湖南省怀化市中考数学试题及解析.docx
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湖南省怀化市中考数学试题及解析
湖南省怀化市中考数学试卷(2015)
一、选择题(每小题4分,共40分;每小题的四个选项中只有一项是正确的,请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上)
1.某地一天的最高气温是12℃,最低气温是2℃,则该地这天的温差是( )
A.
﹣10℃
B.
10℃
C.
14℃
D.
﹣14℃
2.下列计算正确的是( )
A.
x2+x3=x5
B.
(x3)3=x6
C.
x•x2=x2
D.
x(2x)2=4x3
3.体育课上,某班两名同学分别进行了5次短跑训练,要判断哪一位同学的成绩比较稳定,通常要比较两名同学成绩的( )
A.
平均数
B.
方差
C.
众数
D.
中位数
4.下列不等式变形正确的是( )
A.
由a>b得ac>bc
B.
由a>b得﹣2a>﹣2b
C.
由a>b得﹣a<﹣b
D.
由a>b得a﹣2<b﹣2
5.下列事件是必然事件的是( )
A.
地球绕着太阳转
B.
抛一枚硬币,正面朝上
C.
明天会下雨
D.
打开电视,正在播放新闻
6.一个多边形的内角和是360°,这个多边形是( )
A.
三角形
B.
四边形
C.
六边形
D.
不能确定
7.设x1,x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根,则x12+x22的值是( )
A.
19
B.
25
C.
31
D.
30
8.下列各点中,在函数y=﹣
图象上的是( )
A.
(﹣2,4)
B.
(2,4)
C.
(﹣2,﹣4)
D.
(8,1)
9.如图,甲、乙、丙图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数.其中主视图相同的是( )
A.
仅有甲和乙相同
B.
仅有甲和丙相同
C.
仅有乙和丙相同
D.
甲、乙、丙都相同
10.一次函数y=kx+b(k≠0)在平面直角坐标系内的图象如图所示,则k和b的取值范围是( )
A.
k>0,b>0
B.
k<0,b<0
C.
k<0,b>0
D.
k>0,b<0
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.二次函数y=x2+2x的顶点坐标为 ,对称轴是直线 .
12.分解因式:
ax2﹣ay2= .
13.方程
=0的解是 .
14.如图,在正方形ABCD中,如果AF=BE,那么∠AOD的度数是 .
三、解答题(本大题共8小题,共64分)
15.计算:
.
16.解不等式组:
,并把它的解集在数轴上表示出来.
17.已知:
如图,在△ABC中,DE、DF是△ABC的中位线,连接EF、AD,其交点为O.求证:
(1)△CDE≌△DBF;
(2)OA=OD.
18.小明从今年1月初起刻苦练习跳远,每个月的跳远成绩都比上一个月有所增加,而且增加的距离相同.2月份,5月份他的跳远成绩分别为4.1m,4.7m.请你算出小明1月份的跳远成绩以及每个月增加的距离.
19.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,AB=2
(1)求作⊙O,使它过点A、B、C(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)在
(1)所作的圆中,求出劣弧
的长l.
20.甲乙两人玩一种游戏:
三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1,2,3,现将标有数字的一面朝下,洗匀后甲从中任意抽取一张,记下数字后放回;又将卡片洗匀,乙也从中任意抽取一张,计算甲乙两人抽得的两个数字之积,如果积为奇数则甲胜,若积为偶数则乙胜.
(1)用列表或画树状图等方法,列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况;
(2)请判断该游戏对甲乙双方是否公平?
并说明理由.
21.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是BC的中点,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,连接DE
(1)求证:
△ABC∽△CBD;
(2)求证:
直线DE是⊙O的切线.
22.如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P以每秒1个单位的速度从A向C运动,同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动,它们到C点后都停止运动,设点P,Q运动的时间为t秒.
(1)在运动过程中,求P,Q两点间距离的最大值;
(2)经过t秒的运动,求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式;
(3)P,Q两点在运动过程中,是否存在时间t,使得△PQC为等腰三角形?
若存在,求出此时的t值;若不存在,请说明理由(
≈2.24,结果保留一位小数)
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题4分,共40分;每小题的四个选项中只有一项是正确的,请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上)
1.某地一天的最高气温是12℃,最低气温是2℃,则该地这天的温差是( )
A.
﹣10℃
B.
10℃
C.
14℃
D.
﹣14℃
解答:
解:
12﹣2=10℃.
故选:
B.
2.下列计算正确的是( )
A.
x2+x3=x5
B.
(x3)3=x6
C.
x•x2=x2
D.
x(2x)2=4x3
解答:
解:
A、原式不能合并,错误;
B、原式=x9,错误;
C、原式=x3,错误;
D、原式=4x3,正确,
故选D
3.体育课上,某班两名同学分别进行了5次短跑训练,要判断哪一位同学的成绩比较稳定,通常要比较两名同学成绩的( )
A.
平均数
B.
方差
C.
众数
D.
中位数
解答:
解:
由于方差能反映数据的稳定性,需要比较这两名学生了5次短跑训练成绩的方差.
故选B.
4.下列不等式变形正确的是( )
A.
由a>b得ac>bc
B.
由a>b得﹣2a>﹣2b
C.
由a>b得﹣a<﹣b
D.
由a>b得a﹣2<b﹣2
解答
解:
∵a>b,
∴①c>0时,ac>bc;②c=0时,ac=bc;③c<0时,ac<bc,
∴选项A不正确;
∵a>b,
∴﹣2a<﹣2b,
∴选项B不正确;
∵a>b,
∴﹣a<﹣b,
∴选项C正确;
∵a>b,
∴a﹣2>b﹣2,
∴选项D不正确.故选:
C.
5.下列事件是必然事件的是( )
A.
地球绕着太阳转
B.
抛一枚硬币,正面朝上
C.
明天会下雨
D.
打开电视,正在播放新闻
解答:
解:
A、地球绕着太阳转是必然事件,故A符合题意;
B、抛一枚硬币,正面朝上是随机事件,故B不符合题意;
C、明天会下雨是随机事件,故C不符合题意;
D、打开电视,正在播放新闻是随机事件,故D不符合题意;
故选:
A.
6.一个多边形的内角和是360°,这个多边形是( )
A.
三角形
B.
四边形
C.
六边形
D.
不能确定
解答:
解:
设这个多边形的边数为n,
则有(n﹣2)180°=360°,
解得:
n=4,
故这个多边形是四边形.
故选:
B.
7.设x1,x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根,则x12+x22的值是( )
A.
19
B.
25
C.
31
D.
30
解答:
解:
∵x1,x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根,
∴x1+x2=﹣5,x1x2=﹣3,
∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=25+6=31.
故选:
C.
8.下列各点中,在函数y=﹣
图象上的是( )
A.
(﹣2,4)
B.
(2,4)
C.
(﹣2,﹣4)
D.
(8,1)
解答:
解:
∵反比例函数y=﹣
中,k=﹣8,
∴只需把各点横纵坐标相乘,结果为﹣8的点在函数图象上,
四个选项中只有A选项符合.
故选A.
9.如图,甲、乙、丙图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数.其中主视图相同的是( )
A.
仅有甲和乙相同
B.
仅有甲和丙相同
C.
仅有乙和丙相同
D.
甲、乙、丙都相同
解答:
解:
根据分析可知,甲的主视图有2列,每列小正方数形数目分别为2,2;乙的主视图有2列,每列小正方数形数目分别为2,1;丙的主视图有2列,每列小正方数形数目分别为2,2;
则主视图相同的是甲和丙.
故选:
B.
10.一次函数y=kx+b(k≠0)在平面直角坐标系内的图象如图所示,则k和b的取值范围是( )
A.
k>0,b>0
B.
k<0,b<0
C.
k<0,b>0
D.
k>0,b<0
解答:
解:
∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限,
∴k<0,b>0.
故选C.
二、填空题(每小题4分,共16分)
11.二次函数y=x2+2x的顶点坐标为 (﹣1,﹣1) ,对称轴是直线 x=﹣1 .
解答:
解:
∵y=x2+2x=(x+1)2﹣1,
∴二次函数y=x2+4x的顶点坐标是:
(﹣1,﹣1),对称轴是直线x=﹣1.
故答案为:
(﹣1,﹣1),x=﹣1.
12.分解因式:
ax2﹣ay2= a(x+y)(x﹣y) .
解答:
解:
ax2﹣ay2,
=a(x2﹣y2),
=a(x+y)(x﹣y).
故答案为:
a(x+y)(x﹣y).
13.方程
=0的解是 x=﹣2 .
解答:
解:
去分母得:
2+2x﹣x=0,
解得:
x=﹣2,
经检验x=﹣2是分式方程的解.
故答案为:
x=﹣2.
14.如图,在正方形ABCD中,如果AF=BE,那么∠AOD的度数是 90° .
解答:
解:
由ABCD是正方形,得
AD=AB,∠DAB=∠B=90°.
在△ABE和△DAF中
,
∴△ABE≌△DAF,
∴∠BAE=∠ADF.
∵∠BAE+∠EAD=90°,
∴∠OAD+∠ADO=90°,
∴∠AOD=90°,
故答案为:
90°.
三、解答题(本大题共8小题,共64分)
15.计算:
.
解答:
解:
原式=
﹣1+4×
﹣2﹣1+3=
+1.
16.解不等式组:
,并把它的解集在数轴上表示出来.
解答:
解:
由①得,x≤2,
由②得,x>﹣1,
故此不等式组的解集为:
﹣1<x≤2.
在数轴上表示为:
17.已知:
如图,在△ABC中,DE、DF是△ABC的中位线,连接EF、AD,其交点为O.求证:
(1)△CDE≌△DBF;
(2)OA=OD.
解答:
证明:
(1)∵DE、DF是△ABC的中位线,
∴DF=CE,DF∥CE,DB=DC.
∵DF∥CE,
∴∠C=∠BDF.
在△CDE和△DBF中
,
∴△CDE≌△DBF(SAS);
(2)∵DE、DF是△ABC的中位线,
∴DF=AE,DF∥AE,
∴四边形DEAF是平行四边形,
∵EF与AD交于O点,
∴AO=OD
18.小明从今年1月初起刻苦练习跳远,每个月的跳远成绩都比上一个月有所增加,而且增加的距离相同.2月份,5月份他的跳远成绩分别为4.1m,4.7m.请你算出小明1月份的跳远成绩以及每个月增加的距离.
解答:
解:
设小明1月份的跳远成绩为xm,则
4.7﹣4.1=3(4.1﹣x),
解得x=3.9.
则每个月的增加距离是4.1﹣3.9=0.2(m).
答:
小明1月份的跳远成绩是3.9m,每个月增加的距离是0.2m.
19.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,AB=2
(1)求作⊙O,使它过点A、B、C(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)在
(1)所作的圆中,求出劣弧
的长l.
解答:
解:
(1)如图所示:
(2)∵AC=1,AB=2,
∴∠B=30°,∠A=60°,
∴∠BOC=120°,
∴l=
=
20.甲乙两人玩一种游戏:
三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1,2,3,现将标有数字的一面朝下,洗匀后甲从中任意抽取一张,记下数字后放回;又将卡片洗匀,乙也从中任意抽取一张,计算甲乙两人抽得的两个数字之积,如果积为奇数则甲胜,若积为偶数则乙胜.
(1)用列表或画树状图等方法,列出甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况;
(2)请判断该游戏对甲乙双方是否公平?
并说明理由.
解答:
解:
(1)列表如下:
1
2
3
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
所有等可能的情况有9种,分别为(1,1);(1,2);(1,3);(2,1);(2,2);(2,3);(3,1);(3,2);(3,3),
则甲乙两人抽得的数字之积所有可能出现的情况有1,2,3,2,4,6,3,6,9,共9种;
(2)该游戏对甲乙双方不公平,理由为:
其中积为奇数的情况有4种,偶数有5种,
∴P(甲)<P(乙),
则该游戏对甲乙双方不公平.
21.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是BC的中点,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,连接DE
(1)求证:
△ABC∽△CBD;
(2)求证:
直线DE是⊙O的切线.
解答:
(1)证明:
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠BDC=90°,
又∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠BDC,
又∵∠B=∠B,
∴△BCD∽△BAC;
(2)连结DO,如图,
∵∠BDC=90°,E为BC的中点,
∴DE=CE=BE,
∴∠EDC=∠ECD,
又∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°,
∴∠EDC+∠ODC=90°,即∠EDO=90°,
∴DE⊥OD,
∴DE与⊙O相切.
22.如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P以每秒1个单位的速度从A向C运动,同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动,它们到C点后都停止运动,设点P,Q运动的时间为t秒.
(1)在运动过程中,求P,Q两点间距离的最大值;
(2)经过t秒的运动,求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式;
(3)P,Q两点在运动过程中,是否存在时间t,使得△PQC为等腰三角形?
若存在,求出此时的t值;若不存在,请说明理由(
≈2.24,结果保留一位小数)
解答:
解:
(1)如图1,过Q作QE⊥AC于E,连接PQ,
∵∠C=90°,
∴QE∥BC,
∴△ABC∽△AQE,
∴
,
∵AQ=2t,AP=t,
∵∠C=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=10,
∴
,
∴PE=
,QE=
,
∴PQ2=QE2+PE2,
∴PQ=
t,
当Q与B重合时,PQ的值最大,
∴当t=5时,PQ的最大值=3
;
(2)如图1,△ABC被直线PQ扫过的面积=S△AQP,
当Q在AB边上时,S=
AP•QE=
t•
=
,(0<t≤5)
当Q在BC边上时,△ABC被直线PQ扫过的面积=S四边形ABQP,
∴S四边形ABQP=S△ABC﹣S△PQC=
×8×6﹣
(8﹣t)•(16﹣2t)=﹣t2+16t﹣40,(5<t≤8);
∴经过t秒的运动,△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式:
S=
或S=﹣t2+16t﹣40.
(3)存在,如图2,连接CQ,PQ,
由
(1)知QE=
,CE=AC﹣AE=8﹣
,PQ=
t,
∴CQ=
=
=
=2
,
①当CQ=CP时,
即:
2
=8﹣t,
解得;t=
,
②当PQ=CQ时,
即;
t=2
,
解得:
t=
,t=
(不合题意舍去),
③当PQ=PC时,
即
t=8﹣t,
解得:
t=3
﹣5≈1.7;
综上所述:
当t=
,t=
,t=1.7时,△PQC为等腰三角形.
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