衡水中学物理最经典关联速度问题.docx
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衡水中学物理最经典关联速度问题
关联速度问题
⎧⎪其一:
沿绳(或杆)的速度v1
1.模型特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等.
2.思路与方法
合速度→绳拉物体的实际运动速度 v
分速度→⎨
⎩
⎪其二:
与绳(或杆)垂直的分速度v2
方法:
v1 与 v2 的合成遵循平行四边形定则.
3.解题的原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)的两个分量,根据沿绳(杆)方向的
分速度大小相等求解.常见的模型如下图所示.
命题点 1绳牵连物体运动问题
6.如图所示,A、B 两球分别套在两光滑的水平直杆上,两球通过一轻绳绕过一定滑轮
相连,现在将 A 球以速度 v 向左匀速移动,某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别
为 α、β,下列说法正确的是()
A.此时 B 球的速度为 v
cos α
cos β
B.此时 B 球的速度为 v
β,可得 vB=
v,A 正确,B 错误;在 A 球向左匀速运动的过程中,α 减小、β 增大,余
sin α
sin β
C.在 β 增大到 90°的过程中,B 球做匀速运动
D.在 β 增大到 90°的过程中,B 球做加速运动
【解析】 由速度的合成与分解知,A、B 两球沿绳方向的分速度相等,则 vcos α=vBcos
cos α
cos β
弦函数为减函数,故在 β 增大到 90°的过程中,B 球做加速运动,C 错误,D 正确.
【答案】AD
命题点 2杆牵连物体运动问题
长
7.在光滑的水平面内建立如图所示的直角坐标系, 为 L 的光滑细杆 AB 的两个端点 A、
B 被分别约束在 x 轴和 y 轴上运动,现让 A 沿 x 轴正方向以 v0 匀速运动,已知 P 点为杆的
中点,杆 AB 与 x 轴的夹角为 θ,下列关于 P 点的运动轨迹和 P 点的运动速度大小 v 的表达
式正确的是()
D.P 点的运动速度大小 v= v
有(2x)2+(2y)2=L2,解得 x2+y2=⎝2⎭2,
A.P 点的运动轨迹是一条直线
B.P 点的运动轨迹是圆的一部分
C.P 点的运动速度大小 v=v0tan θ
0
2sin θ
【解析】 设 P 点坐标为(x,y),则 A、B 点的坐标分别为(2x,0)、(0,2y),AB 长度一定,
设为 L,根据勾股定理,
⎛L⎫
故 P 点的运动轨迹是圆的一部分,故 A 错误,B 正确.
画出运动轨迹,如图所示,
速度 v 与杆的夹角
α=90°-2θ
由于杆不可伸长,故 P 点的速度沿杆方向的分速度与 A 点速度沿杆方向的分速度相等,
故
vcos α=v cos θ,
vcos (90°-2θ)=v cos θ,
解得 v= ,故 C 错误,D 正确.
0
0
v
0
2sin θ
【答案】BD
绳(杆)端速度分解思路
物理建模系列(五)小船渡河模型分析
1.模型构建
在运动的合成与分解问题中,两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动,其中一个
速度大小和方向都不变,另一个速度大小不变,方向在 180°范围内(在速度不变的分运动所
在直线的一侧)变化,我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究.这样的
运动系统可看作“小船渡河模型”.
2.模型展示
3.三种速度:
v1(水的流速)、v2(船在静水中的速度)、v(船的实际速度).
4.三种情景
过河要求过河方法图象
tmin=v
位移 x=d,船头方向与河岸方向的夹角为 θ,那么 cos θ=v1
渡河时间 t=v
2sin θ cos θ
以最短时间过河
以最短位移过河
①船头垂直对岸(在下游上岸)
d
2
②v2>v1 时,船头指向上游,垂直到达对岸.
d d
位移 x=
③v2 v 2 船头方向与河岸间的夹角为 θ,那么 cos θ=v2 渡河时间 t=v 2sin θ cos θ v 1 dd 位移 x= 例一小船渡河,河宽 d=180 m,船在静水中的速度为 v1=5 m/s,水流速度 v2=2.5 m/s. 求: (1)欲使船在最短的时间内渡河,船头应朝什么方向? 用多长时间? 位移是多少? (2)欲使船渡河的航程最短,船头应朝什么方向? 用多长时间? 位移是多少? t=v = 1 5 【解析】 (1)欲使船在最短时间内渡河,船头应朝垂直河岸方向 当船头垂直河岸时,如图甲所示,合速度为倾斜方向,垂直分速度为 v1=5 m/s. d180 s=36 s v= v2+v2=5 122 x=vt=90 5 m. 5 m/s (2)欲使船渡河航程最短,合速度应垂直于河岸,船头应朝上游与垂直河岸方向成某一 夹角 α 如图乙所示, 有 v1sin α=v2, 得 α=30° 所以当船头向上游垂直河岸方向偏 30°时航程最短. x′=d=180 m. 1 cos 30°5 2 t′=v d 180 = s 3 =24 3 s. 【答案】 (1)垂直河岸方向36 s90 5 m (2)向上游垂直河岸方向偏 30°24 3 s180 m 1.解这类问题的关键是: 正确区分分运动和合运动. 2.运动分解的基本方法: 按实际运动效果分解. (1)确定合速度的方向(就是物体的实际运动方向); (2)根据合速度产生的的实际运动效果确定分速度的方向; (3)运用平行四边形定则进行分解. 3.小船渡河问题的处理 (1)小船渡河问题,无论 v 船>v 水,还是 v 船<v 水,渡河的最短时间均为 tmin= L v船 (L 为河 宽). (2)当 v 船>v 水时,船能垂直于河岸渡河,河宽即是最小位移;当v 船<v 水时,船不能垂 直于河岸渡河,但此时仍有最小位移渡河,可利用矢量三角形定则求极值的方法处理. [高考真题] 1.(2016· 课标卷Ⅰ,18)一质点做匀速直线运动,现对其施加一恒力,且原来作用在质 点上的力不发生改变,则() A.质点速度的方向总是与该恒力的方向相同 B.质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直 C.质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同 D.质点单位时间内速率的变化量总是不变 【解析】因为质点原来做匀速直线运动,合外力为 0,现在施加一恒力,质点的合力 就是这个恒力,所以质点可能做匀变速直线运动,也有可能做匀变速曲线运动,这个过程中 加速度不变且一定与该恒力的方向相同,但若做匀变速曲线运动,单位时间内速率的变化量 是变化的,故 C 正确,D 错误.若做匀变速曲线运动,则质点速度的方向不会总是与该恒 力的方向相同,故 A 错误;不管做匀变速直线运动,还是做匀变速曲线运动,质点速度的 方向不可能总是与该恒力的方向垂直,故 B 正确. 【答案】BC 2.(2015· 广东卷,14)如图所示,帆板在海面上以速度 v 朝正西方向运动,帆船以速度 v 朝正北方向航行,以帆板为参照物() A.帆船朝正东方向航行,速度大小为 v B.帆船朝正西方向航行,速度大小为 v C.帆船朝南偏东 45°方向航行,速度大小为 2v D.帆船朝北偏东 45°方向航行,速度大小为 2v 【解析】 以帆板为参照物,帆船具有朝正东方向的速度 v 和朝正北方向的速度 v,两 速度的合速度大小为 2v,方向朝北偏东 45°,故选项 D 正确. 【答案】D 3.(2014· 四川卷,4)有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v 的大河.小明驾着小 船渡河,去程时船头指向始终与河岸垂直,回程时行驶路线与河岸垂直.去程与回程所用时 间的比值为 k,船在静水中的速度大小相同,则小船在静水中的速度大小为() A. C. kv k2-1 kv 1-k2 B. D. v 1-k2 v k2-1 【解析】 设河岸宽度为 d,去程时 t1= ,回程时, =,又 1=k,得 v 静= , ddtv 2 v静v静-v2t21-k2 B 正确. 【答案】B [名校模拟] 4.(2018· 山东潍坊高三上学期期中)关于曲线运动,下列说法正确的是() A.曲线运动是变速运动 B.变速运动一定是曲线运动 C.物体保持速率不变沿曲线运动,其加速度为零 D.任何做圆周运动物体的加速度都指向圆心 【解析】 曲线运动是变速运动,但变速运动不一定是曲线运动,例如匀变速直线运动, 故 A 对,B 错;匀速圆周运动速率不变,但加速度不为零,C 错;只有做匀速圆周运动的 物体加速度才指向圆心,D 错. 【答案】A 5.(2018· 山东烟台高三上学期期中)一物体从位于一直角坐标系 xOy 平面上的 O 点开始 运动,前 2 s 在 y 轴方向的 v-t 图象和 x 轴方向的 s-t 图象分别如图甲、乙所示,下列说法正 确的是() 甲乙 A.物体做匀变速直线运动 B.物体的初速度为 8 m/s C.2 s 末物体的速度大小为 4 m/s D.前 2 s 内物体的位移大小为 8 2 m 2 【解析】由图象可知,y 轴方向为匀加速运动,x 轴方向为匀速直线运动,故合运动 为曲线运动,A 错;物体初速度为 4 m/s,B 错; s 末速度 v= 42+(4×2)2 m/s=4 5 m/s, 82+⎝2×4×22⎭2 m=8 2m,D 对. C 错;前 2 s 内位移 x= ⎛1 ⎫ 【答案】D 6.(2018· 山东师大附中高三质检)如图所示,水平面上固定一个与水平面夹角为 θ 的斜 杆 A,另一竖直杆 B 以速度 v 水平向左做匀速直线运动,则从两杆开始相交到最后分离的过 程中,两杆交点 P 的速度方向和大小分别为() C.沿 A 杆斜向上,大小为 v A.水平向左,大小为 v B.竖直向上,大小为 vtan θ cos θ D.沿 A 杆斜向上,大小为 vcos θ 【解析】两杆的交点 P 参与了两个分运动: 与 B 杆一起以速度 v 水平向左的匀速直 线运动和沿 B 杆竖直向上的匀速运动,交点 P 的实际运动方向沿 A 杆斜向上,如图所示, cos θ 则交点 P 的速度大小为 vP= v ,故 C 正确. 【答案】C 课时作业(十) [基础小题练] 1.趣味投篮比赛中,运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上,相对平台静止,向平 台圆心处的球筐内投篮球.则下图各俯视图中篮球可能被投入球筐(图中箭头指向表示投篮 方向)的是() 【解析】 当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿球筐方向,球就会被投入球 筐.故 C 正确,A、B、D 错误. 【答案】C 2.下列图中实线为河岸,河水的流动方向如图v 的箭头所示,虚线为小船从河岸 M 驶 向对岸 N 的实际航线.则其中可能正确的是() 【解析】 船头垂直于河岸时,船的实际航向应斜向右上方,A 正确,C 错误;船头斜 向上游时,船的实际航向可能垂直于河岸,B 正确;船头斜向下游时,船的实际航向一定斜 向下游,D 错误. 【答案】AB 3.(2018· 衡阳联考)如图所示,当汽车静止时,车内乘客看到窗外雨滴沿竖直方向 OE 匀 速运动.现从 t=0 时汽车由静止开始做甲、乙两种匀加速启动,甲种状态启动后 t1 时刻, 乘客看到雨滴从 B 处离开车窗,乙种状态启动后 t2 时刻,乘客看到雨滴从 F 处离开车窗,F 为 AB 的中点.则 t1∶t2 为() A.2∶1 C.1∶ 3 B.1∶ 2 D.1∶( 2-1) t2 【解析】 雨滴在竖直方向的分运动为匀速直线运动,其速度大小与水平方向的运动无 ABAF 关,故 t1∶t2= v ∶ v =2∶1,选项 A 正确. 【答案】A 4.有甲、乙两只船,它们在静水中航行速度分别为v1 和 v2,现在两船从同一渡口向河 对岸开去,已知甲船想用最短时间渡河,乙船想以最短航程渡河,结果两船抵达对岸的地点 t 恰好相同.则甲、乙两船渡河所用时间之比 1为() A.v2 B.v1 C.v22 D.v12 v2 1 v2 1 v 2 v2 2 静水中速度 v2 比水的流速 v0 要小,要满足题意,则如图所示.由图可得 1=v2·sin θ① cos θ=v2② tan θ=v0③ 由②③式得v2=sin θ,将此式代入①式得 1=v22. v 大小为( ) 【解析】当 v1 与河岸垂直时,甲船渡河时间最短;乙船船头斜向上游开去,才有可 ( 能航程最短,由于甲、乙两只船到达对岸的地点相同 此地点并不在河正对岸),可见乙船在 tv t21 v 0 v 1 vtv2 1t21 【答案】C 5.自行车转弯时,可近似看成自行车绕某个定点 O(图中未画出)做圆周运动,如图所示 为自行车转弯时的俯视图,自行车前、后两轮轴 A、B 相距 L,虚线表示两轮转弯的轨迹, 前轮所在平面与车身间的夹角 θ=30°,此时轮轴 B 的速度大小 v2=3 m/s,则轮轴 A 的速度 1 2 3 3 A.m/s C. 3 m/s B.2 3 m/s D.3 3 m/s 【解析】 将两车轴视为杆的两端,杆两端速度沿杆方向的投影大小相等,有 v1cos 30° =v2,解得 v1=2 3 m/s,B 正确. 【答案】B 6.(2018· 山东济南一中上学期期中)如图所示,汽车用跨过定滑轮的轻绳提升物块 A.汽 车匀速向右运动,在物块 A 到达滑轮之前,关于物块 A,下列说法正确的是() A.将竖直向上做匀速运动 B.将处于超重状态 C.将处于失重状态 D.将竖直向上先加速后减速 【解析】vA=v 车·cos θ,v 车不变,θ 减小,vA 增大,由 T-mAg=ma 知 T>mAg,物块 A 处于超重状态,B 对. 【答案】B [创新导向练] 7.生活科技——曲线运动的条件在飞行中孔明灯的应用 春节期间人们放飞孔明灯表达对新年的祝福,如图甲所示,孔明灯在竖直Oy 方向做匀 加速运动,在水平 Ox 方向做匀速运动,孔明灯的运动轨迹可能为图乙中的() A.直线 OAB.曲线 OB C.曲线 OCD.曲线 OD 【解析】 孔明灯在竖直 Oy 方向做匀加速运动,则合外力沿 Oy 方向,在水平 Ox 方向 做匀速运动,此方向上合力为零,所以合运动的加速度方向沿Oy 方向,但合速度方向不沿 Oy 方向,故孔明灯做曲线运动,结合合力指向轨迹内侧可知轨迹可能为曲线 OD,故 D 正 确. 【答案】D 8.体育运动——足球运动中的力学问题 在足球场上罚任意球时,运动员踢出的足球,在行进中绕过“人墙”转弯进入了球门, 守门员“望球莫及”,轨迹如图所示.关于足球在这一飞行过程中的受力方向和速度方向, 下列说法中正确的是() A.合外力的方向与速度方向在一条直线上 B.合外力的方向沿轨迹切线方向,速度方向指向轨迹内侧 C.合外力方向指向轨迹内侧,速度方向沿轨迹切线方向 D.合外力方向指向轨迹外侧,速度方向沿轨迹切线方向 【解析】 足球做曲线运动,则其速度方向为轨迹的切线方向,根据物体做曲线运动的 条件可知,合外力的方向一定指向轨迹的内侧,故 C 正确. 【答案】C 9.生活科技——教具中的运动合成与分解的原理 如图所示为竖直黑板,下边为黑板的水平槽,现有一三角板 ABC,∠C=30°.三角板上 A 处固定一大小不计的滑轮.现让三角板竖直紧靠黑板,BC 边与黑板的水平槽重合,将一 细线一端固定在黑板上与 A 等高的 Q 点,另一端系一粉笔头(可视为质点).粉笔头最初与 C 重合,且细线绷紧.现用一水平向左的力推动三角板向左移动,保证粉笔头紧靠黑板的同时, 紧靠三角板的 AC 边,当三角板向左移动的过程中,粉笔头会在黑板上留下一条印迹.关于 此印迹,以下说法正确的是() A.若匀速推动三角板,印迹为一条直线 B.若匀加速推动三角板,印迹为一条曲线 C.若变加速推动三角板,印迹为一条曲线 D.无论如何推动三角板,印迹均为直线,且印迹与 AC 边成 75°角 【解析】 确,B、C 错误;根据图中的几何关系可得,∠ACD=∠ADC= =75°,D 正确. 在三角板向左移动的过程中,粉笔头沿AC 边向上运动,且相对于黑板水平方向向左运 动,由于两个分运动的速度始终相等,故粉笔头的印迹为一条直线,如图中CD 所示,A 正 180°-30° 2 【答案】AD 10.科技前沿——做曲线运动的波音 737 飞机 如图所示,从广州飞往上海的波音 737 航班上午 10 点到达上海浦东机场,若飞机在降 落过程中的水平分速度为 60 m/s,竖直分速度为 6 m/s,已知飞机在水平方向做加速度大小 等于 2 m/s2 的匀减速直线运动,在竖直方向做加速度大小等于 0.2 m/s2 的匀减速直线运动, 则飞机落地之前() ⎛ ⎫ ⎛ 2 ⎫ ⎛ ⎫ ⎛ ⎫ A.飞机的运动轨迹为曲线 B.经 20 s 飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等 C.在第 20 s 内,飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等 D.飞机在第 20 s 内,水平方向的平均速度为 21 m/s 【解析】由于合初速度的方向与合加速度的方向相反,故飞机的运动轨迹为直线,A 错误;由匀减速运动规律可知,飞机在第 20 s 末的水平分速度为 20 m/s,竖直方向的分速 11 B 度为 2 m/s, 错误;飞机在第 20 s 内,水平位移 x=⎝v0xt20+2axt20⎭-⎝v0xt19+2axt19⎭=21 m, 11 2 竖直位移 y=⎝v0yt20+2ayt20⎭-⎝v0yt19+2ayt19⎭=2.1 m,C 错误.飞机在第 20 s 内,水平方向 的平均速度为 21 m/s,D 正确. 【答案】D [综合提升练] 11.如图甲所示,质量 m=2.0 kg 的物体在水平外力的作用下在水平面上运动,已知物 体沿 x 方向和 y 方向的 x-t 图象和 vy-t 图象如图乙、丙所示,t=0 时刻,物体位于原点 O.g 取 10 m/s2.根据以上条件,求: v= v2+v2= 3.02+4.02m/s=5.0 m/s (1)t=10 s 时刻物体的位置坐标; (2)t=10 s 时刻物体的速度大小. 【解析】 (1)由图可知坐标与时间的关系为: 在 x 轴方向上: x=3.0t m,在 y 轴方向上: y=0.2t2 m 代入时间 t=10 s,可得: x=3.0×10 m=30 m,y=0.2×102 m=20 m 即 t=10 s 时刻物体的位置坐标为(30 m,20 m). (2)在 x 轴方向上: v0=3.0 m/s 当 t=10 s 时,vy=at=0.4×10 m/s=4.0 m/s 0y 【答案】 (1)(30 m,20 m) (2)5.0 m/s 12.如图所示,在竖直平面内的xOy 坐标系中,Oy 竖直向上,Ox 水平向右.设平面内 存在沿 x 轴正方向的恒定风力.一小球从坐标原点沿 Oy 方向竖直向上抛出,初速度为 v0= 4 m/s,不计空气阻力,到达最高点的位置如图中 M 点所示(坐标格为正方形,g=10 m/s2) 求: (1)小球在 M 点的速度 v1; (2)在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回 x 轴时的位置 N; (3)小球到达 N 点的速度 v2 的大小. 【解析】 (1)设正方形的边长为 x0. v 竖直方向做竖直上抛运动,有 v0=gt1,2x0= 20t1 v 水平方向做匀加速直线运动,有 3x0= 21t1. 解得 v1=6 m/s. (2)由竖直方向的对称性可知,小球再经过 t1 到 x 轴,水平方向做初速度为零的匀加速 直线运动,所以回到 x 轴时落到 x=12 处,位置 N 的坐标为(12,0). 水平分速度 vx=a 水平N=2v1=12 m/s, (3)到 N 点时竖直分速度大小为 v0=4 m/s t x 故 v2= v20+v2=4 10 m/s. 【答案】 (1)6 m/s (2)见解析图(3)4 10 m/s
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