安徽省阜阳市颍上县二中学年高二上学期期中考试数学理试题 Word版含答案.docx
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安徽省阜阳市颍上县二中学年高二上学期期中考试数学理试题Word版含答案
颍上县二中2020-2021学年高二上学期期中考试
数学(理)试卷
时间:
120分钟满分:
150分
一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)
1.已知,是两条不同的直线,,,,是三个不同的平面,下列命题中正确的是().
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
2.下列叙述错误的是().
A.若事件发生的概率为,则
B.互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件
C.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
D.5张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,则乙与甲中奖的可能性相同
3.过点和的直线方程是().
A.B.C.D.
4.从中随机选取一个数为,从中随机选取一个数为,则的概率是().
A.B.C.D.
5.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为().
A.B.C.D.
6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为().
A.B.C.D.4
7.下列说法中正确的是().
A.用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B.两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.棱台的底面是两个相似的正方形
D.棱台的侧棱延长后必交于一点
8.已知,,,若,,,四点共面,则().
A.9B.-9C.-3D.3
9.如图,正三棱柱中,各棱长都相等,则二面角的平面角的正切值为().
A.B.C.1D.
10.若向量,,且与夹角的余弦值为,则等于().
A.B.C.或D.2
11.已知三棱锥中,,,,则该三棱锥的外接球的表面积为().
A.B.C.D.
12.在正四面体体积为,现内部取一点,则的概率为().
A.B.C.D.
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.已知向量,,且,则的值为.
14.某城市有甲、乙两种报纸供市民订阅,记事件为“只订甲报纸”,事件为“至少订一种报纸”,事件为“至多订一种报纸”,事件为“不订甲报纸”,事件为“一种报纸也不订”.下列命题正确的是.
①与是互斥事件②与是互斥事件,且是对立事件
③与不是互斥事件④与是互斥事件
15.已知直线过点,且倾斜角为直线的倾斜角的2倍,则直线的方程为.
16.如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点,,且,现有如下四个结论:
①;
②平面平面;
③异面直线,所成的角为定值;
④三棱锥的体积为定值.
其中正确结论的序号是.
三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)
17.已知的三个顶点坐标分别为,,.
(1)求边上的中线所在直线的一般式方程;
(2)求边上的高所在直线的一般式方程.
18.一个盒中装有编号分别为1,2,3,4的四个形状大小完全相同的小球.
(1)从盒中任取两球,求取出的球的编号之和大于5的概率.
(2)从盒中任取一球,记下该球的编号,将球放回,再从盒中任取一球,记下该球的编号,求的概率.
19.如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点,分别是线段,的中点.
(1)求证:
平面
(2)是线段的中点,证明:
平面平面
20.如图,已知四棱锥中,底面,且为正方形,点是的中点
(1)求与所成的角的大小;
(2)求二面角的大小.
21.近年来,国家对西部发展出台了很多优惠政策,为了更有效促进发展,需要对一种旧能源材料进行技术革新,为了了解此种材料年产量(吨)对价格(万元/吨)和年利润(万元)的影响,有关部门对近五年此种材料的年产量和价格统计如表,若.
1
2
3
4
5
8
7
6
4
(1)求表格中的值;
(2)求关于的线性回归方程;
(3)若每吨该产品的成本为2万元,假设该产品可全部卖出,预测当年产量为多少时,年利润取得最大值.参考公式:
,.
22.如图,三棱柱的所有棱长都相等,平面平面,,点为线段的中点,点在线段上.
(1)求证:
平面平面;
(2)若,求点到平面的距离.
数学(理科)试卷
答案和解析
【答案】
1.D2.C3.B4.D
5.C6.B7.D8.B
9.D10.A11.B12.A
13.14.
(2)(3)
15.
16.①②④
17.解:
(1),,的中点为.
边的中线的斜率为,
边上的中线的一般式方程为.
(2),,,
故,
由点斜式得,
边上的高所在直线的一般式方程为.
18.解:
(1)从盒中任取两球的基本事件有:
,,,,,六种情况.
编号之和大于5的事件有,两种情况,
故编号之和大于5的概率为.
(2)有放回的连续取球的所有情况有:
,,,,,
,,,,
,,,,,共16个基本事件,
而的包含,,,,,,共6个基本事件
所以的概率为.
19.解:
(1)证明:
由四边形为正方形可知,
连接,因为为的中点,则为的中点,
又因为为的中点,
则为的中位线,
故,
面,面,
面,
(2)连接,,如图所示,
点,分别为,中点,
为的中位线,
可得:
,
面,面,
面,
由
(1)可知,,
面,面,
面,
且,,面,
故面面.
20..解:
(1)以为坐标原点,,,为轴,轴,轴正方向,
建立空间直角坐标系.
由已知得,,,,
,.
,,
.
与所成的角为90°.
(2),,,
,又由
(1)知,
则,,且,,平面,
则平面,
是平面的法向量,由题意得是平面的法向量,
则.
又二面角的平面角是锐角,
所求的二面角的大小为45°.
21.解:
(1),解得.
(2),
,
,,
,
,
所以关于的线性回归方程:
.
(3)年利润,
所以(吨)时,年利润取得最大值.
答:
预测当年产量为2.75吨时,年利润取得最大值.
22.(Ⅰ)证明:
,,
是等边三角形,
为线段的中点,
,
平面平面,平面平面,
平面,
平面,
平面平面;
(Ⅱ)解:
过点作的延长线于点,连接,
易证平面,且,
,
在中,,,
,
,
,
.
记点到平面的距离为,则,解得,
即点到平面的距离为.
【解析】
1.解:
对于A,若,,则或相交或为异面直线,因此不正确.
对于B,若,,则或相交,因此不正确.
对于C,若,,则或相交,因此不正确;
对于D,若,,利用线面垂直的性质定理可知:
正确.
故选:
D.
利用线面平行与垂直的判定与性质定理即可判断出正误.
本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理,考查了推理能力与空间想象能力,属于基础题.
2.【分析】
本题主要考查事件的概率的定义、互斥事件和对立事件的定义,属于基础题.
根据概率的定义可得A正确,根据互斥事件和对立事件的定义可得B正确,某事件发生的概率不会随着试验次数的变化而变化的;判断C的正误;5张奖券中有一张有奖,先抽后抽中奖的可能性相同,故D正确.
【解答】
解:
根据概率的定义可得若事件发生的概率为,则,故A正确.
根据互斥事件和对立事件的定义可得,互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件,
且两个对立事件的概率之和为1,故B正确.
某事件发生的概率不会随着试验次数的变化而变化,故C错误;
5张奖券中有一张有奖,先抽,后抽中奖的可能性相同,故D正确,
故选:
C.
3.【分析】
本题考查直线的两点式方程,属于基础题.
由两点式即可得解.
【解答】
解:
由两点式得,,
整理得.
故选B.
4.【分析】
本题考查离散型随机变量的概率问题,先要判断该概率模型是不是古典概型,再要找出随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.
由题意知本题是一个古典概型,试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有种结果,而满足条件的事件是,;,;,共有3种结果.
【解答】
解:
由题意知本题是一个古典概型,
试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有种结果,
而满足条件的事件是,;,;,共有3种结果,
由古典概型公式得到,
故选:
D.
5.【分析】
本题考查由三视图求表面积,空间立体几何三视图,属于基础题.
空间几何体是一个组合体,上面是一个圆锥,圆锥的底面直径是4,圆锥的高是,在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理求出,写出表面积,下面是一个圆柱,圆柱的底面直径是4,圆柱的高是4,求出圆柱的表面积,注意不包括重合的平面.
【解答】
解:
由三视图知,空间几何体是一个组合体,
上面是一个圆锥,圆锥的底面直径是4,圆锥的高是,
在轴截面中圆锥的母线长是,
圆锥的侧面积是,
下面是一个圆柱,圆柱的底面直径是4,圆柱的高是4,
圆柱表现出来的表面积是.
空间组合体的表面积是.
故选C.
6.解:
根据几何体的三视图,得;
该几何体是如图所示的三棱锥,
且底面,;
,;
所以,该三棱锥的体积为
.
故选:
B.
根据几何体的三视图,得出该几何体底面为直角三角形的三棱锥,且侧棱垂直于底面,求出它的体积即可.
本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,也考查了空间想象能力与计算能力,是基础题目.
7.【分析】
本题考查对于棱台的结构特征的定义,属于基础题.
棱台的定义是侧棱延长后必交于一点,只有D符合.
【解答】
解:
在A中,用一个平行于底面的平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台,故A不正确;
在B中,两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体的侧棱延长后不一定相交于一点,故B不正确;
在C中,棱台的底面是两个相似的多边形,故C错误;
在D中,由棱台的性质得棱台的侧棱延长后必交于一点,故D正确.
故选D.
8.【分析】
由共面向量定理得,从而,由此能求出的值.
本题考查实数值的求法,考查共面向量定理等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
【解答】
解:
,,,
,,,四点共面,
,
,
解得.
故选:
B.
9.【分析】
本题考查二面角的平面角及求法,属于基础题.
先取的中点,可得二面角的平面角为,再在直角三角形中求出其正切值即可.
【解答】
解:
设棱长为,的中点为,连接,,
由正三棱柱中,各棱长都相等.
可得,;
故二面角的平面角为,
在中,,
所以:
.
即二面角的平面角的正切值为.
故选D.
10.解:
向量,,
与夹角的余弦值为,
,
解得(舍去).
故选:
A.
根据题意,进行求解即可.
本题考查空间向量的夹角公式,考查运算求解能力,是基础题.
11.解:
三棱锥中,,,,
如图所示:
在三棱锥体的下底面中,
由于,
解得:
,
所以,
所以的外接圆直径,所以,
则:
三棱锥的高为,
设三棱锥的外接球的半径为,
所以,解得,
所以,
故选:
B.
首先利用余弦定理和正弦定理的应用求出三棱锥体的高,进一步求出外接球的半径,最后求出球的表面积.
本题考查的知识要点:
余弦定理和正弦定理的应用,三棱锥的高的求法及应用,球的表面积的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题型.
12.【分析】
本题考查了与体积有关的几何概型问题,也考查了棱锥的体积、数形结合思想,解题的关键是确定点所表示的区域,利用体积比求概率.
首先确定满足条件的点的区域,即区域;然后确定所求的事件中的点所在区域;分别计算区域和的体积;最后计算所求概率.
【解答】
解:
作出在底面的射影为,如图,
不妨设点到底面的距离为,
若,则高,
分别取、、上的点、、,
并使,,,并连结、、,
根据三角形的中位线与面面平行的判定定理,则平面平面.
若点在正四面体内部运动,则满足的点只能在面上,
故满足的点在三棱
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