第二讲 数形结合思想.docx
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第二讲数形结合思想
第二讲 数形结合思想
1.数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面:
(1)“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质;
(2)“以数定形”,把直观图形数量化,使形更加精确.
2.数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题:
其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化,在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:
第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参,合理用参,建立关系,由数思形,以形思数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围.
3.实现数形结合,常与以下内容有关:
(1)实数与数轴上的点的对应关系;
(2)函数与图象的对应关系;
(3)以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;
(4)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.如等式(x-2)2+(y-1)2=4,表示坐标平面内以(2,1)为圆心,以2为半径的圆.
1. (2013·重庆)已知圆C1:
(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:
(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是
圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )
A.5-4B.-1
C.6-2D.
答案 A
解析 设P(x,0),设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2,-3),那么|PC1|+|PC2|=|PC1′|+|PC2|≥|C1′C2|==5.
而|PM|=|PC1|-1,|PN|=|PC2|-3,
∴|PM|+|PN|=|PC1|+|PC2|-4≥5-4.
2.(2011·大纲全国)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是( )
A.1B.2C.D.
答案 C
解析 如图,设=a,=b,=c,则=a-c,=
b-c.由题意知⊥,
∴O、A、C、B四点共圆.∴当OC为圆的直径时,|c|最大,此时,||=.
3.(2013·山东)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为( )
A.2B.1C.-D.-
答案 C
解析 如图,由得A(3,-1).此时直线OM的斜
率最小,且为-.
4.(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是
( )
A.(-∞,0]B.(-∞,1]
C.[-2,1]D.[-2,0]
答案 D
解析 函数y=|f(x)|的图象如图.
①当a=0时,|f(x)|≥ax显然成立.
②当a>0时,只需在x>0时,
ln(x+1)≥ax成立.
比较对数函数与一次函数y=ax的增长速度.
显然不存在a>0使ln(x+1)≥ax在x>0上恒成立.
③当a<0时,只需在x<0时,x2-2x≥ax成立.
即a≥x-2成立,∴a≥-2.
综上所述:
-2≤a≤0.故选D.
5.(2012·天津)已知函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是________.
答案 (0,1)∪(1,4)
解析 根据绝对值的意义,
y=
=
在直角坐标系中作出该函数的图象,如图中实线所示.
根据图象可知,当0 题型一 数形结合解决方程的根的个数问题 例1 (2012·福建)对于实数a和b,定义运算“*”: a*b=设f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是________. 审题破题 本题以新定义为背景,要先写出f(x)的解析式,然后将方程f(x)=m根的个数转化为函数y=f(x)的图象和直线y=m的交点个数. 答案 解析 由定义可知,f(x)= 作出函数f(x)的图象,如图所示. 由图可知,当0 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等 的实数根x1,x2,x3. 不妨设x1 易知x2>0, 且x2+x3=2×=1, ∴x2x3<. 令解得x=. ∴ 反思归纳 研究方程的根的个数、根的范围等问题时,经常采用数形结合的方法.一般 地,方程f(x)=0的根,就是函数f(x)的零点,方程f(x)=g(x)的根,就是函数f(x)和g(x)的图象的交点的横坐标. 变式训练1 已知: 函数f(x)满足下面关系: ①f(x+1)=f(x-1);②当x∈[-1,1]时,f(x)=x2, 则方程f(x)=lgx解的个数是( ) A.5B.7C.9D.10 答案 C 解析 由题意可知,f(x)是以2为周期,值域为[0,1]的函数.又f(x)=lgx,则x∈(0,10],画出两函数图象,则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点. 题型二 数形结合解不等式问题 例2 设有函数f(x)=a+和g(x)=x+1,已知x∈[-4,0]时恒有f(x)≤g(x),求实数a的取值范围. 审题破题 x∈[-4,0]时恒有f(x)≤g(x),可以转化为x∈[-4,0]时,函数f(x)的图象都在函数g(x)的图象下方或者两图象有交点. 解 f(x)≤g(x), 即a+≤x+1, 变形得≤x+1-a, 令y=,① y=x+1-a.② ①变形得(x+2)2+y2=4(y≥0), 即表示以(-2,0)为圆心,2为半径的圆的上半圆;②表示斜率为,纵截距为1-a的平行直线系. 设与圆相切的直线为AT,AT的直线方程为: y=x+b(b>0), 则圆心(-2,0)到AT的距离为d=, 由=2得,b=6或-(舍去). ∴当1-a≥6即a≤-5时,f(x)≤g(x). 反思归纳 解决含参数的不等式和不等式恒成立问题,可以将题目中的某些条件用图象表现出来,利用图象间的关系以形助数,求方程的解集或其中参数的范围. 变式训练2 已知不等式x2+ax-2a2<0的解集为P,不等式|x+1|<3的解集为Q,若P⊆Q,求实数a的取值范围. 解 x2+ax-2a2=(x+2a)(x-a)<0. |x+1|<3⇒Q={x|-4 当-2a0时,P={x|-2a
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