二次函数与直角三角形存在性问题.docx
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二次函数与直角三角形存在性问题
二次函数中直角三角形存在性问题
1.找点:
在已知两定点,确信第三点组成直角三角形时,要么以两定点为直角极点,要么以动点为直角极点.以定点为直角极点时,构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角极点时,以已知线段为直径构造圆找点
2.方式:
以两定点为直角极点时,两直线相互垂直,那么k1*k2=-1
以已知线段为斜边时,利用K型图,构造双垂直模型,最后利用相似求解,或
三条边别离表示以后,利用勾股定理求解
例一:
如图,抛物线
与
轴交于
两点,与
轴交于
点.
(1)请求出抛物线极点
的坐标(用含
的代数式表示),
两点的坐标;
(2)经探讨可知,
与
的面积比不变,试求出那个比值;
(3)是不是存在使
为直角三角形的抛物线?
假设存在,请求出;若是不存在,请说明
理由.
例二、如图,抛物线y=-x2+mx+n与x轴别离交于点A(4,0),B(-2,0),与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)M为第一象限内抛物线上一动点,点M在何处时,△ACM的面积最大;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P,使得△PAC为直角三角形?
假设存在,请求出所有可能点P的坐标;假设不存在,请说明理由.
练习:
1.如图,已知抛物线y=ax2
+bx+c(a≠0)的极点M在第一象限,抛物线与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交与点C,O为坐标原点,若是△ABM是直角三角形,AB=2,OM=
(1)求点M的坐标;
(2)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PAC为直角三角形?
假设存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;假设不存在,请说明理由.
解:
(1)
2.如图,抛物线y=x2-2mx(m>0)与x轴的另一个交点为A,过P(1,-m)作PM⊥x轴与点M,交抛物线于点B.点B关于抛物线对称轴的对称点为C.
(1)假设m=2,求点A和点C的坐标;
(2)令m>1,连接CA,假设△ACP为直角三角形,求m的值;
(3)在座标轴上是不是存在点E,使得△PEC是以P为直角极点的等腰直角三角形?
假设存在,求出点E的坐标;假设不存在,请说明理由.
3.如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(1,0)和B(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)假设抛物线的对称轴交x轴于点E,点F是位于x轴上方对称轴上一点,FC∥x轴,与对称轴右边的抛物线交于点C,且四边形OECF是平行四边形,求点C的坐标;
(3)在
(2)的条件下,抛物线的对称轴上是不是存在点P,使△OCP
是直角三角形?
假设存在,求出点P的坐标;假设不存在,请说明理由.
4、在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+(k-1)x-k与直线y=kx+1交于A,B两点,点A在点B的左侧.
(1)如图1,当k=1时,直接写出A,B两点的坐标;
(2)在
(1)的条件下,点P为抛物线上的一个动点,且在直线AB下方,试求出△ABP面积的最大值及现在点P的坐标;
(3)如图2,抛物线y=x2+(k-1)x-k(k>0)与x轴交于点C、D两点(点C在点D的左侧),在直线y=kx+1上是不是存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°?
假设存在,请求出现在k的值;假设不存在,请说明理由.
五、如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(
,
)和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是不是存在如此的P点,使线段PC的长有最大值,假设存在,求出那个最大值;假设不存在,请说明理由;
(3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标.
六、如图,抛物线y=ax2+bx+c通过A(-3,0)、C(0,4),点B在抛物线上,CB∥x轴,且AB平分∠CAO.
(1)求抛物线的解析式;
(2)线段AB上有一动点P,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值;
(3)抛物线的对称轴上是不是存在点M,使△ABM是以AB为直角边的直角
三角形?
若是存在,求出点M的坐标;若是不存在,说明理由.
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