上海市闵行区闵行中学学年度高三上学期期中数学试题.docx
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上海市闵行区闵行中学学年度高三上学期期中数学试题
绝密★启用前
上海市闵行区闵行中学2019-2020学年度高三上学期期中数
学试题
试卷副标题
题号
一
一
三
总分
得分
考试范围:
xxx;考试时间:
100分钟;命题人:
xxx
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
、单选题
1,函数f(x)(xR)存在反函数”是函数f(x)在R上为增函数”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】
函数f(x)(xR)存在反函数,至少还有可能函数f(x)在R上为减函数,充分性不成
立;根据反函数的定义可知必要性显然成立,函数f(x)(xR)存在反函数”是函数
f(x)在R上为增函数”的必要而不充分条件,故选B.
2.设函数f(x)Asin(x)(A、、是常数,A0,0),若f(x)在区
2
间[一,一]上具有单调性,且f
(一)f(——)f
(一),则f(x)的最小正周期为()
62236
A.B.2C.3D.4
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据fx在一,—具有单调性,且f
62
2
-,可求出函数的对称轴,
3
再根据f—
2
f一求出函数的对称中心,6
最后根据
-,-具有单调性和相邻的
62
对称轴和对称中心的距离是T求最小正周期.
4
【详解】
一具有单调性,且
2
x关于x
7
12
对称,
T
2
7
12
故选:
A
的对称中心为
的最小正周期为
—,0,
3
本题考查根据三角函数的单调性求函数的最小正周期,
属于中档题型,意在考查数形结
合解决三角函数性质问题,正弦(型)函数既是中心对称又是轴对称图象,相邻的对称
轴间的距离是半个周期,相邻的对称轴和对称中心的距离是
4
所给特殊函数值的关系可得到对称关系,从而得到函数的最小正周期
T,那么根据单调区间和
3.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,函数f(x)是定义在R上的单调递增的奇
函数,数列{f(an)}的前n项和为Sn,对于命题:
①若数列{an}为递增数列,则对一切nN*,Sn0;
②若对一切nN*,Sn0,则数列{an}为递增数列;
③若存在mN,使得Sm0,则存在kN*,使得ak0;
…
O
…
…
…
…线
…
…
…
…
O
…
…
…
…线
…
…
…
…
O
…
…
X题
X
…
O
…
…
……
X答
X
……
订…
X内
X
订…
…
X线X
…
…
O
X订XX谢
…
O
………
衣XX在X
………
…
装
X要X
…
装
……
X不X
……
…
…
O
…
X请X
…
…
O
…
…
…
…内…
…
…
…
O
…
…
…
…外
…
…
…
…
O
…
……
…
…
O
…
…
…
…线
…
…
1
……
…
…
O
…
…
…
…线
…
…
…
…
O
……
…
…
…
O
……
…
…订
……
…
号考
:
…订
……
…
O…
…
…
…
级班
O…
…
…
…
装…
…
…
…
O…
…
名姓
核学
装…
…
…
…
O…
…
……外
………
…
O
……
…
…内
…
…
…
…
O
…
…
④右存在kN,使得ak0,则存在
其中正确命题的个数为(
A.1
B.2
【解析】
【分析】
*
N,使信Sm
C.3
【详解】
①令ai
0,faif
00,Si
fai
②对一切
nN,Sn0
,则f(ai)0,
又因为
所以ai
0,若{an}递减,
设ak0,aki
0,且
S2ki
f(ai)f(a2)...
f(ak)f(ak
i)...
逐一分析选项,得到正确答案
f(x)是R上的单调递增的奇函数,
且ai
a2kia2a2k...2aki
0,所以ai
f(ai)
S2ki
f(a2ki),f(a2)
f(a2k),…,f(ak)
f(ai)f(a2)…
f(ak)f(aki)…
{an}递增,
故②正确;
S2fa
错误;
④因为ak
所以设
则f(a1)
则S2ki
得Sm0
故选:
B.
0;
D.4
0故①错;
f(a2k1),
a2ki,a2
f(ak2),
f(a2ki)
a2k,...,akak2,则
0,与题设矛盾,所以
i,d2,工
fa2f
2n
i,
Sm
0,但是an2n30,故③
0,所以aia2ki
a2
a2k2
2ak
0,
a2ki,a2a2k2,...,aki
f(a2ki),f(a2)
f(ai)f(a2)...
本题考查函数与数列的综合问题,
aki,
f(a2k
f(ak)
2),...,f(aki)
f(aki),
f(aki)...f(a2ki)0,则存在mN,使
属于难题,意在考查利用数列和函数的性质推理,证
明,如果比较难的存在性证明,可以举反例说明不成立
…
•••
•••
•••
•••
•••
O
…
•••
•••
•••
线
•••
•••
•••
…
O
…
…
•••
•••
线
•••
•••
•••
•••
O
…
•••
X题
X
•••
O
…
•••
•••
•••
X答
X
•••
•••
订…
X内
X
订…
•••
X线X
•••
•••
O
X订X
X牯
•••
O
…
•••
•••
衣XX在X
…
•••
•••
•••
装
X要X
•••
装
…
•••
X不X
…
•••
•••
•••
O
…
X请X
•••
•••
O
…
•••
•••
•••
内
…
•••
•••
•••
O…
•••
•••
•••
1
•••
•••
•••
外
…
•••
•••
•••
O
…
•••
•••
•••
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
4.不等式
【答案】
x15的解集为
6,4
【解析】
【分析】
将不等式艾为5x
15,解不等式得到结果
【详解】
x15
5
x156x4
本题正确结果:
6,4
【点睛】
本题考查绝对值不等式的求解,属于基础题.
5.实数2和8的等比中项是.
【答案】4
【解析】
所求的等比中项为:
284.
6.已知函数f(x)2x1的反函数是f1(x),则f
【答案】3
【解析】
设f15t,则ft5
即2t15
t3
f153
故答案为:
3
7.在等差数列an中,a12,a3%10,则1
【答案】8
1(5)
【详解】
设等差数列an的公差为
贝Ua3a5a1a7
2al
6d10,
所以a710
ai102
8,故答案为8.
万)
根据诱导公式可知
sin
cos
sin
cos
故答案为:
本题考查根据诱导公式求值,
属于简单题型
9.已知函数fx为奇函数,且当x0时,fx
21
x一,则f1x
在XX要XX不XX请X
10.已知logab
1,则a4b的最小值为
首先根据指对互化,
表示为ab1,再利用基本不等式求最小值
logab1
1
b,a0,且a1,b0,
即ab1
函数f
x
的定义域是
0,,
并且函数是单调递增函数,
f1
a
fa0
f1a
fa
1
a
0
a
0
解得:
1
0a
2
1
a
a
故答案为:
0,1.2
a4b2J4ab4Vab4,
等号成立的条件是a4b,
1
又因为ab1,解得a2,b-.
2
故答案为:
4.
【点睛】
本题考查指对互化,和基本不等式求最值,意在考查转化和计算能力,属于简单题型
11.设f(x)lgx,若f(1a)f(a)0,则实数a的取值范围为.
…1
【答案】(0,-)2
【解析】
【分析】
首先判断函数的定义域和单调性,不等式等价于f1afa,利用函数性质解不
等式.
【详解】
【点睛】
本题考查根据函数的性质解抽象不等式,意在考查函数基本性质简单应用,解抽象不等
式时,需注意函数的定义域.
12.若数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且满足:
a1a2019,bb20192,
a〔oo9aion.
函数f(x)sinx,则f(-一-一-一)
1bl009bl011
【答案】立
2
【解析】
【分析】
根据等差,等比数列的几何性质,可求得
a1009a1011ala2019
bl009b1011blb20192,代入求值
Qan是等差数列,
a1009a1011ala2019
Qbn是等比数列,
blb2019bl009b10112,
a1009a1011
b1009b1011
a1009a10113
ff—sin———.
1bl009bl011332
故答案为:
2f.
2
【点睛】
本题考查等差和等比数列的几何性质,意在考查基础知识的掌握水平,属于基础题型.
1,
13.已知函数f(x)sinx(x[0,])和函数g(x)—tanx的图象交于A,B,C三点,2
则ABC的面积为.
“3
【答案】_2_
4
【解析】
【分析】
画出两个函数图像,求出三个交点的坐标,由此计算出三角形的面积^
【详解】
画出两个函数图像如下图所示,
由图可知A
y
0,0,c砥0,对于b点,由
y
sinx
1
一tanx
2
解得B3,苧,所以Sabc32
.3
花—
2
订
本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像,考查三角函数图像交点坐标的求法,考查
三角函数面积公式,属于中档题.
14.已知函数f(x)|2x1|a,若存在实数Xi、X2(XiX2),使得f(xjf(X2)1,
则实数a的取值范围为.
【答案】1a2
【解析】
【分析】
首先令2X1a1,转化为a2X11,根据f(/)f区)1,可知转化为
y2和丫2X11的交点个数求参数的取值范围.
【详解】
当fX1,即2X1a1
即a2X11,
/X
转化为y2与丫211有两个交点,
如图,
由图象可知当1a2时图象有两个交点
故答案为:
1a2.
【点睛】
般判断函数零点个数或是根据零点个数求参数取值范围,个数.
都可以转化成两个函数的交点
15.设数列an满足a11,22.
4,a3
9,an
an1
an2an3n
4,32019
【答案】8073
【解析】
【分析】
对n分奇偶讨论求解即可
【详解】
当n为偶数时,anan1an2
an3L
a2
a1
3
当n为奇数时,anan1an2
an3L
a3
a2
5
故当n为奇数时,
an=anan1+an1an2+L+a2
a1+a1
5
n
2
-3
n1)
14n
2
3
故a20194201938073
本题考查根据函数的零点个数求参数取值范围,意在考查数形结合分析问题的能力,
故答案为8073
【点睛】
本题考查数列递推关系,
考查分析推理能力,又n分奇偶讨论发现规律是解决本题的关
键,是难题
16.函数f(x)sinx(0)的图像与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次
记为Ai,A2,A3,,An,,在点列{An}中存在三个不同的点Ak、A、Ap,
…
o
…
…
…
…
线
………
…
O
…
…
X题
X
……
X答
X
订…
X内
X
…
X线
X
…
O
X订
XX谢
………
衣XX在X
…
装
X要X
……
X不
X
…
…
O
…
X请
X
…
…
…内…
…
…
…
O
…
使得^AkAiAp是等腰直角三角形,将满足上述条件的
值从小到大组成的数列记为
{n},贝U2020
4039
2
nn
首先求函数与对称轴的交点,An————,1
2
,根据人AAp为等腰直角三角形,
且k1p,此等腰直角三角形斜边的高是2,底边长为4,根据交点坐标An表示底
kp4m2,mZ,最后表示
2m1—+
求值.
2
【详解】
函数fx
sin
x
0
x—n
n
Z,
2
解得x——
n
2
n
n
An
1
2
边长,再根据数形结合可知
的对称轴是
AkAAp为等腰直角三角形,且
此等腰直角三角形斜边的高是
2020
2,
1p,
底边长为4,
k4m
4m2
2,m
2m
4
220201
故答案为:
2
4039
2
4039
2
本题考查函数性质的综合运用,意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力,
本题的
一个关键点是根据数形结合分析出pk4m
2,mZ,从而求得m的通项公式.
17.已知无穷等比数列{an}满足:
对任意的n
N*,sinan1,则数列{an}公比q的
取值集合为
【答案】qq4k
1,kZ
【解析】
【分析】
根据条件先得到:
an
的表示,然后再根据{an}
是等比数列讨论公比q的情况.
因为sinan1,所以
an—2k
2
kZ,即an
(4k1)
2
kZ;取{an}连续的
有限项构成数列{bn},不妨令n
(4k1)k
2,
则b2
理」,kZ,且
2
b2
{an},则此时q必为整数;
4k,kZ时,b2
2k(4k
1)
2
4(4k2
2
k)
{an},不符合;
4k
1,k
Z时,
b2
(4k
1)2
2
2_
4(4k2k)1
{an},
符合,
此时公比q
4k
1,k
当q4k
2,k
Z时,
b2
(2k1)(4k
1)
4(4k23k)2
2
{an},不符合;
当q4k
3,k
Z时,
b2
(4k3)(4k
2
1)
4(4k24k)3
2
{an},不符合;
故:
公比q
4k
1,k
本题考查无穷等比数列的公比,难度较难,分析这种抽象类型的数列问题时,经常需要
…
O
…
…
…
…线
…
…
…
…
O
…
…
…
…线
…
…
…
…
O
…
…
X题
X
…
O
…
…
……
X答
X
……
订…
X内
X
订…
…
X线
X
…
…
O
X订
XX谢
…
O
………
衣XX在X
………
…
装
X要X
…
装
……
X不
X
……
…
…
O
…
X请
X
…
…
O
…
…
…
…内…
…
…
…
O
…
…
…
…外
…
…
…
…
O
…
……
…
…
O
……
…
…线
…
……
…
O
……
…
…订
……
……
…
:
号考
…
O
…
…
…
…线
…
…
…
…
O
……
…
…订
…
…
…
…
O
…
…
…
…
:
级班
…
…
O
…
…
…
…
装…
…
…
…
O…
…
名姓
核学
装…
…
…
…
O…
…
……外
………
…
…
内
…
…
…
…
O
…
…
…
O
…
…
进行分类,可先通过列举的方式找到思路,然后再准确分析
n
1
18.已知数列{an}的通项公式an1n2019
2
数列{an}、Sn的极限,下面判断正确的是()
A.数列{an}的极限不存在,
Sn的极限存在
B.数列{an}的极限存在,Sn的极限不存在
C.数列{an}、
D.数列{an}、
分别考虑
因为lim
x
{an}与
an
又limSn
x
列{an}、
故选:
D.
1n2019
n2020
Sn,则关于
Sn
Sn
Sn
的极限均存在,但极限值不相等
的极限均存在,且极限值相等
的极限,然后作比较.
1、n2009lim(-)
x2
0,
lim(aa2...a2019
x
11\n2019\
2(1
(2))
1、n2019r
xim[
(2)]
Sn的极限均存在,且极限值相等,
本题考查数列的极限的是否存在的判断以及计算,难度一般
若是分段数列求和的形式,一定要将多段数列均考虑到
评卷人
得分
三、解答题
19.(本小题满分12分)
在等比数列an中,a23,a581.
⑴求an;
.注意求解s
的极限时,
……
1
……
…
O
…
…
…
…
线
…
…
…
…
O
…
…
X题
X
…
O
…
…
…
…
线
…
…
…
…
O
…
…
……
X答
X
……
订…
X内
X
订…
…
X线X
…
…
O
X订X
X牯
…
O
………
衣XX在X
………
…
装
X要X
…
装
……
X不X
……
…
…
O
…
X请X
…
…
O
…
…
…
…内…
…
…
…
O
…
…
…
…外
…
…
…
…
O
…
(2)设bn10g3an,求数列bn的前n项和Sn.
2
【答案】⑴an3n1.
(2)Snn—n
2
a〔q3
试题分析:
(1)设an的公比为q,依题意得方程组{4
a1q81
a11
解得{,即可写出通项公式
q3
(2)因为bn1og3ann1,利用等差数列的求和公式即得
试题解析:
⑴设an的公比为q,依题意得
{aq3
a1q481
a11
解得{,
q3
因此,an3nl.
(2)因为bn1og3ann1,
所以数列bn的前n项和Snn(b1bn)nL」
22
考点:
等比数列、等差数列.
1
20.已知函数f(x)cosx(sinxcosx)-.
(1)若0—,且sin—,求f()的值;
22
(2)求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)在[0,一]上单调递减区间2
……,1
【答案】
(1)f一
(2)周期为,一「282
【解析】
【分析】
(1)由题意利用同角三角函数的基本关系求得f(a)的值;
(2)利用三角恒等变换,化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性、单调性得出
结论.
【详解】
解:
(1)
所以cos
所以f
(2)f
1sin2
2
2
——sin2x一
24
因为0万,且sin券,
2
.2.2211
22222
x
sinxcosx
cosx
——
1c
一cos2x,
2
x
2
21
当0
再由
x一时,
2
一2x
4
得,
4
4
8
5
4
x—,
2
2
2x-
4
函数f
【点睛】
x在0,
上的递减区间为一,一
82
所以fx的最小正周期为
本题主要考查同角三角函数的基本关系,三角恒等变换,正弦函数的周期性、单调性,属于中档题.
21.如图,某公园有三条观光大道AB、BC、AC围成直角三角形,其中直角边
BC200m,斜边AB400m.
(1)若甲乙都以每分钟100m的速度从点B出发,甲沿BA运动,乙沿BC运动,乙
比甲迟2分钟出发,求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离;
(2)现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点D、E、F,设CEF,乙丙之间的
距离EF是甲乙之间距离DE的2倍,且DEF—,请将甲乙之间的距离DEy表3,
示为的函数,并求甲乙之间的最小距离.
50.3
【答案】
(1)100"m;
(2)
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- 上海市 闵行区 闵行 中学 学年度 高三上 学期 期中 数学试题