人教版七年级数学上思维特训二十一含答案角的运动问题.docx

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人教版七年级数学上思维特训二十一含答案角的运动问题

思维特训（二十一）　角的运动问题

方法点津·

角的运动主要包括角的旋转、折叠以及三角尺的旋转．

解决策略：

在某一时刻，利用角的位置（大小），建立方程求解，或借助整体思想、分类讨论思想、数形结合思想进行探究与求解．

典题精练·

类型一　角的折叠

1．

（1）如图21－S－1①，OC是∠AOB内的一条射线．将OB，OA向∠AOB内部翻折，使射线OA，OB都与射线OC重合，折痕分别为OE，OF，∠EOF＝25°，求∠AOB的度数；

（2）如图②，∠MON＝20°，OC是∠MON内部的一条射线，第一次操作分为两个步骤：

第一步：

将OC沿OM向∠MON外部翻折，得到OM1，第二步：

将OC沿ON向∠MON外部翻折，得到ON1；第二次操作也分为两个步骤：

第一步：

将OC沿OM1向∠MON外部翻折，得到OM2；第二步：

将OC沿ON1向∠MON外部翻折，得到ON2；…依此类推，在第________次操作的第________步恰好第一次形成一个周角，并求∠MOC的度数．

图21－S－1

类型二　射线的旋转

2．如图21－S－2，已知∠AOB＝90°，射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度按顺时针方向旋转；同时，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度按逆时针方向旋转．当OC与OA成180°角时，OC与OD同时停止旋转．

（1）当OC旋转10秒时，∠COD＝________°；

（2）当OC与OD的夹角是30°时，求旋转的时间；

（3）当OB平分∠COD时，求旋转的时间．

图21－S－2

3．如图21－S－3，已知∠AOB＝20°，∠AOE＝100°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE.

（1）求∠COD的度数；

（2）若以O为观察中心，OA为正东方向，则射线OD的方向角是____________；

（3）若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°、每秒3°的速度，同时绕点O逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过几秒，∠AOE＝42°？

图21－S－3

类型三　角的旋转

4．如图21－S－4①，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB＝150°，∠COD＝30°，射线OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC.

（1）求∠MON的度数；

（2）如图②，若∠AOC＝15°，将∠COD绕点O以每秒x°的速度逆时针旋转10秒，此时∠AOM＝

∠BON，如图③所示，求x的值．

图21－S－4

类型四　三角尺的旋转

5．将一副三角尺如图21－S－5①所示摆放在直线AD上（三角尺OBC和三角尺MON，∠OBC＝90°，∠BOC＝45°，∠MON＝90°，∠MNO＝30°），保持三角尺OBC不动，将三角尺MON绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒．

（1）当t＝________时，OM平分∠AOC，如图②，此时∠NOC－∠AOM＝________；

（2）继续旋转三角尺MON，如图③，使得OM，ON同时在直线OC的右侧，猜想∠NOC与∠AOM有怎样的数量关系，并说明理由；

（3）若在三角尺MON开始旋转的同时，另一个三角尺OBC也绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当OM旋转至射线OD上时同时停止（自行画图分析）．

①当t＝________时，OM平分∠AOC?

②请直接写出在旋转过程中，∠NOC与∠AOM的数量关系．

图21－S－5

6．O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一块三角尺的直角顶点放在点O处．

（1）如图21－S－6①，将三角尺MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝________；

（2）如图②，将三角尺MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数；

（3）将三角尺MON绕点O逆时针旋转至图③的位置时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数．

图21－S－6

详解详析

1．解：

（1）因为将OB，OA向∠AOB内部翻折，使射线OA，OB都与射线OC重合，折痕分别为OE，OF，∠EOF＝25°，

所以∠AOB＝2∠COE＋2∠COF＝2（∠EOC＋∠COF）＝50°.

（2）在第五次操作的第一步恰好第一次形成一个周角．设∠MOC＝x°，

则16×20°＋16x°＝360°，解得x＝2.5，

所以∠MOC＝2.5°.

2．解：

（1）因为射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度按顺时针方向旋转，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度按逆时针方向旋转，

所以当OC旋转10秒时，∠COD＝90°－4°×10－1°×10＝40°，故答案为：

40.

（2）设旋转t秒时，OC与OD的夹角是30°.

如图①，则4t＋t＝90－30，解得t＝12；

如图②，则4t＋t＝90＋30，解得t＝24.

综上所述，旋转的时间是12秒或24秒．

（3）如图③，设旋转m秒时，OB平分∠COD，

则4m－90＝m，解得m＝30，

故旋转的时间是30秒．

3．解：

（1）因为∠AOB＝20°，∠AOE＝100°，

所以∠EOB＝∠AOE－∠AOB＝80°.

又因为OB平分∠AOC，OD平分∠AOE，

所以∠AOC＝2∠AOB＝40°，

∠AOD＝

∠AOE＝50°，

所以∠COD＝∠AOD－∠AOC＝50°－40°＝10°.

（2）由

（1）知∠AOD＝50°，

所以射线OD的方向角为北偏东40°.

（3）设经过x秒，∠AOE＝42°，则

3x－5x＋100＝42或5x－（3x＋100）＝42，

解得x＝29或x＝71.

即经过29秒或71秒，∠AOE＝42°.

4．解：

（1）因为∠AOB＝150°，∠COD＝30°，OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC，

所以∠MON＝∠MOD＋∠NOC－∠COD＝

（∠AOD＋∠BOC）－∠COD＝

（∠AOB＋∠COD）－∠COD＝60°.

（2）由题意，得∠BOD＝105°－10x°，∠AOC＝15°＋10x°，

所以∠BOC＝135°－10x°，∠AOD＝45°＋10x°.

又因为∠AOM＝

∠BON，且OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC，

所以∠AOD＝

∠BOC，

即45°＋10x°＝

（135°－10x°），解得x＝2.5.

5．解：

（1）因为∠AOC＝45°，OM平分∠AOC，

所以∠AOM＝

∠AOC＝22.5°，

所以t＝2.25.

因为∠MON＝90°，∠MOC＝22.5°，

所以∠NOC－∠AOM＝∠MON－∠MOC－∠AOM＝45°.故答案为2.25，45°.

（2）∠NOC－∠AOM＝45°.

理由：

因为∠AON＝90°＋（10t）°，

所以∠NOC＝90°＋（10t）°－45°＝45°＋（10t）°.

因为∠AOM＝（10t）°，

所以∠NOC－∠AOM＝45°.

（3）①如图，因为∠AOB＝（5t）°，

所以∠AOC＝45°＋（5t）°.

因为OM平分∠AOC，

所以∠AOM＝

∠AOC，

而∠AOM＝（10t）°，

所以10t＝

（45＋5t），

解得t＝3.

②∠NOC－

∠AOM＝45°.

理由：

因为∠AOB＝（5t）°，∠AOM＝（10t）°，

∠MON＝90°，∠BOC＝45°，

所以∠AON＝90°＋∠AOM＝90°＋（10t）°，

∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋（5t）°，

所以∠NOC＝∠AON－∠AOC＝90°＋（10t）°－45°－（5t）°＝（5t）°＋45°，

所以∠NOC－

∠AOM＝45°.

6．解：

（1）因为∠MON＝90°，∠BOC＝65°，

所以∠MOC＝∠MON－∠BOC＝90°－65°＝25°.

（2）因为∠BOC＝65°，OC是∠MOB的平分线，

所以∠MOB＝2∠BOC＝130°.

所以∠BON＝∠MOB－∠MON＝130°－90°＝40°.

所以∠CON＝∠BOC－∠BON＝65°－40°＝25°.

（3）因为∠BOC＝65°，

所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝180°－65°＝115°.

因为∠MON＝90°，

所以∠AOM＋∠NOC＝∠AOC－∠MON＝115°－90°＝25°.

又因为∠NOC＝∠AOM，

所以2∠NOC＝25°.

所以∠NOC＝12.5°.

所以∠NOB＝∠NOC＋∠BOC＝77.5°.