高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题15随机变量及其应用练习理.docx
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高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题15随机变量及其应用练习理
15 随机变量及其应用
1.一个盒子中装有12个乒乓球,其中9个没有使用过的、3个已经使用过的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中已经使用过的球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为().
A.B.
C.D.
解析▶“X=4”表示从盒中取了2个已经使用过的球,1个没有使用过的球,故P(X=4)==.
答案▶C
2.已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的数学期望E(X)=().
A.B.2
C.D.3
解析▶由数学期望公式可得E(X)=1×+2×+3×=.
答案▶A
3.已知随机变量X服从正态分布N(0,82),若P(X>2)=0.023,则P(-2≤X≤2)=.
解析▶因为μ=0,所以P(X>2)=P(X<-2)=0.023,所以P(-2≤X≤2)=1-2×0.023=0.954.
答案▶0.954
4.若随机变量X~B(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,则p=.
解析▶因为随机变量X~B(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,所以解得p=.
答案▶
能力1
▶求离散型随机变量的分布列
【例1】私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实施了机动车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查结果进行整理后制成下表:
年龄/岁
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
6
9
6
3
4
(1)若从年龄在[15,25)和[25,35)这两组的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查,求恰有2人不赞成的概率;
(2)在
(1)的条件下,令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列.
解析▶
(1)由表知,年龄在[15,25)内的有5人,不赞成的有1人,年龄在[25,35)内的有10人,不赞成的有4人,则恰有2人不赞成的概率为
P=·+·=×+×=.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
P(ξ=0)=·=×=,
P(ξ=1)=·+·=×+×=,
P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=·=×=,
∴ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
离散型随机变量分布列的求解步骤
(1)明取值:
明确随机变量的可能取值有哪些,且每一个取值所表示的意义.
(2)求概率:
要弄清楚随机变量的概率类型,利用相关公式求出变量所对应的概率.
(3)画表格:
按规范要求写出分布列.
(4)做检验:
利用分布列的性质检验分布列是否正确.
已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:
元),求X的分布列.
解析▶
(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,则P(A)==.
(2)X的可能取值为200,300,400.
P(X=200)==,
P(X=300)==,
P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)
=1--=.
故X的分布列为
X
200
300
400
P
能力2
▶相互独立事件同时发生的概率
【例2】某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率.
(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.
解析▶记E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功},由题设知P(E)=,P()=,P(F)=,P()=,且事件E与F,与F,E与,与都相互独立.
(1)记H={至少有一种新产品研发成功},则=,
于是P()=P()P()=×=,
故所求的概率P(H)=1-P()=1-=.
(2)设企业可获利润为X(万元),则X的可能取值为0,100,120,220,
因为P(X=0)=P()=×=,
P(X=100)=P(F)=×=,
P(X=120)=P(E)=×=,
P(X=220)=P(EF)=×=.
故所求的分布列为
X
0
100
120
220
P
(1)求解该类问题在于正确分析所求事件的构成,将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积,然后利用相关公式进行计算.
(2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
②正面计算较烦琐(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算.
某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试,“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会,先进行“立定投篮”测试,如果合格才有机会进行“三步上篮”测试,为了节约时间,每项只需且必须投中一次即为合格.小明同学“立定投篮”的命中率为,“三步上篮”的命中率为,假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响.
(1)求小明同学两项测试合格的概率;
(2)设测试过程中小明投篮的次数为ξ,求ξ的分布列.
解析▶设小明第i次“立定投篮”命中为事件Ai(i=1,2),第j次“三步上篮”命中为事件Bj(j=1,2),
依题意有P(Ai)=(i=1,2),P(Bj)=(j=1,2),“小明同学两项测试合格”为事件C.
(1)P()=P
(1)+P(A2)+P(A1)
=P()P()+P()P(A2)P()P()+P(A1)P()P()
=+××+×=.
∴P(C)=1-=.
(2)依题意知ξ=2,3,4,
P(ξ=2)=P(A1B1)+P()=P(A1)P(B1)+P()P()=,
P(ξ=3)=P(A1B2)+P(A2B1)+P(A1)
=P(A1)P()P(B2)+P()P(A2)P(B1)+P(A1)P()P()=,
P(ξ=4)=P(A2)=P()P(A2)P()=.
故投篮的次数ξ的分布列为
ξ
2
3
4
P
能力3
▶独立重复试验与二项分布
【例3】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本,然后称出它们的质量(单位:
克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图).
(1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量;
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505克的产品数量,求X的分布列;
(3)用样本估计总体,从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列.
解析▶
(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3,
故质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件).
(2)质量超过505克的产品数量为12件,则质量未超过505克的产品数量为28件.
由题意知X的取值为0,1,2,
X服从超几何分布.
∴P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
(3)根据样本估计总体的思想,取一件产品,该产品的质量超过505克的概率为=.
从流水线上任取2件产品互不影响,该问题可看成2次独立重复试验,质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2,且Y~B,
P(Y=k)=,
∴P(Y=0)=·=,
P(Y=1)=··=,
P(Y=2)=·=.
∴Y的分布列为
Y
0
1
2
P
利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X=k)=pk(1-p)n-k的三个条件:
(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p;
(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.
为了解一种植物果实的情况,随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位:
克),按照[27.5,32.5),[32.5,37.5),[37.5,42.5),[42.5,47.5),[47.5,52.5]分为5组,其频率分布直方图如图所示.
(1)求图中a的值.
(2)估计这种植物果实重量的平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的为优质果实,用样本估计总体.若从这种植物果实中随机抽取3个,其中优质果实的个数为X,求X的分布列和数学期望E(X).
解析▶
(1)组距d=5,由5×(0.02+0.04+0.075+a+0.015)=1得a=0.05.
(2)各组中点值和相应的频率依次为
中点值
30
35
40
45
50
频率
0.1
0.2
0.375
0.25
0.075
=30×0.1+35×0.2+40×0.375+45×0.25+50×0.075=40,
s2=(-10)2×0.1+(-5)2×0.2+02×0.375+52×0.25+102×0.075=28.75.
(3)由已知,这种植物果实的优质率p=0.9,且X~B(3,0.9),
故P(X=k)=·0.9k·(1-0.9)3-k(k=0,1,2,3),
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
∴E(X)=np=2.7.
能力4
▶正态分布
【例4】
(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<4)=().
A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2
(2)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-1,1)的密度曲线的一部分)的点的个数的估计值为().
附:
若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ A.1193B.1359 C.2718D.3413 解析▶ (1)∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),μ=2,∴对称轴为x=2, ∵P(ξ<4)=0.8,∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2, ∴P(0<ξ<4)=0.6. (2)对于正态分布N(-1,1),μ=-1,σ=1,正态曲线关于直线x=-1对称, 故题图中阴影部分的面积为×[P(-3 ∴点落入题图中阴影部分的概率P==0.1359, 故投入10000个点,落入阴影部分的个数约为10000×0.1359=1359. 答案▶ (1)A (2)B (1)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个. (2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用: ①P(X 已知某批零件的长度误差X(单位: 毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为().(附: 若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544) A.0.0456B.0.1359 C.0.2718D.0.3174 解析▶依题意知,X~N(0,32),其中μ=0,σ=3. ∴P(-3 因此P(3 答案▶B 能力5 ▶离散型随机变量的均值与方差 【例5】为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准如下: 滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场滑雪,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为,;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为,;两人滑雪时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率; (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位: 元),求ξ的分布列与数学期望E(ξ),方差D(ξ). 解析▶ (1)两人所付费用相同,相同的费用可能为0元,40元,80元, 两人都付0元的概率为P1=×=, 两人都付40元的概率为P2=×=, 两人都付80元的概率为P3=×=×=, 则两人所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=++=. (2)由题设知ξ可能取值为0,40,80,120,160,则 P(ξ=0)=×=; P(ξ=40)=×+×=; P(ξ=80)=×+×+×=; P(ξ=120)=×+×=; P(ξ=160)=×=. 故ξ的分布列为 ξ 0 40 80 120 160 P E(ξ)=0×+40×+80×+120×+160×=80. D(ξ)=(0-80)2×+(40-80)2×+(80-80)2×+(120-80)2×+(160-80)2×=. (1)求离散型随机变量的均值与方差的关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算. (2)注意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)的应用. 某投资公司在2019年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择. 项目一: 新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和. 项目二: 通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,和. 针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由. 解析▶若按“项目一”投资,设获利为X1万元,则X1的分布列为 X1 300 -150 P ∴E(X1)=300×+(-150)×=200(万元). 若按“项目二”投资,设获利为X2万元, 则X2的分布列为 X2 500 -300 0 P ∴E(X2)=500×+(-300)×+0×=200(万元). D(X1)=(300-200)2×+(-150-200)2×=35000, D(X2)=(500-200)2×+(-300-200)2×+(0-200)2×=140000. ∴E(X1)=E(X2),D(X1) 这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥. 综上所述,建议该投资公司选择项目一投资. 一、选择题 1.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一个目标,则他们同时中靶的概率是(). A.B.C.D. 解析▶因为甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,所以P(甲)=,P(乙)=,所以他们都中靶的概率是×=. 答案▶A 2.若随机变量X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
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- 高考 数学 二轮 复习 一篇 微型 专题 15 随机变量 及其 应用 练习