1990数学一答案.docx
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1990数学一答案
1990数学一答案
【篇一:
90题突破高中数学圆锥曲线答案及解
(一)】
class=txt>1.解:
(1)易知b?
?
b2?
3,又f(1,0)?
c?
1?
a2?
b2?
c2?
4
x2y2?
椭圆c?
?
1
43
(2)?
f(1,0),k?
(a2,0)先探索,当m=0时,直线l⊥ox轴,则abed为矩形,由对称性知,ae与bd相
a2?
1a2?
1,0)。
猜想:
当m变化时,ae与bd相交于定点n(,0)交于fk中点n,且n(22
证明:
设a(x1,y1),b(x2,y2),e(a2,y2),d(a2,y1),当m变化时首先ae过定点n
?
x?
my?
12222222
?
?
22即(a?
bm)y?
2mby?
b(1?
a)?
0....8分2222
?
bx?
ay?
ab?
0
?
?
4a2b2(a2?
m2b2?
1)?
0(?
a?
1)
?
y1?
y2
又kan?
2,ken?
a?
11?
a2
?
my122
a2?
1
(y1?
y2)?
my1y2而kan?
ken?
?
01?
a2a2?
1
(?
my1)22
a2?
1
(这是?
(y1?
y2)?
my1y2
2a2?
12mb2b2(1?
a2)?
?
(?
2)?
m?
2
22
2a?
mba?
m2b2(a2?
1)?
(mb2?
mb2)?
?
0)222
a?
mb
∴kan=ken∴a、n、e三点共线同理可得b、n、d三点共线
a2?
1
0)∴ae与bd相交于定点n(2
(文)解:
(1)易知b?
3?
b2?
3,又f(1,0)?
c?
1?
a?
b?
c?
4
2
2
2
x2y2
?
1?
椭圆c?
43
(2)(文)?
f(1,0),k?
(a,0)设a(x1,y1),b(x2,y2),e(a2,y2)
2
?
x?
my?
1
?
?
22即(a2?
b2m2)y2?
2mb2y?
b2(1?
a2)?
02222
?
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而kan
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y1?
y2
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m2b2(a2?
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?
0)222
a?
mb
?
?
?
?
?
?
?
?
∴kan=ken∴a、n、e三点共线?
an?
?
ne
2.解:
(1)?
?
2,?
?
0.∴np为am的垂直平分线,∴|na|=|nm|
又?
|cn|?
|nm|?
22,?
|cn|?
|an|?
22?
2.∴动点n的轨迹是以点c(-1,0),a(1,0)为焦点的椭圆且椭圆长轴长为2a?
22,焦距2c?
2.?
a?
c?
1,b2?
1.
x2
?
y2?
1.∴曲线e的方程为2
x22
(2)当直线gh斜率存在时,设直线gh方程为y?
kx?
2,?
y?
1,
213?
k2)x2?
4kx?
3?
0.由?
?
0得k2?
.22
?
4k3
设g(x1,y1),h(x2,y2),则x1?
x2?
又?
fh?
?
fh,,x1x1?
11?
k2?
k222
得(
2
?
(x1,y1?
2)?
?
(x2,y2?
2)?
x1?
?
x2,?
x1?
x2?
(1?
?
)x2,x1x2?
?
x2
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(
x1?
x22xx?
4k232
)?
x2?
12()?
111?
?
?
?
k2?
k222
?
(1?
?
)2
1616316(1?
?
)22
?
4?
?
.?
整理得?
k?
3132?
?
33(2?
1)22k2k
1611.解得?
?
?
3.又?
0?
?
?
1,?
?
?
?
1.
?
333
11
又当直线gh斜率不存在,方程为x?
0,fg?
fh,?
?
.
33
11?
?
?
?
1,即所求?
的取值范围是[,1)33?
4?
?
?
?
2?
3.解:
⑴设q(x0,0),由f(-c,0)(0,b)知?
(c,b),?
(x0,?
b)
1
b28b258
y1?
b?
?
?
cx0?
b?
0,x0?
设p(x1,y1),由?
,得x1?
13c135c
2
8b225
()(b)2?
?
1因为点p在椭圆上,所以22ab
整理得2b=3ac,即2(a-c)=3ac,2e2?
3e?
2?
0,故椭圆的离心率e=
2
2
2
1
2
b23
⑵由⑴知2b?
3ac,得?
a;
c2
2
又
13c11
,q(a,0)?
,得c?
a,于是f(-a,0)
22a22
1
|a?
5|
11
△aqf的外接圆圆心为(a,0),半径r=|fq|=a所以?
a,解得a=2,∴c=1,b=,
222
x2y2
?
?
1所求椭圆方程为43x2y2
?
?
14.
(1)椭圆的方程为42
(2)解:
过圆x2?
y2?
t2上的一点m(2,2)处的切线方程为2x+2y-6=0.
令q1(x1,y1),q2(x2,y2),则?
?
2x?
y?
6?
0
?
2
22
?
?
x?
2y?
2b
化为5x-24x+36-2b=0,由⊿0得:
b?
3
22
5
2436?
2b218?
4b2
x1?
x2?
x1x2?
y1y2?
2x1x2?
6(x1?
x2)?
18?
555
由oq1?
oq2知,x1x2?
y1y2?
0?
即b=3∈(3,+∞),故b=3
5
5.解:
(1)根据椭圆的定义,可知动点m的轨迹为椭圆,其中a?
2,c?
b?
1.
b2?
9,
x2
所以动点m的轨迹方程为?
y2?
1.
4
(2)当直线l的斜率不存在时,不满足题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y?
kx?
2,设c(x1,y1),d(x2,y2),
?
?
?
?
?
?
?
?
∵oc?
od?
0,∴x1x2?
y1y2?
0.∵y1?
kx1?
2,y2?
kx2?
2,
∴y1y2?
k2x1?
x2?
2k(x1?
x2)?
4.∴(1?
k2)x1x2?
2k(x1?
x2)?
4?
0.…①
?
x22
16k12?
?
y?
1,22
由方程组?
4得?
1?
4k?
x?
16kx?
12?
0.则x1?
x2?
,,代入x?
x?
1222
1?
4k1?
4k?
y?
kx?
2.
?
①,得1?
k2?
?
?
1?
12
4k
2
?
2k?
16k
?
4?
0.
1?
4k2
即k2?
4,解得,k?
2或k?
?
2.所以,直线l的方程是y?
2x?
2或y?
?
2x?
2.6.解:
(Ⅰ)设f、b、c的坐标分别为(-c,0),(0,b),(1,0),则fc、bc的中垂线分别为
1?
c?
x?
?
1?
cb11?
2
,y?
?
(x?
).联立方程组,解出?
x?
2
2b22?
y?
b?
c.
?
2b?
1?
cb2?
c
(b-c)0,∴bc.m?
n?
?
?
0,即b?
bc?
b2?
c?
0,即(1+b)
22b
从而b2?
c2即有a2?
2c2,∴e2?
1
.又e?
0,∴0?
e?
.
2
(Ⅱ)直线ab与⊙p不能相切.由kab?
b,kpb
b2?
c
b?
b2?
c?
=.
1?
cb(c?
1)0?
2
b2?
c
如果直线ab与⊙p相切,则b=-1.
b(c?
1)
解出c=0或2,与0<c<1矛盾,所以直线ab与⊙p不能相切.
xx43
t)(t?
r),a(x1,y1),b(x2,y2),则ma1?
y1y?
1343∵点m在ma上∴x1?
ty1?
1①同理可得x2?
ty2?
1②
333
由①②知ab的方程为x?
ty?
1,即x?
(1?
ty)
3
易知右焦点f(3,0)满足③式,故ab恒过椭圆c的右焦点f(,0)
7.【解】
(1)设m(
x2
?
y2?
1,化简得7y?
6y?
1?
0
(2)把ab的方程x?
(1?
y)代入4
43||
23?
2816
?
又m到ab的距离d?
?
∴|ab|?
?
3?
377?
3
∴△abm的面积s?
13
?
|ab|?
d?
221
则pf1:
y?
k(x?
4)?
4,即kx?
y?
4k?
4?
0.∵直线pf1与圆c
?
解得k?
当k=当k=
111,或k?
.22
1136
时,直线pf1与x轴的交点横坐标为,不合题意,舍去.211
1
时,直线pf1与x轴的交点横坐标为-4,∴c=4.f1(-4,0),f2(4,0).2
2
2
x2y2
?
1.2a=af1+af2
=
a?
,a=18,b=2.椭圆e的方程为:
?
182
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
(Ⅱ)ap?
(1,3),设q(x,y),a,ap?
aq?
(x?
3)?
3(y?
1)?
x?
3y?
6.q?
x(?
3y?
)1
x2y2
?
1,即x2?
(3y)2?
18,而x2?
(3y)2≥2|x|?
|3y|,∴-18≤6xy≤18.∵?
182
则(x?
3y)2?
x2?
(3y)2?
6xy?
18?
6xy的取值范围是[0,36].x?
3y的取值范围是[-6,6].
?
?
?
?
?
?
?
?
∴ap?
aq?
x?
3y?
6的取值范围是[-12,0].
x2y2
9.【解】
(1)依题意,设椭圆方程为2?
2?
1(a?
b?
0),则其右焦点坐标为
ab
f(c,0),c?
a2?
b2,由|fb|?
2
?
2,
即(c2?
2?
4,解得c?
22。
22
xy222?
?
1。
又∵b?
2,∴a?
c?
b?
12,即椭圆方程为124
(2)由|am|?
|an|知点a在线段mn的垂直平分线上,
?
y?
kx?
2
?
2由?
x消去y得x2?
3(kx?
2)2?
12即(1?
3k2)x2?
12kx?
0(*)y2
?
1?
?
?
124
22
由k?
0,得方程(*)的?
?
(?
12k)?
144k?
0,即方程(*)有两个不相等的实数根。
设m(x1,y1)、n(x2,y2),线段mn的中点p(x0,y0),则x1?
x2?
x1?
x212k6kx?
?
,,?
022
21?
3k1?
3k
6k2?
2(1?
3k2)6k?
2?
2
p(,)?
,即?
y0?
kx0?
2?
2222
1?
3k1?
3k1?
3k1?
3k
【篇二:
1990-2012考研数学二历年真题word版】
pclass=txt>一、选择题:
1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上....
(1)
曲
线
(5)设函数f(x,y)为可微函数,且对任意的x,y都有
?
(x,y)?
(x,y)
?
0,?
0,则使不?
x?
y
等式f(x1,y1)?
f(x2,y2)成立的一个充分条件是
x2?
x
y?
2
x?
1
的渐近线条
)数
(a)x1?
x2,y1?
y2(b)x1?
x2,y1?
y2(c)x1?
x2,y1?
y2(d)
()
(a)0(b)1(c)2(d)3
x
2x
nx
x1?
x2,y1?
y2
(2)设函数f(x)?
(e?
1)(e?
2)?
(e?
n),其中n为正整数,则f?
(0)?
()
(a)(?
1)
n?
1
(6)设区域d由曲线y?
sinx,x?
?
?
2
y?
1围成,则?
?
(x5y?
1)dxdy?
d
(n?
1)!
(b)(?
1)(n?
1)!
(c)(?
1)
nn?
1
n!
(d)
()
(a)?
(b)2(c)-2(d)-?
(?
1)nn!
(3)设an?
0(n?
1,2,3?
),
?
0?
?
0?
?
1?
?
?
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
c?
?
c?
?
c?
?
c?
?
an?
收敛的
?
3?
?
4?
?
1?
?
2?
则下
()
列
向
量
组
线
性
相
关
的
sn?
a1?
a2?
a3?
?
?
an,则数列?
sn?
有界是数列
为
()
(a)充分必要条件(b)充分非必要条件(c)必要非充分条件(d)非充分也非必要
k?
2
2
3
4
()
(a)i1?
i2?
i3(b)i3?
i2?
i1(c)i2?
i3?
i1(d)i2?
i1?
i3
?
100?
?
?
?
002?
?
?
()
则
三、解答题:
15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字...q?
1aq?
说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)
1?
x1?
100?
?
100?
?
200?
已知函数f?
x?
?
?
,记a?
limf?
x?
,
?
?
?
?
?
?
x?
0
sinxx(a)?
020?
(b)?
010?
(c)?
010?
(i)求a的值;?
001?
?
002?
?
002?
?
?
?
?
?
?
k
(ii)若x?
0时,f?
x?
?
a与x是同阶无穷小,求常数k的值.
?
200?
?
?
(d)?
020?
?
001?
?
?
二、填空题:
9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上....
(16)(本题满分10分)
求函数f?
x,y?
?
xe
?
x2?
y22
d2y
(9)设y?
y(x)是由方程x?
y?
1?
e所确定的隐函数,则2
dx
2
y
x?
0
?
(10)limn?
?
2?
?
?
2?
222?
n?
?
1?
n2?
nn?
n?
?
.(11)设z?
f?
lnx?
?
111?
?
?
1?
?
z2?
z,x?
y?
.?
其中函数f?
u?
可微,则
y?
?
x?
y
(12)微分方程ydx?
x?
3y
?
2
?
dy?
0满足条件y
x?
1
?
1的解为y?
.
(13)曲线y?
x?
x?
x?
0?
上曲率为
2
的点的坐标是.2
(14)设a为3阶矩阵,a=3,a*为a伴随矩阵,若交换a的第1行与第2行得矩阵
的极值.
b,则ba*?
(17)(本题满分12分)
过(0,1)点作曲线l:
y?
lnx的切线,切点为a,又l与x轴交于b点,区域d由l与直线ab围成,求区域d的面积及d绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
(18)(本题满分10分)
计算二重积分
?
?
xyd?
,其中区域d为曲线r?
1?
cos?
?
0?
?
?
?
?
与极轴围成.
d
(19)(本题满分10分)
已知函数f(x)满足方程f?
?
(x)?
f?
(x)?
2f(x)?
0及f?
?
(x)?
f(x)?
2ex,(i)求f(x)的表达式;
(ii)求曲线y?
f(x2)?
f(?
t2)dt的拐点.
0x
(20)(本题满分10分)
个实根;(ii)记(i)中的实根为xn,证明limxn存在,并求此极限.
n?
?
1?
xx2
证明xln,(?
1?
x?
1).?
cosx?
1?
1?
x2
(21)(本题满分10分)
(i)证明方程xn+xn-1?
?
?
x?
1?
n?
1的整数?
,在区间?
(22)(本题满分11分)
?
1?
1?
内有且仅有一?
2?
?
1?
0
设a?
?
?
0?
?
a
a00?
?
1?
?
?
?
1a0?
?
1
,?
?
?
?
?
0?
01a?
?
?
?
001?
?
0?
(i)计算行列式a;
(ii)当实数a为何值时,方程组ax?
?
有无穷多解,并求其通解.
本题满分11分)
?
?
10
1?
已知a?
?
11?
?
0a?
?
,二次型f?
x1,x2,x3?
?
xt?
ata?
x的秩为2,?
?
1?
0a?
1?
?
(i)求实数a的值;
(ii)求正交变换x?
qy将f化为标准形.
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
(23)(
【篇三:
高一数学常考立体几何证明题及答案】
,e是ab的中点。
求证:
(1)ab?
平面cde;
(2)平面cde?
平面
abc。
2、如图,在正方体abcd?
a1b1c1d1中,e是aa1的中点,
da
d1
b
e
c
bde。
求证:
ac1//平面
3、已知?
abc中?
acb?
90,sa?
面abc,ad?
sc,
?
b
c
d
s
c
求证:
ad?
面sbc.
a
bc
d1ad
bbc1
o是底abcd对角线的交点.4、已知正方体abcd?
a1bc1
1d1,
求证:
(1)c1o∥面ab1d1;
(2)ac?
面ab1d1.1
5、正方体abcd?
abcd中,求证:
(1)ac?
平面bddb;
(2)bd?
平面acb.6、正方体abcd—a1b1c1d1中.
(1)求证:
平面a1bd∥平面b1d1c;
(2)若e、f分别是aa1,cc1的中点,求证:
平面eb1d1∥平面fbd.
7、四面体abcd中,ac
?
bd,e,f分别为ad,bc的中点,且ef?
求证:
bd?
平面acd
c
a1
ac,2
8、如图,在正方体abcd?
a1b1c1d1中,e、f、g分别是ab、ad、c1d1的中点.求证:
平面d1ef∥平面
bdg.
9、如图,在正方体abcd?
a1b1c1d1中,e是aa1的中点.
bde;
(1)求证:
ac1//平面
(2)求证:
平面a1ac?
平面bde.
10、已知abcd是矩形,pa?
平面abcd,ab?
2,pa?
ad?
4,e为bc的中点.
(1)求证:
de?
平面pae;
(2)求直线dp与平面pae所成的角.
11、如图,在四棱锥p?
abcd中,底面abcd是?
dab?
60且边长为a的菱侧面pad是等边三角形,且平面pad垂直于底面abcd.
(1)若g为ad的中点,求证:
bg?
平面pad;
(2)求证:
ad?
pb.
12、如图1,在正方体abcd?
a1b1c1d1中,m为cc1的中点,ac交bd于点o,求证:
ao?
平面mbd.1
13、如图2,在三棱锥A-bcd中,bc=ac,ad=bd,
作be⊥cd,E为垂足,作ah⊥be于H.求证:
ah⊥平面bcd.
形,
14.(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形.
已知:
如图,三棱锥s—abc,sc∥截面efgh,ab∥截面efgh
.
求证:
截面efgh是平行四边形.
2
,如图.3
15.(12分)已知正方体abcd—a1b1c1d1的棱长为a,m、n分别为a1b和ac上的点,a1m=an=
(1)求证:
mn∥面bb1c1c;
(2)求mn的长.
ab的中点.
(1)证明:
pq∥平面acd;
(2)求ad与平面abe所成角的正弦值.
17.(12分)如图,在四面体abcd中,cb=cd,ad⊥bd,点e、f分别是ab、bd的中点.求证:
(1)直线ef∥面acd.
(2)平面efc⊥平面bcd
.
1、如图,已知空间四边形abcd中,bc?
ac,ad?
bd,e是ab的中点。
求证:
(1)ab?
平面cde;
(2)平面cde?
平面abc。
e
bc?
ac?
证明:
(1)?
?
ce?
ab
ae?
be?
同理,
ad?
bd?
?
?
de?
ab
ae?
be?
b
c
又∵ce?
de?
e∴ab?
平面cde
(2)由
(1)有ab?
平面cde
又∵ab?
平面abc,∴平面cde?
平面abc2、如图,在正方体abcd?
a1b1c1d1中,e是aa1的中点,
d
bde。
求证:
ac1//平面
证明:
连接ac交bd于o,连接eo,∵e为aa1的中点,o为ac的中点∴eo为三角形a1ac的中位线∴eo//ac1
b
a
d1
c
d
bde外∴acbde。
又eo在平面bde内,ac1在平面1//平面
3、已知?
abc中?
acb?
90,sa?
面abc,ad?
sc,
?
c
s
求证:
ad?
面sbc.
又sa?
面abc?
sa?
bc?
bc?
面sac?
bc?
add
又sc?
ad,sc?
bc?
c?
ad?
面sbc
adbc
c1bo是底abcd对角线的交点.4、已知正方体abcd?
a1bc11d1,
求证:
(1)c1o∥面ab1d1;
(2)ac?
面ab1d1.1证明:
(1)连结ac11,设
ad
ac11?
b1d1?
o1,连结ao1
b
∵abcd?
a1bc11d1是正方体?
a1acc1是平行四边形∴a1c1∥ac且ac11?
ac又o1,o分别是ac11,ac的中点,∴o1c1∥ao且o1c1?
ao?
aoc1o1是平行四边形
?
c1o∥ao1,ao1?
面abd,co?
面abd∴co∥面abd
11111111
c
(2)?
cc1?
面a1b1c1d1?
cc!
1?
b1d又
∵ac11?
b1d1,?
bd?
面acc1111即a1c?
b1d1
ac?
ad1,又d1b1?
ad1?
d1
同理可证1
?
面ab1d1?
ac1
5、正方体abcd?
abcd中,求证:
(1)ac?
平面bddb;
(2)bd?
平面acb.
6、正方体abcd—a1b1c1d1中.
(1)求证:
平面a1bd∥平面b1d1c;
(2)若e、f分别是aa1,cc1的中点,求证:
平面eb1d1∥平面fbd.证明:
(1)由b1b∥dd1,得四边形bb1d1d是平行四边形,∴b1d1∥bd,
又bd?
平面b1d1c,b1d1?
平面b1d1c,∴bd∥平面b1d1c.同理a1d∥平面b1d1c.
而a1d∩bd=d,∴平面a1bd∥平面b1cd.
a
1
(2)由bd∥b1d1,得bd∥平面eb1d1.取bb1中点g,∴ae∥b1g.
从而得b1e∥ag,同理gf∥ad.∴ag∥df.∴b1e∥df.∴df∥平面eb1d1.∴平面eb1d1∥平面fbd.
7、四面体abcd中,ac?
bd,e,f分别为ad,bc的中点,
且ef?
ac,1//?
ac2
?
bdc?
90?
,求证:
bd?
平面acd
证明:
取cd的中点g,连结eg,fg,∵e,f分别为ad,bc的中点,∴eg
//1bd,又ac?
bd,∴fg?
1ac,∴在?
efg中,eg2?
fg2?
1ac2?
ef2fg?
222
?
∴eg?
fg,∴bd?
ac,又?
bdc?
90,即bd?
cd,ac?
cd?
c∴bd?
平面acd
8、如图,在正方体abcd?
a1b1c1d1中,e、f、g分别是ab、ad、c1d1的中点.求证:
平面d1ef∥平面
bdg.
证明:
∵e、f分别是ab、ad的中点,?
ef∥bd又ef?
平面bdg,bd?
平面bdg?
ef∥平面bdg∵d
1g
eb?
四边形dgbe为平行四边形,d1e∥gb1
又d1e?
平面bdg,gb?
平面bdg?
d1e∥平面bdg
ef?
d1e?
e,平面def∥平面bdg
?
1
9、如图,在正方体abcd?
a1b1c1d1中,e是aa1的中点.
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- 1990 数学 答案