(-x,-6),且
则x的值为 .
5.弧长为3π,圆心角为135°的扇形半径为 ,面积为 .
指点迷津
◆一条规律
三角函数值在各象限的符号规律概括为:
一全正、二正弦、三正切、四余弦.
◆两个技巧
(1)在利用三角函数定义时,点P可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点,|OP|=r一定是正值.
(2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.
◆三个注意
(1)注意易混概念的区别:
第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角,第一类是象限角,第二类、第三类是区间角.
(2)角度制与弧度制可利用180°=πrad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用,不可写α=2kπ+60°,k∈Z.
(3)注意熟记0°~360°间特殊角的弧度表示,以方便解题.
◆四个公式
(1)与α终边相同的角度公式
(2)角的弧度数(弧长公式)
(3)扇形面积公式
(4)三角函数定义公式
考点透析
考向一 角的概念及表示
例1
(1)如果α是第三象限的角,那么-α,2α的终边落在何处?
(2)写出终边在直线
上的角的集合.
【审题视点】 利用象限角及终边相同的角的表示方法求角.
【课堂记录】
【方法总结】
(1)利用终边相同的角的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和,然后判断角α的象限.
(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.
变式训练
1.若角θ的终边与
角的终边相同,求在[0,2π)内终边与
角的终边相同的角.
考向二 三角函数的定义
例2 已知角θ的终边经过点P(-,m)(m≠0)且sinθ=
试判断角θ所在的象限,并求cosθ和tanθ的值.
【审题视点】 根据三角函数定义求m,再求cosθ和tanθ.
【方法总结】 1.三角函数定义的理解
在直角坐标系xOy中,设P(x,y)是角α终边上任意一点,且|PO|=r,则
.
2.定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后利用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的三角函数值.
变式训练
2.角α终边上一点P(4m,-3m)(m≠0),则2sinα+cosα的值为 .
考向三 弧度制的应用
例3 已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小;
(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.
【审题视点】 △AOB是等边三角形,∠AOB=60°,S弓=S扇-S△AOB.
【方法总结】
(1)引进弧度制后,实现了角度与弧度的相互转化,在弧度制下可以应用弧长公式:
l=r|α|,扇形面积公式:
S=lr=r2|α|,求弧长和扇形的面积.
(2)应用上述公式时,要先把角统一用弧度制表示.利用弧度制比角度制解题更为简捷、方便.
变式训练
3.已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大?
考向四 三角函数线及应用
例4 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围.并由此写出角α的集合:
【审题视点】 作出满足
的角的终边,然后根据已知条件确定角α终边的范围.
【方法总结】 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是:
(1)用边界值写出角的终边位置;
(2)根据不等式(组)定出角的范围;
(3)求交集,找单位圆中公共的部分;
(4)写出角的关系式.
变式训练
4.求函数y=lg(3-4sin2x)的定义域.
经典考题
典例 已知角θ的终边上一点P(3a,4a)(a≠0),求角θ的正弦、余弦和正切值.
真题体验
1.(2014·全国大纲)已知角α的终边经过点(-4,3),则cosα等于( ).
2.(2014·全国新课标Ⅰ)若tanα>0,则( ).
A.sinα>0 B.cosα>0
C.sin2α>0 D.cos2α>0
参考答案与解析
知识梳理
1.
(1)①正角 负角 零角 ②象限角 轴线角
(2)α+k·360°(k∈Z)或α+k·2π(k∈Z)
2.
(1)半径
3.
(1)y x
(2)MP OM AT
基础自测
1.C 2.C 3.C 4.
5.4 6π
考点透析
所以角-α的终边在第二象限.
所以角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴.
(2)在(0,π)内终边在直线
上的角是
所以终边在直线
上的角的集合为
.
【例4】
(1)作直线
交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(图
(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为
.
(1)
(2)
(2)作直线
交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则OC与OD围成的区域(图
(2)中阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为
.
变式训练
4.
(1)因为3-4sin2x>0,所以sin2x<
所以
.
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),
所以
(k∈Z).
(第4题)
经典考题
真题体验
1.D 解析:
根据题意,
.
2.C 解析:
因为
所以选C.
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