初等几何研究复习题doc.docx
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初等几何研究复习题doc
习题1.设梯形两底之和等于一腰,则此腰两邻角的平分线必通过另一•腰的屮点。
已知:
如图,梯形ABCD中,AD〃BC,AB二AD+BC,E是DC屮点
求证:
ZDAB与ZABC的平分线必经过E点。
证明(同一法):
设ZDABA/ZABC的角平分线交于U点,只需证E,点与E点重合。
・・・AD〃BC
・,.ZDAB+ZABC=180°
VZ1=Z2,Z3=Z4,
AZ2+Z3=90°
・・・ZAE‘B=90°
作RtAABEz的斜边AB±的中线FE,,则
FE'=1AB=AF=BF
2
AZ2=ZAE/F,Z3=ZBE^F
AZ1=Z2=ZAE,E
:
.EfF〃AD〃BC
连结EF,则EF为梯形ABCD的屮位线,EF〃AD〃BC
:
.EfF与EF共线
•・・FE,=1AB=1(AD+BC),FE二丄(AD+BC)
222
・・・E'F二EF
・・・E‘与E重合,证毕.
习题2.A是等腰三角形ABC的顶点,将其腰AB延长至D,狡BD=AB。
知CD=10厘米求AB边上中线的长。
解:
过B作BF〃AC交CD于F,则BF是ADAC的中位线。
//1
・・・BF=-AC
2
・•・ZFBC=ZACB
乂ZACB=ZABC,AB=AC
AZFBC=ZABC,BF二丄AB=BE
2
AAEBC^AFBC(SAS)
・・・CE二CF二丄CD二丄X10=5cm
22
即AABC屮边上的屮线CE的长为5厘米。
习题3.证明:
等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离Z差为常量。
已知:
如图,等腰三角形ABC中,AB=AC°D为BC延长线上一点,过D作DE丄AB于E,作DUAC延长线于F。
求证:
DE—DF为常量。
证明:
作AABC的边AB上的高CH,再作CG丄DE于G,则四边形CHEG为矩形。
VZ3+ZB=90°,Z4+Z2=90°,ZB=ZACB=Z2
AZ3=Z4
又CD为公共边。
ARtADGC^RtADFC
ADF=DGo
・・・DE—DF=DE—DG=EG=CH。
(常量)证毕
习题4.在ZXABC屮,ZB=2ZC,AD±BC于D。
M是BC的屮点。
求证:
DM=—ABo
2
证明:
(I)当ZB为锐角时,作ME〃AC交AB于E,连结DE。
则E为AB的中点
AZDME=ZC,ZBEM=ZBAC
在RtAABD中,冇DE二丄AB=BE=AE
2
・・・ZB=ZEDB=ZDEM+ZDME=2ZCZDME=ZC=4>ZDEM二2ZC-ZC=ZC=>ZDEM二ZDME
今DE二DM
DE二丄AB
2
(II)当ZB为钝角时,作ME〃AC交AB于E。
连结DE,则E为AB的屮点在RtAADB中
DE二丄AB二BE二AE,E和M分别是AB和BC的中点2
・・・ME是ZXABC的中位线
AZC=ZBME,ZBAC=ZBEM
VZBAC=180°-(ZB+ZC)
AZBEM=180°-(ZB+ZC)
乂・.・BE二DE
在Z\BDE中ZABD二ZEDB二180°-ZB
AZBED=180°-ZABD-ZEDB
=2ZB-180°
AZDEM=ZB-ZC,又ZB=2ZC
・・・ZDEM=ZBME
・・・DM二丄AB
2
(III)当ZB为直角时,易证DM二丄AB
2
(IV)当ZA为直角时,易证DM=1AB
习题5.AB是圆的直径,引弦AC使ZBAC二30°,过点C引切线交AB的延长线于D,求证:
AC=CD
证明:
如图,连结CB
TAB是O的直径
・・・ZACB=90°
TCD为00的切线,ZBAC二30°
・•・ZBCD=ZBAC=30°
又VZCBD=ZBAC+ZACB=30°+90°=120°
・••在ZiBCD中
AZD=180°-(ZCBD+ZBCD)=30°
・•・ZBAC=ZBDC即AC=CD
习题6.两圆相交于两点A和B,在每一个圆中各作弦AC和AD,使切于另一圆。
求证:
ZABC=ZABD
证明:
如图,AC和AD分别是0Oj,
AZCAB=ZADB,ZDAB=ZACB
在△ABC和△ABD屮
ZABC=180°-(ZCAB+ZACB)
=180°-(ZADB+ZDAB)
=ZABD即ZABC=ZABD
习题7.四边形ABCD中,设AD二BC,且M和N是对角线AC和BD的中点。
证明:
直线AD和BD与MN成等角证明:
如图,四边形ABCD中AD二BC
M和N点分别为对角线AC和BD的中点,MN交AD、BC分别于G和F.下证:
ZAGF=ZBFG
连结BM并延长至E,3BM=MEo连结AE和CE
显然:
ABCD为平行四边形。
连结DE
AZBFG=ZAHG
TAD二BC,AD二AE
而M和N分别是BD和BE的中点,・・・MN〃DE
AAG=AH
・・・ZAGF二ZAHG二ZBFG
习题&设延长AABC的边BA至D,使AD二AC,则ZBCD=90°+1(ZC-ZB)
证明:
V2ZBCD=2ZBCA+2Z1①
AD二AC,Z1=ZD
2
:
.ZBAC=Zl+ZD二2Z1
ZB+ZBCA+2Z1二180°
即:
2Z1=18O°-ZB-ZBCA②将②代入①得:
2ZBCD=2ZBCA+180°-ZB-ZBCA
AZBCD=90°+-(ZC-ZB)2
习题9.设0为△ABC内部任一点,则OA+OB 证明: 连A0延长交BC于D AADC中AC+CD>AD① AOBD中,0D卜DB>OB② 由①②有: CB+AC二AC+CD+DI3>AD+DB二AO+OD+DB>AO+BO 习题10.三角形的一中线小于夹此中线两边的半和,而大于这半和为第三边-半的差 已知: ZXABC中,AD是BC边上的中线 求证: -(AB+AC)-丄BCVAD<-(AB+AC) 222 证明: 作DE平行于AB交AC于E 则de=1ab,ae=1ac 22 ADE中,则ADVAE+DE二-(AB+AC) 2 延长AD至F,使DF=AD,则冇AD+BD>AB,AD+DOAC ・・・AF+BC>AB+AC ・・・2AD>AB+AC-BC即AD>丄(AB+AC)-丄BC 22 综上得: 1(AB+AC)-丄BC 222 习题11.证明: 梯形两条对角线中点的连线平行于底边已知: 如图所示,梯形ABCD中,AD//BC,E,F分别是BD,AC中点。 求证: EF//AD 证明: 过点A做AG//BD,并与CB延长线相交于点G又因为AD//BC 所以四边形AGBD是平行四边形取AG的中点H,连结EH 由于E是BD的屮点 所以EH//AD 又连结HF 所以HF//BC//AD 从而H,E,F三点共线于是EF//AD 习题12.二圆外切于点P.AB是一•条外公切线(A,B为切点).则PA丄PB证明: 如图BO? 外切于点P,过点P作0O,BO? 的内公切线交AB于C. ZAPS=90° 而ZCPA=ZCBP+ZAPB=180° •IPC丄人3 习题13.证明: 三角形的三条外角平分线和対边相交所得三点共线。 己知: 如图,AD,BE,CF分别是AABC三个外角的平分线且分别交CB,CA,BA于D, E,F三点. 求证: D,E,F三点共线. 证明: ・.・AD是ZBAE的角平分线 • •• BD AB DC~ 'AC 同理: CE BC =9 AF CA EA BA FB CB 从 jflj • • BDCE AF AB BC CA, ■ ■ • • =—1 DCEA FB AC BA CB ••D, E,F 三点共线. 习题14.两闘冇两条内公切线,证明这两线与连心线共点. 已知: 如图所示0O|与002外离,AB,CD是OOi与0O2的两条内公切线且A,B,C,D分别为切点,OQ2为连心线. 求证: AB,CD,OQ2三点共线. 证明: IAB,CD是BO】与BO? 两条内公切线,则AB,CD必有交点.设AB,CD的交点为P.卜-证点P在0|。 2上即可. 连结O|P,O2P.此时PA,PC即为从00|外一点引00, 的两条切线. 则有PO]平分AAPCAAPO,=丄ZAPC 2 同理可得ZDPO,=丄ZDPB -2 从而AO,PO2=/-APO,+ZAPD+ZDPO2 =-ZAPC+ZAPD+丄ZDPB 22 =-ZAPC+ZAPD-^-ZAPC 2 =ZAPC+ZAPD =180° 所以P,O,,O2三点共线即P在OO所以AB,CD,OQ2三点共线. 习题15.利用锡瓦定理证明三角形下列三线共点 己知: 如图.AD, BE,CF分别4ABC边BC,CA, AB上的中线. 求证: AD,BE,CF三线共点 (1.)三屮线 证明: ・・・D,E,F分别是屮点 ・BDCEAF, DCEAFB 从1(0— DC 所以AD,BE, CEAF( EAFB CF三点共线. (2.)三内角平分线. 己知: 如图,AD,BE,CF分别是△ABC三内角平分线. 求证: AD,BE,CF三点共线. 证明: 由AD,BE,CF分别是AABC三内角平分线. •BD ••一— AB CE BC AF CA ■▼— DC AC ,EA —7 BA FB~ 'CB ・BD CE AF ABBC CA —1 DC' EA' FB_ AC'BA 'CB —1 故: AD, BE, CF三点共线. 习题16.已知: C是RtAABC的直角顶点,以AB为边作正方形ABCD,以AC边作正方形ACFG,它们都包含AABC 求证: CE丄BG 证明: •••四边形ABDE,ACFG为正方形. 二ZGAC=ZBAE=90(, 以A为旋转中心,冇: C>g, D E 则: CE=BG,GE1BG. 习题17.已知: 圆内接四边形中BC=CD. 求证: AB・AD+BC2=AC2 证明: 连接BD交ACTE 由于BC=CD,贝ijZl=Z2在4ABC和4AED中 Z1=Z2 、=>AABC〜〜AAED Z3=Z4~~》 AfiAT =>——=—^=>AB•AZ)=AE•ACAEAD Z5=Z1,Z1=Z2 二Z5=Z2. 在ACDEACAD中 Z1=Z2 J——>ACDE〜〜ACAD ZECD=ZDCA~ CDCE =>=n ACCD CD2=AC^CE nBC? =AC>CE② BC=CD ••由①和②苗AB•AD+BC2=AE•AC+AC•CE =AC^(AE+CE)=AC2 •AB•AD+BC2=AC2 习题18•平行四边形ABCD的底边BC固定,另一边AB长为d,则具对角线交E的轨迹为 圆,圆心是BC中点,半径是纟. 2 (假设: 平行四边形ABCD底边BC的中点O,AB边长为d,P为对角线AB,BD的交 点,BC为固定.) 求证: 点P的轨迹是00(-) 2 证明: 1°若P是平行四边形ABCD对角线AC,BD 的交点,连接0P,由P,0分别是BD,BC的中点,故 故Pg00(-),(完备性得证) 2 2°社P为G)0(纟)上任意一点,连接0P,分别过B,C作0P的平行线人厶.连接CP并延 2~ 长交厶于A,连接BP并延长交12于D,连接AD 则0P是ACAB和△BCD的中位线,于是AB=tz,OD=d.且AD//CD, 从而P点是平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点(纯粹性得证) •CI ••点P的轨迹是00(-). 习题19.设定圆屮互相垂直的两弦的平方和是常数,则此两弦所在直线交点的轨迹是圆。 假设ABJCD是(r)中两条互相垂直的弦,且AB丄CD于P,AB^CD2=a^数),求点P的轨迹. 证明: 点P关于0的对称点也满足条件,故该轨迹为以 D 0为圆心,以0P为半径的圆。 如图所示: 连A0延长交00于E,连AC、DB、CE, 则Z1+Z2二90°・・・Z2+Z3二90°, 从而Z1=Z 3=>DE=CB,DE+EB=CB+EB亠DB=CE nBD二CEnAC2+CE~=(2r)2=>AC2+BD2=4r2过点P作MN丄OP有MP二NP=>AB2+CD? =(AP-^-BP)2+(CP+PD), =AP2+PB2+2AP•BP+CP2+PD~+2CP•PD =(AP2+CP2)+(PB2+PD2)+4MP2=AC2+BD2+4MP2 =4r2+4MP2=a=MP2+斗一厂=4 OP~—r~~MP~—2r2—~OP=丄丁加-。 42 所求轨迹可能是以0为圆心*^r-a为半径的圆珠笔。 习题20.将已知点到定圆上各点连线,求连线的中点E的轨迹。 假设点C为定点P到定圆OO(r)上各成连线的屮点,求C点的轨迹. T1 探求: 连接P0交00于B易见轨迹关于肓线P0对称 设PA、PB中点分别为C、D,作切线PT、戸丁, 中点分别为E、F则C、D、E、F不共线,估计 轨迹为圆弧设CD屮点为O,连E0,设PA二a贝|J BC=2r+-'B/)=-(2r+fl)=r+-CD=SC-BD=2r+--(r+-)=r 22222 EO^=^OT=^r 所以,轨迹是以CD中点o为圆心, ”为半径的圆。
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