311 两角差的余弦公式 教案+习题.docx
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311两角差的余弦公式教案+习题
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程,理解用向量法导出公式的主要步骤(难点).2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算(重点).
预习教材P124-126完成下面问题:
知识点 两角差的余弦公式
公式
cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β
简记符号
C(α-β)
使用条件
α,β都是任意角
【预习评价】
(1)cos44°cos14°+sin44°sin14°的值为( )
A.B.-
C.D.-
解析 原式=cos(44°-14°)=cos30°=.
答案 C
(2)已知α是锐角,sinα=,则cos(-α)=________.
解析 因为α是锐角,sinα=,所以cosα=,
所以cos(-α)=coscosα+sinsinα=×+×=.
答案
题型一 两角差的余弦公式的正用和逆用
【例1】
(1)cos(-15°)的值是( )
A.B.
C.D.
(2)cos(α-35°)cos(α+25°)+sin(α-35°)sin(α+25°)=________.
(3)=________.
解析
(1)cos(-15°)=cos(30°-45°)=cos30°cos45°+sin30°sin45°=×+×=.
(2)原式=cos[(α-35°)-(α+25°)]=cos(-35°-25°)=cos(-60°)=cos60°=.
(3)原式=
=
==cos15°=cos(60°-45°)=.
答案
(1)D
(2) (3)
规律方法 运用两角差的余弦公式求值的注意点
(1)要深刻理解所用公式的特征、恰当地套用公式,
(2)在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时,关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°,45°,60°,90°,120°,150°,…)之间和与差的关系问题,然后利用公式化简求值.
【训练1】 求下列三角函数式的值:
(1)sin;
(2)cos15°cos105°+sin15°sin105°.
解
(1)原式=cos(-)=cos=cos[-(-)]
=coscos(-)+sinsin(-)=.
(2)原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos90°=0.
题型二 给值求值
【例2】 设cos=-,sin=,其中α∈,β∈,求cos.
解 因为α∈,β∈.
所以α-∈,-β∈.
因为cos=-,sin=,
所以sin=
==,
cos===.
所以cos=cos
=coscos+sinsin
=-×+×=.
规律方法 给值求值问题的解题策略
(1)从角的关系中找解题思路:
已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.
(2)常见角的变换:
①α=(α-β)+β;②α=+;③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β).
【训练2】 已知sinα=,α∈,cosβ=-,β∈,求cos(α-β)的值.
解 ∵α∈,sinα=,
∴cosα=-=-.
又β∈,cosβ=-,
∴sinβ=-=-.
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
=×+×
=.
典例
迁移
题型三 给值求角
【例3】 已知cosα=,cos(α+β)=-,且α,β∈,求β的值.
解 ∵α,β∈且cosα=,cos(α+β)=-,
∴α+β∈(0,π),∴sinα==,
sin(α+β)==.
又∵β=(α+β)-α,
∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=×+×=.
又∵β∈,∴β=.
【迁移1】 若例3条件中的“cos(α+β)=-”改为“sin(α+β)=”,则β的值是什么?
解 ∵α,β∈(0,),∴α+β∈(0,π),
∵cosα=,sin(α+β)=,
∴sinα=,cos(α+β)=±,
当cos(α+β)=-时,cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×=,
∵β∈(0,),∴β=;
当cos(α+β)=时,cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×+×=<=cos(α+β),且α+β∈(0,),β∈(0,),
所以β>α+β,即α<0,与已知矛盾,舍去,所以β=.
【迁移2】 在例3的条件下,若γ∈(0,),sinγ=,求cos(β-γ).
解 由例3知β=,
又∵γ∈(0,),sinγ=,∴cosγ=,
∴cos(β-γ)=cos(-γ)=coscosγ+sinsinγ=×+×=.
规律方法 已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
课堂达标
1.cos56°cos26°+sin56°cos64°的值为( )
A.B.-
C.D.-
解析 原式=cos56°cos26°+sin56°sin26°=cos(56°-26°)=cos30°=.
答案 C
2.若a=(cos60°,sin60°),b=(cos15°,sin15°),则a·b=( )
A.B.
C.D.-
解析 a·b=cos60°cos15°+sin60°sin15°=cos(60°-15°)=cos45°=.
答案 A
3.已知sinα=,α∈(0,),则cos(α-)=________.
解析 由条件可得cosα=,cos(α-)=cosαcos+sinαsin=×+×=.
答案
4.计算:
sin60°+cos60°=________.
解析 原式=sin30°sin60°+cos30°cos60°
=cos(60°-30°)=cos30°=.
答案
5.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),α,β∈(0,π)且a⊥b,求α-β的值.
解 因为a⊥b,所以a·b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=0.因为-π<α-β<π,所以α-β=-或.
课堂小结
1.给式求值或给值求值问题,即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值),求另外一些角的三角函数值,关键在于“变式”或“变角”,使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用,有时需运用拆角、拼角等技巧.
2.“给值求角”问题,实际上也可转化为“给值求值”问题,求一个角的值,可分以下三步进行:
(1)求角的某一三角函数值;
(2)确定角所在的范围(找区间);(3)确定角的值.
确定用所求角的哪种三角函数值,要根据具体题目而定.
基础过关
1.化简-sin(x+y)sin(x-y)-cos(x+y)cos(x-y)的结果为( )
A.sin2xB.cos2x
C.-cos2xD.-cos2y
解析 原式=-cos[(x+y)-(x-y)]=-cos2y,故选D.
答案 D
2.cos295°sin70°-sin115°cos110°的值为( )
A.B.-
C.D.-
解析 原式=-cos115°cos20°+sin115°sin20°=cos65°cos20°+sin65°sin20°=cos(65°-20°)=cos45°=.
答案 A
3.已知cosα=-,α∈,sinβ=-,β是第四象限角,则cos(β-α)的值是( )
A.-B.
C.-D.-
解析 由条件可得sinα=,cosβ=,则cos(β-α)=cosβcosα+sinαsinβ=×(-)+(-)×=-.
答案 C
4.若cos(α-β)=,则(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=________.
解析 原式=2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)
=2+2cos(α-β)=.
答案
5.已知α,β均为锐角,且cosα=,cosβ=,则α-β=________.
解析 由条件得sinα=,sinβ=.
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=,
又α-β∈(-,),∴α-β=±,
又因为cosα>cosβ,所以α<β,则α-β=-.
答案 -
6.已知a=(cosα,sinβ),b=(cosβ,sinα),0<β<α<,且a·b=,求α-β.
解 ∵0<β<α<,
∴0<α-β<.
又a·b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=,
∴α-β=.
7.已知cosα-cosβ=,sinα-sinβ=-,求cos(α-β).
解 由cosα-cosβ=两边平方得
(cosα-cosβ)2=cos2α+cos2β-2cosαcosβ=.①
由sinα-sinβ=-两边平方得
(sinα-sinβ)2=sin2α+sin2β-2sinαsinβ=.②
①+②得
2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=.
∴cosαcosβ+sinαsinβ=,
∴cos(α-β)=.
能力提升
8.若cos(α-β)=,cos2α=,并且α,β均为锐角,且α<β,则α+β的值为( )
A.B.
C.D.
解析 由条件得sin(α-β)=,sin2α=,则cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)=×+×(-)=-,又因为α+β∈(0,π),所以α+β=.
答案 C
9.cos165°等于( )
A.B.
C.-D.-
解析 cos165°=cos(180°-15°)=-cos15°
=-cos(45°-30°)=-(cos45°cos30°+sin45°sin30°)
=-.
答案 C
10.已知sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,则cos(α-β)的值是________.
解析 由
①2+②2⇒2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=1
⇒cos(α-β)=-.
答案 -
11.化简=________
解析 原式=
==.
答案
12.已知向量a=(sinθ,-2)与b=(1,cosθ)互相垂直,其中θ∈.
(1)求sinθ和cosθ的值;
(2)若5cos(θ-φ)=3cosφ,0<φ<,求cosφ的值.
解
(1)因为a⊥b,
所以a·b=sinθ-2cosθ=0,
即sinθ=2cosθ.
又因为sin2θ+cos2θ=1,
所以4cos2θ+cos2θ=1,
即cos2θ=,所以sin2θ=,
又θ∈,
所以sinθ=,cosθ=.
(2)因为5cos(θ-φ)=5(cosθcosφ+sinθsinφ)=cosφ+2sinφ
=3cosφ,
所以cosφ=sinφ,
所以cos2φ=sin2
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