微分在近似计算与误差估计中的应用.docx
- 文档编号:11100082
- 上传时间:2023-02-25
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:165.02KB
微分在近似计算与误差估计中的应用.docx
《微分在近似计算与误差估计中的应用.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《微分在近似计算与误差估计中的应用.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
微分在近似计算与误差估计中的应用
微分在近似计算与误差估计中的应用
一、预备知识
1利用一元函数的微分进行近似计算和误差估计
若一元函数y=f(x)在点xo可微,则
Ay=fJ(x0)Ax+O(Ax)f
即f(x0+Ax)-f(x0)=f?
(ko)Ax+O(Ax).
当|Ax|很小时,有
f(xo+Ax)—f(Xo)~f'(xo)Ax
要计算f(x)的值,可找一个邻近于x的Xo,使f(Xo)与f'(xo)易于计算,然后用x代
换⑴式中的Xo+Ax,求得f(x)的近似值为f(Xo)+f'(xo)Ax,其中Ax=x—xo.
2•利用全微分进行近似计算与误差估计
若二元函数z=f(x,y)在点(Xo,yo)可微,则
Az=dz+o(p)
=f'x(xo,yo)Ax+f'y(xo,yo)Ay+0(p)
其中当P充分小时,有
Az~dz=f'x(Xo,yo)Ax+f'y(Xo,yo)Ay
f(xo+Ax,yo+Ay)〜f(Xo,yo)+f'x(xo,yo)Ax+f'x(xo,yo)Ay(3)
若三元函数u=f(x,y,z)在点(Xo,yo,z°)可微,则
Au~du=f'x(xo,yo,Zo)Ax+f'y(xo,yo,Z0)Ay+f'x(Xo,yo,Zo)Az
或
f(Xo+Ax,yo+Ay,z°+Az)〜f(x°,y°,z°)+
f‘工知为,引)△筈+f‘y(x0(y0(孔)Ay
+「r仗q,兀,30)az(4)
3.绝对误差、相对误差
如果某个量的精确值为儿它的近似值为亦称幌-綁是点绝对误差,并称生J是乱的相对误差.
在实际工作中,某个量的精确值往往是无法知道的,于是绝对误差和相对误差也就
无法求得.但是根据测量仪器的精度等因素,有时能够确定误差在某一个范围内,如果某个量的精确值是A,测得它的近似值是a,又知道它的误差不超过3A,即
|A—a|w3A
称y测量昨对误细并称菁是测量址的相对误差限.
二、应用例题
例1求sin29°的近似值.
解sin29"是函数f(x)=sinxSx=29fl吋的值.而sin30"易于计第则令盟°兀
=30"=y,x=x0+As=2?
°,Ax=-fp—0.01乃(弧度L由公式
(1),有
例3为了计算出球的体积准确到超过多少?
1%,问度量球半径R时,所产生的相对误差应不
例2证明:
近似公式
利用上面公式,则
7T
511129°=an(—-00175)
6
K兀
asin—+(cos—)(—0.0175
66
143
=--—X00175
22
V?
=苕+1*2+=2.033,
¥3*23
7100=圉-28~2-厂妄=1.938,
解设f仗)二存,由公式(从有
J1+舒1+命或冶+宀+為
=2-1.732X0.0175
22
=--0.0151«0.485.
2
其中kl与誹目比时,XI为高阶穷小,并用此公式近似计算松与;W.
4
解球体积V二贝IJ
所以度量球半径R时,所产生的相对误差不得超过0.33%.
例4证明:
根据正切对数表所求得的角度,比用具有同样多位小数正弦对数表求得的角度更为精确.
证明设y1(x)=Intanx,y2(x)=Insinx,则
16】鬥切H.
tanXjj
Q兀鬥帆IG丄rii△讣tanHq
若对数表具有n位,则
—IX0.5XW-11secXq
与
|Ax2|<|tanxo|XO.5XlO-n,
于是
|AxJ<|AXj|.
一般来说,根据正切对数表所求得的角度,比用具有同样多位小数的正弦对数表求得的角度更为精确.
例5求1.083.96的近似值.
解设f(x,y)=xy,令Xo=1,yo=4,Ax=0.08,Ay=—0.04,由公式(3),有
1.083.96=f(x0+Ax,y°+Ay)
〜f(1,4)+f'x(1,4)X0.08+f'y(1,4)X(—0.04)
=1+4X0.08+1Xln1X(-0.04)
=1+0.32=1.32
例6现测得某三角形两边及其夹角分别为a=12.50,b=8.30,C=30°.测量a,
b的误差为土0.01,C的误差为土0.1°,求用公式
计算三角形面积时,所产生的绝对误差与相对误差.
解依题意测量a,b,C绝对误差限分别为|Aa=0.01,|Ab|
由公式⑷,有
|ASMdS|=|_Aa+_Ab+_AC|
<|f|A^|f^|+|g||AC|
=HbsiaC||Aa|+HaanC||^b|+|abcosC||Aq
£ww
将各数据代入上式得S的绝对误差为|AS|~0.13•及
⑴碍呗加皿如
从而,S的相对误差为
求方程的近似解,可分两步进行:
第一步是确定根的大致范围,即确定一个区间[a,b],使所求的根是位于这个区间
内的唯一实根,称为根的隔离,并称此区间[a,b]为隔离区间.
第二步是以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值,逐步提高根的近似值的精确度,直至得到满足精确度要求的近似解为止.
1•二分法
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,f(a)•f(b)v0,且方程f(x)=0在(a,b)内仅有个实根E,于是[a,b]即为这个根的一个隔离区间.
不妨设f(a)
若耳¥)工山当f(¥)〉o时,则函数f㈤在闭区间血学]的两个端点的
a+Ua+k
函数值的符号相反I当f(斗)<0时,则函数谑)在闭区间[耳,b]的两个端点的
MW
函数值的符号相反.于是,两个闭区间図孚]与[孚,匕]中必有一个使函数f㈤
在两个端点的函数值的符号相反,将此闭区间表为[%有f(a1)f(b1)<0,且巧
再将[小唧二等分,若f〔玉尹尸°,则“今即为所求的根.若F(咨5)弄0,重复上述做法,于是,两个闭区间血,岁1]与[生学、 %]中必有一个使國数碗)在两个端点的函数值的符号相反,将此闭区间表为[gbj,有fCa3)f(b2)<0,且習 如此重复"次,且前口-1次的分点彌应小闭区间的中点)均不是方程的根,则方程根E£(张%),且%-务二宁・如杲用弧或%作为E的近似值,其误差小于b-a 例7用二分法求方程x3+1.1x2+0.9x—1.4=0的实根的近似值,精确到10-3(即误 差不超过10-3). 解设f(x)=x3+1.1x2+0.9x—1.4,x€R 显然,f(x)在R上连续,可导,且 2 f'(x)=3x2+2.2x+0.9 T> 根据判别式(-)a-AC=1F-3X09=-149 上严格递增,方程f(x)=0仅有一个实根. 由f(0)=—1.4v0与f (1)=1.6>0知,方程f(x)=0的根在[0,1]内,取a=0,b=1,则[0,1]即是一个隔离区间. 经计算,有 E1=0.5,f(E1)=—0.55v0,取a1=0.5,b1=1; E2=0.75,f(E2)=0.32>0,取a2=0.5,b2=0.75; E3=0.625,f(E3)=—0.16v0,取a3=0.625,b3=0.75; E4=0.687,f(E4)=0.062>0,取a4=0.625,b4=0.687; E5=0.656,f(E5)=—0.054v0,取as=0.656,b5=0.687; E6=0.672,f(E6)=0.005>0,取a6=0.656,b=0.672; E7=0.664,f(E7)=—0.025V0,取az=0.664,b7=0.672; E8=0.668,f(E8)=—0.010V0,取a8=0.668,b$=0.672; E9=0.672,f(E9)=—0.002V0,取a9=0.670,b9=0.672; 于是,0.670vEv0.671. 要用0.670作为根的不足近似值,或用0.671作为根过剩近似值,其误差都小于 10-3. 设f(x)在[a,b]上存在二阶导数,f(a)•f(b)v0,且f'(x)与f〃(x)在[a,b]上保持定号,贝【J方程f(x)=0在(a,b)内有且仅有一个实根E.[a,b]即为根的一个隔离区间,由 f'(x)与f〃(x)的正、负号之间有不同的组合,曲线y=f(x)在[a,b]上图形只有如图 所示的四种不同的情形. 2.弦位法 如图.将伍,切上的曲线弧G的两端联成弦AB,用弦AB与盘轴的交点横坐 标作为方程根的近似值,这种方法称为弦位法.如果f'(x)与f〃(x)同号,令x0=a,以点A(x°,f(x。 ))为已知点的弦AB方程为 令y=0,求得这弦与x轴的交点横坐标X1是 xc-a 耳長严) 由图可见,弦AB与x轴的交点的横坐标xi比a(情形(a),(d))或比b(情形(b),(c)) 更接近方程根E.用同样方法,从新区间[xi,b]或[a,xi)出发,可得比xi更接近E的 X2,如此继续下去,一般地,从区间[xn-1,b]或[a,xn-1]出发,得根的近似值为 b一盟皆i J—jf®—f(g)F(gJ 或 J】FgJ-吃)^2) (4) 当nf*时,xnfE,其中满足⑶近似根数列,有 avx1vx2v…vxn<••• 满足(4)式的近似根数列,有 Ev…vxnvxn-1v…vX2 在区间[xn,E]或[E,xn]上应用拉格朗日定理,有 f(xn)=f(xn)-f(E)=(xn-E)f'(c)(在xn与E构成区间内) i殳rmn|f;(x)|3由mC|fy(c)|,则 x m 这样,由(5)式就可判定近似根xn与E近似程度. 例8用弦切法求方程x3—2x2—4x—7=0的实根的近似值,精确到10-2. 解设-4x-7,由f(3)--10<0,f(4)=9>0,且VxE(3,4)』有 f'(x)=3x3—4x—4>0, 则方程F仗)=0在[3,4]内仅有一个实根,[3,4]即是一个隔离区间’且m二 XVxE(3,4)P有广0=6盟-4〉0,令矶二玉b=4.由⑴式,有 七厂諾為叭) 4—3 =3_f(4)-f(3)ft35 ^3.52 令xi=3.52,由⑴式,有 同法可得 显然f(x)v0,i=1,2,3,所以x0vX! vx2vx3vE. 由误差估计公式,有 3630<^<3634. 于是,以3.63作为根的近似值,其误差小于10-2. 例9用弦切法求方程x—O.lsinx—2=0的实根近似值,精确到10-3. 解f(x)=x—O.lsinx—2,x€R f'(x)=1—0.1cosx>0 故函数F(刃在R上严格递増,又hmf(对二+8,^0)=-2,所以方程f(x)=0<唯一正实根. 由f (2)=—O.lsin2=—0.1X0.9093=—0.0904V0, f(2.1)=0.1X(1—sin2.1)=0.1X0.1368=0.00137>0, 故唯一正实根在区间(2,2.1)内,且Vx€[N2.1],有 f"(x)=—0.1sinx>0 与f'(x)同号,令X1=2,由⑴式,有 从而哄)=0.0868—0.1sin2.0868 p—0.0002V0 于是,方程的根E€(2.0868,2.0870).其误差不超过10 3•切线法 如图,用曲线弧一端的切线来代替曲线弧,从而求出方程实根的近似值,这种方法称为切线法•在曲线弧的端点纵坐标与f〃(x)同号的曲线端点处作曲线的切线,如图, 情形(a),(d)作点B处(情形(b),(c)作点A处)的曲线切线.令x°=b(x°=a),则点 B(xo,f(Xo)(A(xo,f(xo))处曲线切线方程为 y—f(xo)=f(xo)(x—xo) 令y=o,求得这切线与x轴交点横坐标Xi是 由图可见,端点B处(A处)的曲线切线与x轴交点的横坐标xi比b(情形(a),(d))或a(情形(b),(c))更接近方程根E. 再在点(xi,f(xi)作切线,可得根的近似值X2,如此继续下去,一般地,在点 (xn-1f(xn-1)作切线,得根的近似值为 -3 1o. 例10用切线法求方程x3+i.ix2+o.9x—1.4=o的实根的近似值,精确到 解+llx3+0.9x-14,由例7知[0,,1)是根的一个隔离区间*D1],有 f'(x)=3x2+2.2x+o.9>o f〃(x)=6x+2.2>o. 由f(o)vo,f (1)>o,则f〃(x)与f (1)同号,令xo=1,由⑹式,有 同法可得 出现此种情形,不能再继续算下去.显然,f(xj(i=1,2,…)与f〃(x)同号,即f(0.671)>0,经计算知f(0.670)V0,于是,有 0.670vEV0.671 以0.670或0.671作为根的近似值,其误差都小于10-3.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 微分 近似 计算 误差 估计 中的 应用
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)