线性方程组的矩阵求法.docx
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线性方程组的矩阵求法
线性方程组的矩阵求法
摘要:
关键词:
第一章引言
矩阵及线性方程组理论是高等代数的重要内容,用矩阵
方法解线性方程组又是人们学习高等代数必须掌握的基本
技能,本文将给出用矩阵解线性方程组的几种方法,通过对线性方程组的系数矩阵(或增广矩阵)进行初等变换得到其解,并列举出几种用矩阵解线性方程组的简便方法。
第二章用矩阵消元法解线性方程组
第一节预备知识
定义1:
一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。
定理1:
初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。
定义2:
定义若阶梯形矩阵满足下面两个条件:
(1)B的任一非零行向量的第一个非零分量(称为的
一个主元)为1;
(2)B中每一主元是其所在列的唯一非零元。
则称矩阵为行最简形矩阵。
第二节
1.对一个线性方程组施行一个初等变换,相当于对它的增广矩
阵施行一个对应的行初等变换,而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵,因此,我们将要通过花间矩阵来讨论化简线性方程组的问题。
这样做不但讨论起来比较方便,而且能给我们一种方法,就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组,而不必每次都把未知量写出来。
下面以一般的线性方程组为例,给出其解法:
ainXnb1,
(1)
a2nXn
b2,
LLLLLLLLLLLL
am1X1am2X2L
amnXn
bm.
根据方程组可知其系数矩阵为:
aii
ai2L
ain
a2i
a22L
a2n
(2)
LLLLLLLLL
am1
amn
其增广矩阵为:
a11
ai2
L
ain
bi
a21
a22
L
a2n
b2
LL
LLL
LLL
LLL
L
am1
am2
L
amn
bm
(3)
根据
(2)及矩阵的初等变换我们可以得到和它同解的线性方程组,并很容易得到其解。
定理2:
设A是一个m行n列矩阵
a11
耳2
L
a1n
a21
a22
L
a2n
A=LL
LLL
LLL
L
am1
am2
L
amn
通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式
1
*i
If
L
**
L
*
1
0
0
L
0
C1,r1
L
C1n
0
1'
*
L
**
L
*
0
1
0
L
0
C2,r1
L
C2n
L
LL
L
L
LLL
L
L
L
L
LL
L
LL
LL
LL
L
⑷0
0
0
L
1*
L
*
进而化为(5)0
0
0
L
1
Cr,r1
L
Crn
01
LL
L
L
LLL
L
L0
01
lLL
L
LL
LL
LL
L0
L
LL
L
L
LLL
L
L
L
L
LL
L
LL
LL
LL
L
OLLLLLLLLLOOLLLLLLLLLLLO
这里r0,rm,rn,表示矩阵的元素,但不同位置上的表
示的元素未必相等。
即任何矩阵都可以通过初等变换化为阶梯形,并进而化为行最简形
现在考察方程组
(1)的增广矩阵(3),由定理2我们可以对
(1)的系数矩阵
(2)施行一次初等变换,把它化为矩阵(5),对增广矩阵(3)施行同样的初等变换,那么(3)可以化为以下形式:
100L0C|,r1LCindi
010L0C2,r1LC2nd2
LLLLLLLLLLLLLL
(6)000L1cr,r1Lcrndr
0LLLLLLLLLLL0dr1LLLLLLLLLLLLLL
0LLLLLLLLLLL0dm
与(6)相当的线性方程组是:
Xi1C1,r1Xir1L缶Xind1,
X2C2,r1Xir1LJ%d2,
LLLLLLLLLLL
(7)Xrcr,r1Xr1LCrnXndr,
0dr1,
LLLLLLLLLLL
0dm,
这里i1,i2,…,in是1,2,…,n的一个排列,由于方程组(7)可以由方程组
(1)通过方程组的初等变换以及交换未知量的位置而得到,所以由定理1,方程组(7)与方程组
(1)同解。
因此,要求方程组
(1),只需解方程组(7),但方程组(7)是否有解以及有怎样的解很容易看出:
情形
(1),r 因此方程组 (1)也无解。 情形 (1),r=m或r Xi1%1冷1LGnXind1, Xi2C2,r1Xir1LC2nXind2, 与方程组(8)LLLLLLLLLLLL同解。 XirCr,r1Xir1LCrnXindr 当r=n时,方程组(8)有唯一解,就是Xit=a,t=1,2,…,n.这也是方程组 (1)的唯一解 当r x di C1,r1Xiri L GnXn, Xi2 d2 C2,r1Xir1 L C2nXin, (9)LL LL LLLL L LLL Xir dr Cr,r1Xiri L CrnXin 于是,给予未知量Xiri,…,Xin以任意一组数值kir1,…kin,就得 Xii d q,r1kir! L C1nkin, L LLL LLLL LL LL Xir dr Cr,r1Kr! L Gnkin, 到(8)的一个解: Xi ir ki ir1 J L LL Xin ki. 这也是 (1)的一个解。 由于 kir1,…Kn 可以 : 任选,用这一方法可以 得到 (1)的无穷多解。 另一方面,由于(8)的任一解都必须满足(9),所以(8)的全部解,亦即 (1)的全部解都可以用以上方法得到。 例1: 解线性方程组 X1 2x2 3x3 X4 5, 2x〔 4x2 X4 3, X1 2x2 3x3 2x4 8, X1 2x2 9x3 5x4 21. 解: 方程组的增广矩阵是 1 2 3 1 5 2 4 0 1 3 1 2 3 2 8 1 2 9 5 21 进行初等行变换可得到矩阵最简形 1 2 0 1 3 2 2 0 0 1 13 1 2 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 对应的线性方程组是 C1 3 x12x2x4 2 2 1 13 X3-X4 — 2 6 把移到右边作为自由未知量,得原方程组的一般解 第三章用初等变换解线性方程组 定义2: 设B为mn行最简形矩阵,按以下方法作sn矩阵C: 对任一i: 1is,若有B的某一主元位于第i列,则将其所在行称为C的第i行,否则以n维单位向量e©L,0,1,0丄0)作为C的第i行,称C为B的sn单位填充矩阵(其中1is). 显然,单位填充矩阵的主对角线上的元素只能是“1”或“-1”,若主对角线上某一元素为“-1”,则该元素所在列之列向量称为C的“J一列向量”。 定义3: 设B为行最简形矩阵,若B的单位填充矩阵C勺任一“J一列向量”均为以B为系数矩阵的齐次线性方程组: LLLLLLLLLLLL 的解向量,则陈C与B是匹配的(也说B与C是匹配的)。 引理1: 设B为行最简形矩阵,若将B的第i列与第j列交换位置所得矩阵仍为行最简形矩阵,贝心 (I)将的单位填充矩阵的第行与第行交换位置,第列与第列交 换位置所得矩阵为单位填充矩阵,其中 (H)若C与B是匹配的,则c与B'也是匹配。 证明: 结论(I)显然成立,下证(H),因为C与B是匹配的,故C 只能是nn矩阵,从而c也是nn矩阵,设以B为系数矩阵的方程组 为 (1), 以B为系数矩阵的方程组为 (1),以B为系数矩阵的方程组 b11X1b12X2Lb1nXn0, 为: b21X1b22X2Lb2nXi0,佗) LLLLLLLLLLLL b'm1X1b'm2X2LbmnXn0. 则由B与B'的关系可知对方程组 (1)进行变量代换 X1y1,LXjyj,LXnyn 就得到方程组 (2),于是方程组 (1)的任一解向量交换i、j两个分量的位置后就是方程组 (2)的一个解向量,又从C与C'的关系可知,c的任一“J一列向量”均可由C的某一“J一列向量”交换i、j两个分量的位置后得到,从而由C与B匹配知C'与B'也是匹配的。 引理2: 任一mn行最简形矩阵与其nn单位填充矩阵C是匹配的。 证明: 1设 其所有J一列向量为 r1(bl,r1LL,br,r1,1,0,L0) r2(b1,r2LL,2,0,1L0) LLLLLLLLLLLLLL n(bi,nLL,br,n,0,0,L1) 显然它们都是方程组⑷的解,即B与C是匹配的. 2,一般形式的行最简形矩阵B显然总可以通过一系列的第二类初等列变换(变换两列的位置)化为⑶的形式,从而B的单位填充矩阵C通过相应的初等行、列变换就变成矩阵(5),由于这种变换是可递的,据引理2及引理1(H)知B与C是匹配的。 定理3: 设齐次线性方程组 a〔iXi ainXn0, 的系数矩阵A经一系列初等行变换化为行最简形矩阵B,则B的nn单 位填充矩阵C的所有“J一列向量”构成方程组(6)的一个基础解系。 证明: 设以B为系数矩阵的齐次线性方程组为 (1),则 (1)与(6)同解,据引理2知C的所有“J一列向量”都是方程组 (1)的解,且是n-r个线性无关的解向量,(这里r=秩(B)=秩(A)),从而构成方程组 (1)的一个基础解系,也是方程组(6)的一个基础解系. 定理3: 设非齐次线性方程组 a1nXnb1, a21X1822X2La2nXnb2, LLLLLLLLLLLL 有解,其增广矩阵A经一系列初等行变换化为行最简形矩阵B,则 B的n(n+1)单位填充矩阵C的所有“J一列向量”构成方程组的导出组的一个基础解系,而C的最后一个列向量为方程组(7)的一个特解。 证明: 由定理3,前一结论显然,下证C的最后一个列向量为方程组(7)的一个特解。 作齐次线性方程组 则方程组(8)的系数矩阵即为方程组(7)的增广矩阵A,于是B勺 (n+1)(n+1)单位填充矩阵为 c c 0,0,LL0,1 由定理3知C的最后一个列向量是方程组(8)的一个解,从而易 知C的最后一个列向量即为方程组(7)的一个特解. 例2: 求线性方程组 X1 X2 3X3 X4 X5 3 3x1 2X2 4X3 5x4 X5 4 (9) 2x1 4X3 2x4 3X5 4 X1 2X3 X4 3X5 2 的一般解 。 解: 方程组(9)的增广矩阵为 1 1 3 1 1 3 3 2 4 5 1 4 A 2 0 4 2 3 4 1 0 2 1 1 2 用初等行变换将变为行最简形矩阵。 1 0 2 0 0 2 0 1 1 0 2 1 B 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 写出B的56单位填充矩阵: 1 0 2 0 0 2 0 1 1 0 2 1 B0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 于是, 方程组的导出组的基础解系为 i(2,1,1,0,0)2(0,2,0,1,1) 从而方程组(9)的一般解为K! k223其中匕k2为任意常数. 第四章线性方程组通解的一种简便求法 1齐次线性方程组基础解系的一种简便求法设有齐次线性方程组 0, 0, (1) 0. a11X1a12X2LnXn a21X1a22X2La2nXn LLLLLLLLLLL am1X1am2X2LamnXn [ATnmMEn]行初等变换厂MP 0 (nr)m 其中r=r(A),r(Drm)=r,即Drm为一个行满秩矩阵,En为 n阶单位矩阵,P为n阶可逆矩阵。 则矩阵P的后(n-r)行即为方程组 (1)的一个基础解系。 下面证明此结论。 证明: 对于nxm矩阵at,必存在n阶和m阶可逆矩阵P,Q,使 Er0Er0D PATQ=00,所以PAt=00QG,因为P为可逆矩阵, 00000(nr)m P的行向量组线性无关,所以P的后(n-r)行行向量线性无关,而矩 阵P的后(n-r)行为(0,Enr)P,因为(0,Enr)PAT=(0, DE)rnnr. 0(nr)m =0,所以X=(0,Enr)P为方程组XAT0一个解,即P 求齐次线性方程组 的一个基础解系。 Xi X2 X3 4x4 3x5 0 Xi X2 3x3 2x4 X5 0 2x-| X 3x3 5x4 5X5 0 3x-| X 5X3 6x4 7X5 0 的一个基础解系 解 1 1 2 3 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 AtME5 1 3 3 5 0 0 1 0 0 4 2 5 6 0 0 0 1 0 3 1 5 7 0 0 0 0 1 1 1 2 3 1 0 0 0 0 0 2 1 2 1 1 0 0 0 0 2 1 2 1 0 1 0 0 0 6 3 6 4 0 0 1 0 0 2 1 2 3 0 0 0 1 i i 2 3 M1 0 0 0 0 M 0 2 1 2 M1 1 0 0 0 LLL LL LLLL .LL LLL MLLL LLLL LLL LLL LLL 0 0 0 0 M1 0 1 0 0 M 0 0 0 0 M0 0 0 1 0 M 0 0 0 0 M2 1 0 0 1 例3 因为r(A)=2,所以P的后3行,即i=(-2,1,1,0,0),2 (-1,-3,0,1,0),3=(2,1,0,0,1)为方程组的一个基 础解系。 2非齐次线性方程组通解的一种简便求法 L a1nxnb1, 821X1822X2 设有非齐次线性方程组 anx1 LLLLLLLLLLLL b1 其矩阵方程为xatbT,其中bb2 M bm 求方程组XATbT的通解的方法如下 其中pn为n阶可逆矩阵,rr(A)T,则 (1)矩阵Pn的后(n-r)行即为方程组XAT=0的一个基础解系 (2)X=n3为方程组XAT=bT一个特解。 结论 (1)的正确性在前面已经得到证明,下面证明结论 (2)当r(AT)=rATbT时,方程组有解,对此情况进行证明。 则矩阵Pn的后(n-r)行即为方程组XAT=0的一个基础解系,X=n3为方程组XAT=bT一个特解。 作两点说明: (1)对矩阵ATbT…En+1作初等行变换后,若最后一行的前m个元素不能全部变为零,即r(AT)rATbT,此时方程组无解; (2)对矩阵ATbT…En+1作初等行变换时,最后一行不能与其它各行交换位置。 例2解线性方程组 所以方程组XAT=0的一个基础解系为 方程组XAT=bT的一个特解为n3= 所以方程组XAT二bT的通解为E=n3+clE1+c2E2,其中cl,c2 为任意常数 用这种方法求齐次线性方程组的基础解系,或求非齐次线性方程组的通解只需施行矩阵的初等行变换,省掉了写矩阵对应的方程组,以及设自由未知量等繁杂过程,简单而实用,且易于掌握。
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